考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時問120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字笀將密封線內(nèi)項目填寫清楚.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色黑水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷，草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊（10%），選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊（40%），選擇性必修第三冊第六章（50%）.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
2.若是正整數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
3.的展開式中項的系數(shù)為（ ）
A.10 B.24 C.35 D.45
4.現(xiàn)有5個編號不同的小球和3個不同的盒子，若將小球全部放入盒子中，不同的方法有（ ）
A.243種 B.125種 C.60種 D.20種
5.由所組成的無重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)為（ ）
A.360 B.280 C.156 D.150
6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
7.展開式中項的系數(shù)為（ ）
A.40 B.60 C.80 D.120
8.已知直線的斜率為正，且，則符合上述條件的不同的直線條數(shù)為（ ）
A.40 B.20 C.17 D.15
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的有（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
10.已知，則（ ）
A.曲線關(guān)于點對稱
B.1是函數(shù)的極大值點
C.當(dāng)時，
D.不等式的解集為
11.如圖，在校長為2的正方體中，點為棱的中點，動點滿足，則下列命題正確的有（ ）
A.存在唯一有序?qū)崝?shù)對，使得
B.存在唯一有序?qū)崝?shù)對，使得
C.若，則點到平面的距離的最大值為2
D.若，則點的軌跡長度為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知為正整數(shù)，若，則__________.
13.若，則的值被4除的余數(shù)為__________.
14.某環(huán)保局派遣包括張三?李四?王五在內(nèi)的12名工作人員到三個鎮(zhèn)開展環(huán)境保護的宣傳工作，每個鎮(zhèn)至少派遣3人，因工作需要，張三?李四?王五3人要派遣到同一個鎮(zhèn)，則不同的派遣方案共有__________種.（結(jié)果用數(shù)字表示）
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
已知在展開式中第二?三?四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，且
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
16.（本小題滿分15分）
已知數(shù)列滿足，且.
（1）求的通項公式；
（2）若，且為遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.
17.（本小題滿分15分）
現(xiàn)從一副撲克牌中抽取紅桃?紅桃2?紅桃3到紅桃10?小王和大王共12張牌.
（1）從這12張牌中隨機抽取3張，求紅桃被抽到，且小王和大王只有一個被抽到的抽取方法共有多少種？
（2）從這12張牌中隨機抽取3張，求小王和大王2張中至少有1張被抽到，且紅桃沒有被抽到的不同抽取方法共有多少種？
（3）將紅桃5到紅桃10這6張撲克牌擺成一排，使得紅桃9和紅桃10相鄰，且紅桃5、紅桃6、紅桃7恰有兩張相鄰，求不同的擺放方法共有多少種？
18.（本小題滿分17分）
在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線的左?右焦點均為，且的離心率為，直線與交于兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線過點，且點為線段的中點，求直線的方程；
（3）若直線與直線的斜率之積為，證明：的面積為定值.
19.（本小題滿分17分）
用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點處的曲率.
（1）已知函數(shù)，求曲線在處的曲率的值；
（2）已知函數(shù)，求曲線在點處的曲率的最大值；
（3）對（2）中的，記，證明：在區(qū)間上有且僅有2個零點.
2024~2025學(xué)年第二學(xué)期高二3月夯基考·數(shù)學(xué)（A卷）
參考答案?提示及評分細(xì)則
1.D 由，得，所以，所以.故選D.
2.B 由，得.故選B.
3.C ，則展開式中項為，即項的系數(shù)為35.故選C.
4.A 由題知，每個小球有3種放法，所以5個小球的放置方式共有種.故選A.
5.C 若個位上的數(shù)字為0，可以組成個無重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)的偶數(shù)，若個位上的數(shù)字為2或4，可以組成，故可以組成個符合條件的數(shù).故選C.
6.B 因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，且在上，恒成立，所以，且，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故選B.
7.D 展開式中的項可以看成在5個因式中，有1個因式中取，剩下的4個因式中2個取個取相乘而得，即.所以展開式中項的系數(shù)為120.故選D.
8.C 因為直線的斜率為正，則，當(dāng)時，的取值有2種取法，的取值有2種取法，的取值有5種取法，共有種取法，其中和和和表示同一條直線，故符合條件的直線共有條.當(dāng)時，此時所得直線與時所得直線相同.故選C.
9.BC 對于A，取，顯然滿足，但，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，取，滿足，但，所以，故D錯誤.故選BC.
10.ACD 由題意得曲線是由奇函數(shù)的圖象向下平移1個單位長度而得，故曲線的對稱中心為，故A正確；，易得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以為的極大值點，1為的極小值點，故B錯誤；因為在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以，故C正確；由上知，易求，所以，
所以，故D正確.故選ACD.
11.ACD 以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為，則動點在側(cè)面內(nèi)（含邊界）.設(shè)，則，，若存在，使得，
則，所以，即存在唯一點滿足條件，故A正確；
易知與均垂直于平面，連接，則，若，則，所以點在以為圓心，2為半徑的圓上，同理可得，則點在以為圓心，1為半徑的圓上（均為側(cè)面內(nèi)部分），兩圓的圓心距，故兩圓弧相交（如圖所示），故符合條件的點有兩個，對應(yīng)的有兩組，故B錯誤；若，則點與三點共線，即在線段上，故當(dāng)點在處時，到平面的距離最遠(yuǎn)，可求平面的法向量，故到平面的距離，故C正確；易求，所以，所以，故點在線段上（如圖所示，其中分別為上靠近的四等分點），所以，故D正確.故選ACD.
12.7或3 由題知，或，且，解得或.
13.3 令，得，因為，所以當(dāng)為奇數(shù)時，展開式中偶數(shù)項的系數(shù)為負(fù)，即，當(dāng)為偶數(shù)時，展開式中奇數(shù)項的系數(shù)為正，即，所以，又，故被4除余3.
14.18774 先分類討論人員分組情況.當(dāng)張三?李四?王五所在組恰有3人時，余下9人分成2組，有210種方法；當(dāng)張三?李四?王五所在組恰有4人時，先從其他9人中選1人到這組，再將余下8人分成2組，有種方法；當(dāng)張三?李四?王五所在組恰有5人時，先從其他9人中選2人到這組，余下7人分成2組，有種方法；當(dāng)張三?李四?王五所在組恰有6人時，先從其他9人中選3人到這組，余下6人分成2組，有種方法.再將三組人員分配到三個鎮(zhèn).因為這三組分配到三個地區(qū)有種方法，所以安排方法總數(shù)為.
15.解：（1）由題知，，
解得.
（2）由（1）知，
令，可得.
（3）由題意知，為的系數(shù)，
所以.
16.解：（1）由，得，所以，
所以，所以是以3為公比的等比數(shù)列，
又，所以.
（2）由（1）知，所以，
因為為遞增數(shù)列，所以恒成立，
所以，即對任意正整數(shù)恒成立，
即，
因為為遞增數(shù)列，所以，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
17.解：（1）若小王和大王有且只有一個被抽到，其抽取方法有2種，
又紅桃被抽到，則在剩余的9張牌中隨機抽取1張，其抽取方法有9種，則不同的抽取方法共有種.
（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①小王和大王2張都被抽到，且紅桃沒有被抽到，不同的抽取方法有種，
②小王和大王2張中有且只有1張被抽到，且紅桃沒有被抽到，不同的抽取方法有種.
則共有種不同的抽取方法.
（3）第一步：將紅桃9和紅桃10捆邨在一起有種方法，
第二步：將紅桃5，紅桃6，紅桃7抽出2張捆邨在一起有種方法，
第三步：將紅桃9，10組成的整體與紅桃8排，共有中排法，
第四步：將紅桃種組成的兩部分插空到第三步排列形成的三個空中，有種，
故共有種.
18.（1）解：設(shè)，因為雙曲線的方程為，
即，
所以，所以.
又，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）解：設(shè)，
因為點為線段的中點，所以.
聯(lián)立解得或
所以或，
因為，代入的坐標(biāo)得，
所以直線的方程為.
（3）證明：當(dāng)軸時，，
由，得，
所以，又，
所以，
所以的面積為.
當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線，
由，得，
即，①
聯(lián)立消去并整理，得
所以，即，
，
代入①，得，
所以
又點到直線的距離，
所以的面積為
，
即的面積為定值.
19.（1）解：，
所以.
（2）解：，
所以，
所以，
令，則，
設(shè)，則，
顯然當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以，即的最大值為1，
所以的最大值.
（3）證明：由題知，
所以，
①當(dāng)時，因為，
則，
所以在上單調(diào)遞增.
又，
所以在上僅有1個零點.
②設(shè)，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以，故當(dāng)時，，
又當(dāng)時，，所以，
所以在上恒成立，
所以在上無零點.
③當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，
又，
所以在上僅有1個零點.
綜上所示，在區(qū)間上有且僅有2個零點.

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