河南省商丘市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 過點且方向向量為的直線的方程為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由直線的方向向量得直線斜率，再由點斜式即可求解.
【詳解】因為直線的方向向量為，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為即.
故選：A.
2. 函數(shù)從到的平均變化率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接進(jìn)行計算即可求解.
【詳解】由題得所求平均變化率為.
故選：C.
3. 已知直線與平行，則（）
A. 0B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直線平行的充要條件直接計算即可求解.
【詳解】因為直線與平行，
所以.
故選：B
4. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)結(jié)合等差數(shù)列通項公式和前n項和公式列出關(guān)于的方程組即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，
故選：C
5. 在四棱錐中，底面為平行四邊形，，分別為，的中點，為的中點，記，，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合向量的加減法法則逐步轉(zhuǎn)化計算即可.
【詳解】由題意得,
.
故選：D
6. 已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，則前2025項和為（）
A. 2025B. 2027C. 5060D. 5062
【答案】D
【解析】
【分析】先求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)結(jié)合題設(shè)得，接著由依次求出接下來的項得數(shù)列具有周期性，再利用周期性即可求解.
【詳解】因，所以函數(shù)定義域為，且，
所以，
所以，則，
所以數(shù)列是周期為2的數(shù)列，
所以的前2025項和為.
故選：D
7. 已知函數(shù)在處取得極小值，則的極大值為（）
A. 4B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由求出，再檢驗是否符合題意即可.
【詳解】由題得，因為函數(shù)在處取得極小值，
所以或，
當(dāng)時，，，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意，
所以函數(shù)在處取得極大值為；
當(dāng)時，，，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在處取得極大值，不符合題意；
綜上，的極大值為4.
故選：A
8. 已知是拋物線的焦點，是該拋物線上位于第一象限的點，且，直線與交于A，兩點，且（為坐標(biāo)原點），則以為圓心且與該拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，由焦半徑公式求出、與p的關(guān)系，接著聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理和求出p即可求出圓心和半徑得解.
【詳解】設(shè)，則，
所以，
聯(lián)立，設(shè)，
則，，
因為，所以，
故，則，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
所以點與拋物線的準(zhǔn)線距離為3，
以為圓心且與該拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的半徑為3，
所以以為圓心且與該拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理和求出p.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知點，，若在直線上存在點滿足，則的取值可能為（）
A. B. C. 0D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先由得到點在以為直徑的圓上，從而將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為該圓與直線l有交點，進(jìn)而得到圓心到直線l的距離，解該不等式即可得解.
【詳解】因為點，，且點滿足，
所以，所以點在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓圓心是，半徑為1，
因為點在直線上，
所以該圓與直線l有交點，所以圓心到直線l的距離，
兩邊平方整理得，解得，
故選：BCD
10. 已知數(shù)列的前項和為，則（）
A.
B. 數(shù)列的前項和為
C. 數(shù)列的前項和的最小值為
D. 數(shù)列的前項和小于
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)前項和與通項公式的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)、裂項相消法逐一判斷即可.
【詳解】因為的前項和為，
所以有，顯然，
顯然當(dāng)時,有，
兩個式子相減，得，
化簡，得，顯然適合該通項公式，因此選項A正確；
因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，
于是數(shù)列的前項和為，所以選項B不正確；
令，由，從第五項起，該數(shù)列每一項為正數(shù)，
因此數(shù)列的前項和的最小值為，因此選項C正確；
，
所以數(shù)列的前項和為，
因此選項D正確，
故選：ACD
11. 如圖，在長方體中，，，是的中點，是的中點，點在棱上運動（含端點，），則（）
A. 存在點，使得
B. 四面體體積的最小值為
C. 異面直線與所成的角總大于
D. 當(dāng)點從向運動時，二面角先變大再變小
【答案】ABC
【解析】
【分析】以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出向量，計算即可判斷A；由計算四面體體積即可判斷B；計算即可分析判斷C；依次求出二面角兩半平面的法向量，接著計算二面角的平面角余弦值為，分析余弦值的變化情況即可判斷D.
【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
則，
對于A，，
所以當(dāng)，即與點重合時，，故A正確；
對于B，，
所以，
所以當(dāng)即與點重合時，四面體體積取得最小值為，故B正確；
對于C，異面直線與所成的角的余弦值為，
因為，
，
所以，
所以，即異面直線與所成的角總大于，故C正確；
對于D，由長方體性質(zhì)可得平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
取，則，
所以由圖二面角的平面角余弦值為，
因為，所以單調(diào)遞增，
所以單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，
因為點從向運動時，x在減小，
所以在增大，即二面角的平面角余弦值在增大，
所以點從向運動時，二面角在變小，故D錯誤.
故選：ABC
【點睛】關(guān)鍵點睛：判斷二面角的變化情況的關(guān)鍵是明確通過二面角的的平面角的余弦值的變化情況可判斷，進(jìn)而求解二面角的平面角余弦值即可分析判斷.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知直線與函數(shù)的圖象相切，則________．
【答案】
【解析】
【分析】先由題意求出導(dǎo)函數(shù)和，設(shè)切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義、切線斜率和切點既在切線上又在曲線上列出方程組即可計算求解.
【詳解】由題為增函數(shù)，且，設(shè)切點為，
則，故解得.
故答案為：.
13. 在底面邊長為2的正三棱柱中，異面直線與所成角的余弦值為，則該正三棱柱的體積為________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線所成角的向量求法求出三棱柱的高，再利用體積公式即可求得答案。
【詳解】設(shè)正三棱柱的高為h，以A為坐標(biāo)原點，在底面內(nèi)過點A作的垂線為x軸，
以所在直線為軸，建立空間直角標(biāo)系，
則，
則，
因為異面直線與所成角的余弦值為，
故，
由于，即，解得，
故該正三棱柱的體積為，
故答案為：
14. 已知是橢圓的左焦點，過點的直線與圓交于，兩點，與在軸右側(cè)交于點，且，則的離心率為________．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)橢圓的右焦點為，的中點為，連接，設(shè)，表示出，，再由三角形的中位線定理得，然后在中利用勾股定理列方程求得，再在中列方程化簡可求出離心率.
【詳解】設(shè)橢圓的右焦點為，的中點為，連接，則，，
因為，所以為的中點，
因為為的中點，所以‖，，
所以，
設(shè)，則，，
因為，所以，
所以，
在中，由，得，
化簡整理得，解得或，
當(dāng)時，，不合題意，舍去，
所以，
所以，
在中，由，得，
則，得，
即的離心率為.
故答案：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是取的中點為，由已知條件結(jié)合圓的知識得為的中點，再應(yīng)用三角形中位線定理和勾股定理求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計算能力，屬于較難題.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知等比數(shù)列的公比，，．
（1）求；
（2）設(shè)，若，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題設(shè)結(jié)合等比數(shù)列通項公式列出等比數(shù)列首項和公比的方程組即可求解；
（2）先求出的通項公式，再由等差數(shù)列前項和公式結(jié)合題設(shè)列出等量關(guān)系式計算即可求解.
【小問1詳解】
由題意得，
所以.
【小問2詳解】
由（1）得，
所以，
解得或（舍去）.
16. 已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若，且當(dāng)時，恒成立，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再求出與，然后利用點斜式求出切線方程；
（2）先求出，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù) 的單調(diào)性，求出的最小值，再根據(jù) 求出的最大值即可.
【小問1詳解】
因為，所以，
所以，所以，
又，所以曲線在點處的切線方程為，
即 .
【小問2詳解】
因為，
所以當(dāng) 時，，當(dāng) 時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為 .
因為當(dāng) 時，恒成立，
所以，因為，所以
可得，所以的最大值為 .
17. 已知數(shù)列中，，．
（1）求，；
（2）證明：為等差數(shù)列；
（3）求的前項和．
【答案】（1）；（2）證明見解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由題設(shè)遞推公式直接計算即可；
（2）由題設(shè)遞推公式變形得，再由等差數(shù)列定義即可得證；
（3）由等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式得的通項公式，再由錯位相減法結(jié)合等比公式前n項和即可計算求解.
【小問1詳解】
由題意可得，
所以由.
【小問2詳解】
證明：因為，所以，，
所以數(shù)列為首項為，公差為的等差數(shù)列.
【小問3詳解】
由（2）得，所以，
所以的前項和，
所以，
所以，
所以.
18. 如圖，是圓柱的一條母線，是下底面圓的直徑，點在下底面圓周上，，，，點是的重心，點在線段上，且．
（1）求四面體外接球的表面積；
（2）證明：平面；
（3）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）
【解析】
【分析】（1）依題意可得平面，且外接圓的直徑為，設(shè)四面體外接球的半徑為，則，即可求出外接球的表面積；
（2）連接并延長交于點，連接，即可得到，從而得到，即可得證；
（3）過點作母線，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.
【小問1詳解】
因為是圓柱一條母線，所以平面，
又是下底面圓的直徑，點在下底面圓周上，所以，
因為，，，所以，
即外接圓的直徑為，
設(shè)四面體外接球的半徑為，則，即，
所以四面體外接球的表面積；
【小問2詳解】
連接并延長交于點，連接，
因為點是的重心，所以，又，點在線段上，且，
所以，即，即，所以，
又平面，平面，所以平面；
【小問3詳解】
過點作母線，則平面，又，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，取
設(shè)平面的法向量為，則，取，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
19. 已知雙曲線的離心率為2，左、右焦點分別為，點在上，在第一象限，在第二象限，，且．
（1）求的方程；
（2）求四邊形面積的最小值；
（3）若直線與交于兩點，的中垂線與軸交于點，證明：．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）結(jié)合已知等式，由雙曲線定義待定，再利用離心率待定即得方程；
（2）由圖形對稱性轉(zhuǎn)化，再結(jié)合割補法轉(zhuǎn)化，再利用韋達(dá)定理代入化簡，利用基本不等式求最值可得；
（3）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示中點坐標(biāo)，求得中垂線方程則可得坐標(biāo)，再利用兩點間距離與弦長公式證明即得.
【小問1詳解】
由已知得，
即，．
離心率，，
的方程為．
【小問2詳解】
由（1）知，且雙曲線漸近線為.
設(shè)直線與交于另一點，直線與交于另一點，連接．
，由雙曲線的對稱性知，四邊形為平行四邊形，
．
由題意直線與雙曲線左支交于兩點，則斜率不為，
可設(shè)直線，設(shè)，
聯(lián)立，整理得．
都在左支上，，
解得，
且.
.
設(shè)，則，
，
在時取得最大值，
當(dāng)，即時，取得最小值，
故四邊形面積的最小值為.
【小問3詳解】
設(shè)的中點為，
直線過定點，
要使直線與雙曲線兩個不同交點，則.
將代入，整理得，
，
，
，
的中垂線方程為，
令，得，
又
，
.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題的關(guān)鍵在于應(yīng)用對稱性，將不易表達(dá)的四邊形面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形面積的一半，再轉(zhuǎn)化為的面積求解可得.

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