一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．若是正整數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
3．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．10B．24C．35D．45
4．現(xiàn)有5個(gè)編號(hào)不同的小球和3個(gè)不同的盒子，若將小球全部放入盒子中，不同的方法有（ ）
A．243種B．125種C．60種D．20種
5．由0，1，2，3，4，5所組成的無重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．360B．280C．156D．150
6．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．40B．60C．80D．120
8．已知直線的斜率為正，且a，b，，則符合上述條件的不同的直線條數(shù)為（ ）
A．40B．20C．17D．15
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知復(fù)數(shù)，，則下列命題正確的有（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
10．已知，則（ ）
A．曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．1是函數(shù)的極大值點(diǎn)
C．當(dāng)時(shí)，D．不等式的解集為
11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為棱AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列命題正確的有（ ）

A．存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得
B．存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得
C．若，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為2
D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知為正整數(shù)，若，則 ．
13．若，則的值被4除的余數(shù)為 ．
14．某環(huán)保局派遣包括張三，李四，王五在內(nèi)的12名工作人員到A，B，C三個(gè)鎮(zhèn)開展環(huán)境保護(hù)的宣傳工作，每個(gè)鎮(zhèn)至少派遣3人，因工作需要，張三，李四，王五3人要派遣到同一個(gè)鎮(zhèn)，則不同的派遣方案共有 種．（結(jié)果用數(shù)字表示）
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知在展開式中第二?三?四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，且
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
16．已知數(shù)列滿足，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，且為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
17．現(xiàn)從一副撲克牌中抽取紅桃A、紅桃2、紅桃3到紅桃10、小王和大王共12張牌
(1)從這12張牌中隨機(jī)抽取3張，求紅桃A被抽到，且小王和大王只有一個(gè)被抽到的抽取方法共有多少種？
(2)從這12張牌中隨機(jī)抽取3張，求小王和大王2張中至少有1張被抽到，且紅桃A沒有被抽到的不同抽取方法共有多少種？
(3)將紅桃5到紅桃10這6張撲克牌擺成一排，使得紅桃9和紅桃10相鄰，且紅桃5、紅桃6、紅桃7恰有兩張相鄰，求不同的擺放方法共有多少種？
18．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線的左，右焦點(diǎn)均為，，且的離心率為，直線與交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線過點(diǎn)，且點(diǎn)為線段BC的中點(diǎn)，求直線的方程；
(3)若直線OA與直線OB的斜率之積為，證明：的面積為定值．
19． 用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．
（1）已知函數(shù)，求曲線在處的曲率的值；
（2）已知函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的曲率的最大值；
（3）對(duì)（2）中的，記，證明：在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
參考答案
1．【答案】D
【詳解】由，得，則，所以．
故選D.
2．【答案】B
【詳解】由，且都為正整數(shù)，
故．
故選B.
3．【答案】C
【詳解】，
則展開式中項(xiàng)為，即項(xiàng)的系數(shù)為35．
故選C．
4．【答案】A
【詳解】由題知，每個(gè)小球有3種放法，所以5個(gè)小球的放置方式共有種．
故選A.
5．【答案】C
【詳解】若個(gè)位上的數(shù)字為0，可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)的偶數(shù)，
若個(gè)位上的數(shù)字為2或4，可以組成，
故可以組成個(gè)符合條件的數(shù)．
故選C
6．【答案】B
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，
可知在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，
可得，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選B．
7．【答案】D
【詳解】展開式中的項(xiàng)可以看成在5個(gè)因式中，
有1個(gè)因式中取，剩下的4個(gè)因式中2個(gè)取個(gè)取相乘而得，
即,
所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)為120．
故選D．
8．【答案】C
【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為正，則，
當(dāng)時(shí)，的取值有2種取法，的取值有2種取法，的取值有5種取法，共有種取法，
其中和和和表示同一條直線，
故符合條件的直線共有條．
當(dāng)時(shí)，此時(shí)所得直線與時(shí)所得直線相同．
故選C．
9．【答案】BC
【詳解】對(duì)于A，取，顯然滿足，但，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C正確；
對(duì)于D，取，滿足，但，所以，故D錯(cuò)誤．
故選BC.
10．【答案】ACD
【詳解】由題意得曲線是由奇函數(shù)的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度而得，故曲線的對(duì)稱中心為，故A正確；
，易得在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以為的極大值點(diǎn)，1為的極小值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，故C正確；
由上知，易求，
所以，所以，故D正確．
故選ACD．
11．【答案】ACD
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，因?yàn)椋?br>則動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（含邊界）．
設(shè)，則，，若存在，使得，

則，
所以，即存在唯一點(diǎn)滿足條件，故A正確；

易知與均垂直于平面，連接，
則，若，則，
所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，
同理可得，則點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上（均為側(cè)面內(nèi)部分），
兩圓的圓心距，故兩圓弧相交（如圖所示），
故符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，對(duì)應(yīng)的有兩組，故B錯(cuò)誤；
若，則點(diǎn)與三點(diǎn)共線，即在線段上，
故當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，到平面的距離最遠(yuǎn)，
可求平面的法向量，
故到平面的距離，故C正確；
易求，所以，
所以，故點(diǎn)在線段上（如圖所示，其中分別為上靠近的四等分點(diǎn)），
所以，故D正確．
故選ACD．

12．【答案】3或7
【詳解】因?yàn)?，則，解得，
由組合數(shù)性質(zhì)可知：或，解得或．
13．【答案】3
【詳解】令，得，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，即，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正，即，
所以，
又，
故被4除余3．
14．【答案】
【詳解】先分類討論人員分組情況：
當(dāng)張三?李四?王五所在組恰有3人時(shí)，余下9人分成2組，有210種方法；
當(dāng)張三?李四?王五所在組恰有4人時(shí)，先從其他9人中選1人到這組，再將余下8人分成2組，有種方法；
當(dāng)張三?李四?王五所在組恰有5人時(shí)，先從其他9人中選2人到這組，余下7人分成2組，有種方法；
當(dāng)張三?李四?王五所在組恰有6人時(shí)，先從其他9人中選3人到這組，余下6人分成2組，有種方法．
再將三組人員分配到三個(gè)鎮(zhèn)：
因?yàn)檫@三組分配到三個(gè)地區(qū)有種方法，
所以安排方法總數(shù)為．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）因?yàn)檎归_式中第二?三?四項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，
所以，解得．
（2）由（1）知，
令，可得．
（3）由題意知，為的系數(shù)，
所以
．
16．【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由，得，所以，
所以，所以是以3為公比的等比數(shù)列，又，所以．
（2）由（1）知，所以，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，
所以恒成立，
所以，即對(duì)任意正整數(shù)恒成立，即，
因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
17．【答案】(1)種
(2)種
(3)種
【詳解】（1）若小王和大王有且只有一個(gè)被抽到，其抽取方法有2種，
又紅桃被抽到，則在剩余的9張牌中隨機(jī)抽取1張，其抽取方法有9種，則不同的抽取方法共有種．
（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①小王和大王2張都被抽到，且紅桃A沒有被抽到，不同的抽取方法有種，
②小王和大王2張中有且只有1張被抽到，且紅桃A沒有被抽到，不同的抽取方法有種．
則共有種不同的抽取方法．
（3）第一步：將紅桃9和紅桃10捆綁在一起有種方法，
第二步：將紅桃5，紅桃6，紅桃7抽出2張捆綁在一起有種方法，
第三步：將紅桃9，10組成的整體與紅桃8排，共有中排法，
第四步：將紅桃種組成的兩部分插空到第三步排列形成的三個(gè)空中，有種，
故共有種．
18．【答案】(1)；
(2)；
(3)證明見解析.
【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)殡p曲線的方程為，即，
所以，所以．
又，所以，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)，由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以．
聯(lián)立，解得或，
所以或，
因?yàn)?，代入的坐?biāo)得，
所以直線的方程為，即．
（3）當(dāng)軸時(shí)，，
由，得，
所以，又，則，
所以的面積為．
當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線，
由，得，即①，
聯(lián)立，消去并整理，得
所以，即，
代入①，得，
所以
又點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積為，
綜上，的面積為定值．
19．【答案】（1）解：，
所以．
（2）解：，
所以，
所以，
令，則，
設(shè)，則，
顯然當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，即的最大值為1，
所以的最大值．
（3）證明：由題知，
所以，
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>則，
所以在上單調(diào)遞增．
又，
所以在上僅有1個(gè)零點(diǎn)．
②設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，故當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，，所以，
所以在上恒成立，
所以在上無零點(diǎn)．
③當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，
又，
所以在上僅有1個(gè)零點(diǎn)．

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