考試時(shí)間：120分鐘 分值：150分
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)正確.
故選：D.
2. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并令解不等式可得單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】易知函數(shù)定義域，
可得，顯然，
令，可得，
因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
故選：A
3. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且若，則（ ）
A. B.
C. D. 不確定
【答案】B
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義可得：
.
故選：B
4. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)函數(shù)表達(dá)式同時(shí)求導(dǎo)并令解方程即可求得結(jié)果.
【詳解】由可得，
令可得，即.
故選：B
5. 設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為 ，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是
A. 函數(shù)有極大值 和極小值
B. 函數(shù)有極大值 和極小值
C. 函數(shù)有極大值 和極小值
D. 函數(shù)有極大值 和極小值
【答案】D
【解析】
【詳解】則函數(shù)增；
則函數(shù)減；
則函數(shù)減；
則函數(shù)增；選D.
【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減
6. 已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求導(dǎo)得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，由點(diǎn)斜式求解切線方程，求出截距即可求解面積.
【詳解】，則，切點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，則切線斜率，
所以曲線在點(diǎn)處的切線是，即，
取，得，取，得，
故切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：.
故選：C.
7. 若在處取得極大值，則的值為（ ）
A 或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，由題意可得出，解出、的值，再結(jié)合題意進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，則
又在處取得極大值，
，解得或，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則處取得極小值，與題意不符；
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在處取得極大值，符合題意，則，
故選：C.
8. 若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將不等式變式為，設(shè)后轉(zhuǎn)化為恒成立，只需求函數(shù)的最大值即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，設(shè)，
則，，
令
恒成立，故單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；.
故
所以，得到.
故選:A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分.
9. 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a值可能為（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】CD
【解析】
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并利用不等式恒成立以及對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求得實(shí)數(shù)a取值范圍可得結(jié)論.
【詳解】根據(jù)題意可得函數(shù)定義域?yàn)椋?br>可得，
若函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得在上恒成立；
即在上恒成立，所以，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得
所以，
因此實(shí)數(shù)a值可能為，4.
故選：CD
10. 已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A. 1B. C. 2D. 0
【答案】BD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，根據(jù)切線與有一個(gè)公共點(diǎn)，討論、判斷公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可得a值.
【詳解】解：令，則，則，
∴在處的切線方程為，即.
又與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴，整理得，
當(dāng)時(shí)，，可得，
當(dāng)時(shí)，顯然只有一個(gè)解，符合題設(shè)；
∴或.
故選：BD.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 若，則有三個(gè)零點(diǎn)B. 若，則函數(shù)存在個(gè)極值點(diǎn)
C. 在單調(diào)遞減，則D. 若在恒成立，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間，從而得到極值點(diǎn)，得到函數(shù)大致圖像就可以判斷函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題。函數(shù)在某個(gè)區(qū)
間內(nèi)恒成立問(wèn)題可以通過(guò)分離參數(shù)的方法得到對(duì)應(yīng)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值，從而判斷參數(shù)的取值范圍.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，，，由，得：，
當(dāng)時(shí)，，得：在上單調(diào)遞減；
當(dāng)和時(shí)，，得：在和上單調(diào)遞增；
所以函數(shù)有極大值，有極小值，
所以三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，若，，
由，得有兩個(gè)解，
當(dāng)和時(shí)，，
在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，
所以存在兩個(gè)極值點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，由題意可知：是解集的子集，
當(dāng)時(shí)，顯然恒成立；
當(dāng)時(shí)，，由于，可得：，即；
綜上可得：，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)，令，則，
令（），
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
故，則；
當(dāng)，令，則，
令（），
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以，則；
綜上所述：若在恒成立，則，故D選項(xiàng)正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的高度h（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為，則當(dāng)時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為_(kāi)_____.
【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)瞬時(shí)變化率定義求導(dǎo)代入計(jì)算可得，即可求出結(jié)果.
【詳解】易知，依題意可得，
所以或（舍），
因此時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為.
故答案為：8
13. 已知函數(shù)，若函數(shù)在上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并根據(jù)極值定義以及二次函數(shù)性質(zhì)解不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】由函數(shù)可知，
若函數(shù)在上有極值，可得導(dǎo)函數(shù)在上有零點(diǎn)，
顯然在上單調(diào)遞增，
所以f′(2)0，即4+4?4a0，解得.
經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，符合題意.
故答案為：.
14. 函數(shù)，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______；若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義可確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，，求出導(dǎo)函數(shù)，由存在最小值得參數(shù)范圍，
【詳解】時(shí)，，顯然時(shí)，，時(shí)，，，零點(diǎn)為．只有1個(gè)零點(diǎn)．
若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，都有，所以是函數(shù)的最小值．
，時(shí)，，．
若，則時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，，
時(shí)，，，，
所以此時(shí)無(wú)最小值．
，則時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，
極小值，
時(shí)，，
時(shí)，無(wú)最小值，時(shí)，最小值，
綜上，的范圍是．
故答案為：1；．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值．解題關(guān)鍵是分類討論確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出的單調(diào)性，從而確定極值，解題時(shí)特別注意分段函數(shù)需要分段討論，然后比較才可能得到最小值．
四、解答題：本題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的極值.
【答案】（1）在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
（2）極大值為，極小值為
【解析】
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，即可得出其單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論以及函數(shù)極值的定義代入計(jì)算可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
易知，.
可得，
令，解得，，
由得或，此時(shí)函數(shù)在和上單調(diào)遞增；
由得，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)與的變化如下表：
由表格可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，.
因此函數(shù)的極大值為，極小值為.
16. 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)取極小值，當(dāng)時(shí)取極大值.
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.
【答案】（1）（2）最大值為，最小值為
【解析】
【分析】
（1）首先求出導(dǎo)數(shù)，依題意可得、為方程的兩個(gè)根，從而得到方程組，解得、，即可求出，再用點(diǎn)斜式求出切線方程；
（2）列出表格，找出及的變化情況，即可得到函數(shù)的最值；
【詳解】解：（1）函數(shù)，
又分別對(duì)應(yīng)函數(shù)取得極小值、極大值，
為方程的兩個(gè)根，
.解得：，
.
當(dāng)時(shí)，，即在曲線上.
又切線斜率為，
故所求切線方程為，即為.
（2）當(dāng)變化時(shí)，及的變化情況如下表：
在上的最大值為，最小值為.
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
17. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，并討論、研究的符號(hào)，進(jìn)而判斷的單調(diào)性；
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造中間函數(shù)，只需求時(shí)的范圍即可.
【詳解】（1）且，
∴時(shí)，即單調(diào)遞增；
時(shí)，有，即在上單調(diào)遞增；有，即在上單調(diào)遞減；
綜上，時(shí)在上單調(diào)遞增；時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）由題設(shè)，，即恒成立，
令，則，
∴由（1）知：時(shí)有極小值也是最小值，故只需即可.
若，則，即在上遞減，又，
∴時(shí)，，即恒成立.
∴正實(shí)數(shù)的范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，并構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最值，進(jìn)而求參數(shù)a的范圍.
18. 已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）對(duì)任意的，存在，使得成立，試確定m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與有2個(gè)交點(diǎn)，再求導(dǎo)函數(shù)得出最小值，進(jìn)而得出參數(shù)范圍；
（2）先把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值關(guān)系，再分別求出導(dǎo)函數(shù)判定單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的最小值，最后列式計(jì)算求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)樵谏嫌?個(gè)零點(diǎn)，所以即有2個(gè)根，
令與有2個(gè)交點(diǎn)，
，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；
所以，
又因?yàn)椋?br>所以與有2個(gè)交點(diǎn)可得，即得.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)閷?duì)任意的，存在，使得成立，
所以，由（1）知的最小值為，
因?yàn)椋?br>，
令，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以單調(diào)遞增，所以，
所以，即得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是把任意的，存在，使得成立，轉(zhuǎn)化為.
19. 函數(shù).
（1）若函數(shù)在上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?若存在，請(qǐng)給出證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由題意可得函數(shù)在區(qū)間上存在極值，即在上有實(shí)數(shù)解，利用導(dǎo)數(shù)解得即可；
（2）由（1）可得在上單調(diào)遞減，故時(shí)，恒有，等價(jià)于，在上恒成立．令，則上述問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用導(dǎo)數(shù)解得即可；
（3）由（1）知，在時(shí)，，．結(jié)合函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)可知，存在實(shí)數(shù)m，n符合題意，其中n=1．故只要證明在內(nèi)有一解，即在內(nèi)有一解，令，利用判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)在上有零點(diǎn)，即可得出結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
由得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在處取得極大值，，
，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知在上單調(diào)遞減，
，由得
，
即，恒成立.
令，則上述問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又在上恒成立，得在上恒成立，
而在上的最小值為，故得.
【小問(wèn)3詳解】
由（1）知，在時(shí)，.
結(jié)合函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)可知，存在實(shí)數(shù)符合題意，其中.
故只要證明在內(nèi)有一解，即在內(nèi)有一解，
令，則
由得，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上，
又
存在，使得，滿足
，即在內(nèi)有一解.
綜上所述，存在實(shí)數(shù)，滿足當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?
【點(diǎn)睛】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性的步驟：①明確定義域；②求導(dǎo)；③令導(dǎo)數(shù)等于零；④結(jié)合導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，分割定義域，分別研究不同區(qū)間上導(dǎo)數(shù)與零的大??；⑤根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，可得結(jié)論.
（2）證明雙變量不等式常用方法——構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，可得證.+
-
+
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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江蘇省錫東高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月階段性考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）
2022-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市惠山區(qū)錫東高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年江蘇省無(wú)錫市惠山區(qū)錫東高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）
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