1. 已知甲部門有員工4人，乙部門有員工5人，丙部門有員工6人，現(xiàn)從這三個(gè)部門的員工中任選1人參加接待客戶的活動(dòng)，不同的選法種數(shù)為（ ）
A. 120B. 15C. 25D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案.
【詳解】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選法種數(shù)為.
故選：B.
2. 已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦距為6.若為橢圓上一點(diǎn)，且的周長為16，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】運(yùn)用橢圓定義和焦距性質(zhì)可解.
【詳解】根據(jù)題意，焦距，.根據(jù)橢圓定義，周長為，解得.
則離心率為.
故選：C
3. 山東省高考改革后實(shí)施選科分班制度，小明需要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理中選擇三科作為自己的選科組合，物理和歷史不能同時(shí)選擇，則小明不同的選科情況有（ ）
A. 14種B. 16種C. 18種D. 20種
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可分為三類：（1）若物理和歷史同時(shí)不選；（2）若選物理，不選歷史；（3）若不選物理，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.
【詳解】由題意，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理中選擇三科作為自己的選科組合，
且物理和歷史不能同時(shí)選擇，可分為三類：
（1）若物理和歷史同時(shí)不選，共有種選法；
（2）若選物理，不選歷史，共有種選法；
（3）若不選物理，選歷史，共有種選法；
由分類計(jì)數(shù)原理，可得不同的選科情況共有種.
故選：B.
4. 已知點(diǎn)Q在圓C：上，點(diǎn)P在直線上，則PQ的最小值為（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先將圓C變形，求出圓心與半徑，再由圓到直線的最小距離求法求出值，再減去半徑即可求出直線上的點(diǎn)到圓的最小距離.
【詳解】圓中圓心為，半徑，
圓心到直線的距離：，
則，
故選：A．
5. 6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，其中一個(gè)場館去1人，一個(gè)場館去2人，一個(gè)場館去3人，則不同的安排方法共有（ ）
A. 360種B. 120種C. 60種D. 30種
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)分組分配，結(jié)合排列組合即可求解.
【詳解】依題意從6同學(xué)中選出1人安排到一個(gè)場館有，再從剩余5人安排2人到一個(gè)場館是，最后剩余3人安排到一個(gè)館，
根據(jù)分步乘法原理，不同安排方法共有種．
故選：A．
6. 三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)對(duì)該圖進(jìn)行涂色，有5種不同的顏色提供選擇，相鄰區(qū)域所涂顏色不同.在所有的涂色方案中隨機(jī)選擇一種方案，該方案恰好只用到三種顏色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】所有的涂色方案分3類，利用排列組合求出涂色方法，再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解即可.
【詳解】所有的涂色方案分3類：
(1)用到三種顏色，為⑤一種顏色，①③同色，②④同色，涂色方法為；
(2)用到四種顏色，為⑤一種顏色，①③不同色，②④同色或⑤一種顏色，①③同色，②④不同色，涂色方法為；
(3)用到五種顏色，涂色方法為；
因此該方案恰好只用到三種顏色的概率是.
故選：B．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）
7. 對(duì)于，若，則的值可以為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)題意得或，進(jìn)而解方程即可.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以或，解得或
故選：AB
8. 在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件不合格品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種
B. 抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種
C. 抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種
D. 抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種
【答案】ACD
【解析】
【分析】抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法為不合格品1件、合格品2件，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知A正確，B錯(cuò)誤；抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法分兩種做法：（?。?件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分類計(jì)數(shù)法求解.（ⅱ）總的取法數(shù)減去抽取的三件都為合格品的取法即為所求.由此判斷CD正確
【詳解】解：由題意得：
對(duì)于A、B選項(xiàng)：抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法為3件不合格品中抽取1件有種取法，7件合格品種抽取2件有種取法，故共有中取法，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：抽出3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法分三種情況：①抽取的3件產(chǎn)品中有1件不合格、有2件合格，共有種取法；②抽取的3件產(chǎn)品中有2件不合格、有1件合格，共有種取法；③抽取的3件產(chǎn)品都不合格，種取法.故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故B錯(cuò)誤，C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：10件產(chǎn)品種抽取三件的取法有，抽出的3件產(chǎn)品中全部合格的取法有種，抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故D正確.
故選：ACD
9. 現(xiàn)安排高二年級(jí)A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說法正確的是（ ）
A. 所有可能的方法有種
B. 若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種
C. 若同學(xué)A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種
D. 若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理判斷AC選項(xiàng)的正確性，利用分類加法計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)計(jì)算判斷B選項(xiàng)的正確性，利用排列數(shù)計(jì)算判斷D選項(xiàng)的正確性.
【詳解】所有可能的方法有種，A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，分三種情況：第一種：若有1名同學(xué)去工廠甲，則去工廠甲的同學(xué)情況為，另外兩名同學(xué)的安排方法有種，此種情況共有種，第二種：若有兩名同學(xué)去工廠甲，則同學(xué)選派情況有，另外一名同學(xué)的排法有3種，此種情況共有種，第三種情況，若三名同學(xué)都去工甲，此種情況唯一，則共有種安排方法，B正確.
對(duì)于C，若A必去甲工廠，則B，C兩名同學(xué)各有4種安排，共有種安排，C正確.
對(duì)于D，若三名同學(xué)所選工廠各不同，則共有種安排，D正確.
故答案為：BCD
三、填空題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）
10. 我們把中間數(shù)位上的數(shù)字最大，而兩邊依次減小的多位數(shù)稱為“凸數(shù)”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)是________．
【答案】20
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，按三位“凸數(shù)”的中間數(shù)分類計(jì)算作答.
【詳解】由三位“凸數(shù)”的特點(diǎn)知，中間的數(shù)字只能是3，4，5，即分三類，
第一類，當(dāng)中間數(shù)字為“3”時(shí)，此時(shí)有2個(gè)（132，231）；
第二類，當(dāng)中間數(shù)字為“4”時(shí)，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，百位數(shù)字有兩種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6（個(gè)）；
第三類，當(dāng)中間數(shù)字為“5”時(shí)，個(gè)位數(shù)字有四種選擇，百位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有4×3＝12（個(gè)），
由分類加法計(jì)數(shù)原理，得到由1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)是2＋6＋12＝20（個(gè)）.
故答案為：20
11. 如圖，已知四面體的所有棱長都等于2，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則________.
【答案】1
【解析】
【分析】由中位線定理得 ，再由向量的數(shù)量積定義計(jì)算可得答案.
【詳解】解：因?yàn)樗拿骟wABCD的每條棱長都等于2，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則 ，
所以，
故答案為：1.
四、解答題（本大題共小題，共42分）
12. （1）求值:；
（2） 解不等式:.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，然后可求結(jié)果；
（2）將排列數(shù)表示為階乘的形式，然后化簡計(jì)算求解出不等式解集.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>原式
；
（2）因，
所以，
化簡可得，解得，
所以不等式解集為.
13. 有4名男生，3名女生，共7個(gè)人從左至右站成一排，在下列情況下，各有多少種不同的站法.
（1）男生?女生各站在一起；
（2）男生必須站在一起；
（3）男生互不相鄰，且女生也互不相鄰
（4）最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，則有多少種不同的站法？
【答案】（1）288 （2）576
（3）144 （4）1320
【解析】
【分析】（1）先排男生，再排女生，考慮男女生位置，即可根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得出答案；
（2）捆綁法：將男生看為一個(gè)整體，與女生排列，即可得出答案；
（3）插空法：先排男生，女生插空，即可得出答案；
（4）分為某生甲站在最左端，某生乙甲站在最左端，分別計(jì)算，相加即可得出答案.
【小問1詳解】
男生必須站在一起，即把4名男生全排列，有種排法，
女生必須站在一起，即把3名女生全排列，有種排法，
全體男生、女生各看作一個(gè)元素全排列有種排法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有（種）排法.
【小問2詳解】
把所有男生看作一個(gè)元素，與3名女生組成4個(gè)元素全排列，
故有（種）不同的排法.
【小問3詳解】
先排男生有種排法，
然后讓女生插空，有種排法，
所以共有（種）不同的排法.
【小問4詳解】
若最左端站某生甲，余下6名同學(xué)全排列共有種排法；
若最左端站某生乙，
則應(yīng)先排某生甲，有種排法，
剩余5名同學(xué)全排列共有種排法，
由分步計(jì)數(shù)原理知共有種排法.
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有種.
14. 已知等差數(shù)列和等比數(shù)列都是遞增數(shù)列，且．
（1）求，的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1），.
（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列和等比數(shù)列的公差與公比分別為：，由已知條件組成方程組解出，寫出等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可；
（2）由（1）寫出的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前項(xiàng)和即可.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列和等比數(shù)列的公差與公比分別為：，
因?yàn)椋?br>所以，
將代入，得：
，
解得或或，
因?yàn)榈炔顢?shù)列和等比數(shù)列都是遞增數(shù)列，
所以，
所以，
，
所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
【小問2詳解】
（2）由（1）得，
所以，①
，②
①②得：，
即，
所以.
15. 已知函數(shù)，.
（1）若，求函數(shù)的最小值；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性即可求解作答.
（2）等價(jià)變形不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值作答.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，
所以函數(shù)的最小值是.
【小問2詳解】
，恒有
設(shè)函數(shù)，，求導(dǎo)得，
令，，求導(dǎo)得：，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
有，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，即，
所以的取值范圍是．

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