一、單選題（本大題共8小題）
1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在（ ）時(shí)取得最小值．
A．B．C．D．
2．曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為
A．
B．
C．
D．
3．已知函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知可導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列結(jié)論不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．某班級(jí)要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為
A．14B．24C．28D．48
6．已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)（ ）
A．在區(qū)間上是減函數(shù)B．在區(qū)間上是減函數(shù)
C．在區(qū)間上是減函數(shù)D．在區(qū)間上是減函數(shù)
7．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是
A．和B．
C．D．和
8．若函數(shù)有極值點(diǎn)，，且則關(guān)于x的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、多選題（本大題共2小題）
9．對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．是奇函數(shù)B．在處取得極大值
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)
10．某學(xué)校高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有男生5人，女生3人，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．從中選2人，1人做正組長(zhǎng)，1人做副組長(zhǎng)，共有64種不同的選法
B．從中選2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各1人，共有15種不同的選法
C．將這8名學(xué)生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種
D．8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊(duì)伍中，則共有336種排法.
三、單選題（本大題共1小題）
11．關(guān)于函數(shù)，，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增B．當(dāng)時(shí)，恒成立
C．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增D．當(dāng)恒成立，則
四、填空題（本大題共3小題）
12．函數(shù)導(dǎo)數(shù)為.則 ．
13．計(jì)算：
（1） .
（2）若，則的值為 .
14．已知函數(shù)存在極大值和極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
五、解答題（本大題共5小題）
15．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．
16．用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字：
（1）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？
（2）能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？
17．已知曲線.
(1)求在處的切線方程.
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．設(shè)函數(shù)f（x）＝tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）．
（Ⅰ）求f （x）的最小值h（t）；
（Ⅱ）若h（t）＜﹣2t+m對(duì)t∈（0，2）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
19．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍，并證明．
參考答案
1．【答案】B
【詳解】因?yàn)?，則，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值.
故選B.
2．【答案】B
【詳解】由，，所以過(guò)點(diǎn)切線方程為
答案選B.
3．【答案】C
【詳解】因?yàn)?，則，所以，，
所以，.
故選C.
4．【答案】B
【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，由圖可知，，所以，故A成立；
由圖可知，，，但不確定與的大小關(guān)系，故B不一定成立；
由圖可知，，故C成立；
由圖可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，所以，故D成立.
故選B.
5．【答案】A
【詳解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男兩種情況，
故不同的選派方案種數(shù)為．故選A.
法二：從4男2女中選4人共有種選法，4名都是男生的選法有種，
故至少有1名女生的選派方案種數(shù)為-=15-1=14．故選A
6．【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br>由圖象知，時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)A、C和D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，
故選B．
7．【答案】C
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，則，所以，
所以的定義域?yàn)椋瑒t.
令，則，即，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選C．
8．【答案】A
【詳解】，，是方程的兩根，
由，得或，
即的根為或的解．
∵根據(jù)題意畫(huà)圖：
，
由圖象可知有2個(gè)解，有1個(gè)解，因此的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3.
故選A．
9．【答案】BCD
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，故函數(shù)不是奇函數(shù)，A錯(cuò)；
對(duì)于BC選項(xiàng)，因?yàn)?，令，可得，列表如下?br>所以，函數(shù)在處取得極大值，在區(qū)間上單調(diào)遞增，BC都對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的極大值為，極小值為，
因?yàn)?，?br>所以，，，，
所以，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，且這三個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間分別為、、，D對(duì).
故選BCD.
10．【答案】BCD
【詳解】選項(xiàng)A：從8個(gè)人中選2人，1人做正組長(zhǎng)，1人做副組長(zhǎng)選法共有種，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：從8個(gè)人中選2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各1人選法共有種，故B正確；
選項(xiàng)C：選排3位女生有種情況，再把3位女生看成1個(gè)人與5個(gè)男生一起排列有種情況，
共有種情況，故C正確；
選項(xiàng)D：8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，
先排第一個(gè)女生可以排5個(gè)男生中間的4個(gè)空或2頭，有6種情況，
再排第二個(gè)女生可以排到排好的6個(gè)人中間的5個(gè)空或2頭，有7種情況，
最后排第三個(gè)女生可以排到排好的7個(gè)人中間的6個(gè)空或2頭，有8種情況，
共有種情況，故D正確，
故選BCD.
11．【答案】AB
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，解得，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由可得，解得，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的恒成立，
此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，，
此時(shí)不等式不恒成立；
當(dāng)時(shí)，恒成立；
當(dāng)時(shí)，由可得，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
所以，，可得，解得.
綜上所述，當(dāng)恒成立，，D正確.
故選AB.
12．【答案】
【詳解】.
13．【答案】 165 7
【詳解】（1）由組合數(shù)性質(zhì)，得.
（2）∵，∴，∴.
14．【答案】
【詳解】因?yàn)?，則，
因?yàn)楹瘮?shù)存在極大值和極小值，則二次函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，
所以，，即，解得或，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
15．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是：和，單調(diào)減區(qū)間是：；
(2)最小值為，最大值為.
【詳解】（1）由，
可得：，，
由，可得：或；
由，可得：；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：和，
單調(diào)減區(qū)間是：；
（2）由（1）知：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性為： 單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以最小值為，
又，
所以最大值為.
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.
16．【答案】（1）156個(gè)；（2）216個(gè).
【詳解】(1)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)可分為兩大類(lèi)：
個(gè)位數(shù)字為，共有：個(gè)
個(gè)位數(shù)字為或，共有：個(gè)
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)共有：個(gè)
（2）符合題意的五位數(shù)可分兩大類(lèi)：
個(gè)位數(shù)字為，共有：個(gè)
個(gè)位數(shù)字為，共有：個(gè)
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知滿(mǎn)足題意的五位數(shù)共有：個(gè)
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，，即切點(diǎn)為，
又，所以切線方程為，即；
（2）因?yàn)椋?br>函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
相當(dāng)于曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
又，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，取得極小值，
又時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，
所以的圖象如下所示：
由圖可得實(shí)數(shù)的取值范圍為．
18．【答案】（Ⅰ）h（t）＝﹣t3+t﹣1；（Ⅱ）m＞1．
【詳解】解：（Ⅰ）∵f（x）＝t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0），
∴當(dāng)x＝﹣t時(shí)，f（x）取最小值f（﹣t）＝﹣t3+t﹣1，
即h（t）＝﹣t3+t﹣1；
（Ⅱ）令g（t）＝h（t）﹣（﹣2t+m）＝﹣t3+3t﹣1﹣m，
由g′（t）＝﹣3t2+3＝0得t＝1，t＝﹣1（不合題意，舍去）
當(dāng)t變化時(shí)g′（t）、g（t）的變化情況如下表：
∴g（t）在（0，2）內(nèi)有最大值g（1）＝1﹣m
h（t）＜﹣2t+m在（0，2）內(nèi)恒成立等價(jià)于g（t）＜0在（0，2）內(nèi)恒成立，
即等價(jià)于1﹣m＜0
所以m的取值范圍為m＞1．
19．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在處取得的極大值；函數(shù)無(wú)極小值. （2）證明見(jiàn)解析
【詳解】試題分析：（1）求出，令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，令求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，從而可得函數(shù)的極值；（2）對(duì)進(jìn)行討論：，，，，針對(duì)以上四種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性討論函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)情況，排除不是兩個(gè)零點(diǎn)的情況，可得有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是，由（1）知在單調(diào)遞減，故只需證明即可，又，只需利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
試題解析：（1）由得，
當(dāng)時(shí)，，若；若 ，
故當(dāng)時(shí)，在處取得的極大值；函數(shù)無(wú)極小值.
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在處取得極大值，且當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮大，又有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得.
當(dāng)時(shí)，若；若；若，則在處取得極大值，在處取得極小值，由于，則僅有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，則僅有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，若；若；若，則在處取得極小值，在處取得極大值，由于，則僅有一個(gè)零點(diǎn).
綜上，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是.
兩零點(diǎn)分別在區(qū)間和內(nèi)，不妨設(shè).
欲證，需證明，
又由（1）知在單調(diào)遞減，故只需證明即可.
，
又，
所以，
令，則，
則在上單調(diào)遞減，所以，即，
所以.
增
極大值
減
極小值
增
t
（0，1）
1
（1，2）
g′（t）
+
0
﹣
g（t）
遞增
極大值1﹣m
遞減

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