一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
5．函數(shù)的圖像大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．若函數(shù)（其中，圖象的一個對稱中心為，，其相鄰一條對稱軸方程為，該對稱軸處所對應(yīng)的函數(shù)值為，為了得到的圖象，則只要將的圖象
A．向右平移個單位長度B．向左平移個單位長度
C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度
7．已知，，，則大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
8．若函數(shù)在上單調(diào)，且在上存在最值，則的取值范圍是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．設(shè)函數(shù)，當(dāng)為增函數(shù)時，實(shí)數(shù)的值可能是（ ）
A．2B． C．D．1
10．下列各式中值為1的是（ ）
A．B．
C．D．
11．下列命題正確的是（ ）
A．若，，則；
B．若正數(shù)a、b滿足，則；
C．若，則的最大值是；
D．若，，，則的最小值是9；
12．已知函數(shù)滿足，且在上有最大值，無最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．若，則
C．的最小正周期為4D．在上的零點(diǎn)個數(shù)最少為1012個
三、填空題（本大題共4小題）
13．已知，若函數(shù)在上隨增大而減小，且圖像關(guān)于軸對稱，則
14．函數(shù)的值域?yàn)? .
15．若，且，，則 .
16．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對任意實(shí)數(shù)恒有：①；②；③當(dāng)時，.若在上恰有三個零點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
四、解答題（本大題共6小題）
17．計算下列各式的值.
(1)；
(2).
18．已知函數(shù)過點(diǎn).
(1)求解析式；
(2)若，求的值域及單調(diào)增區(qū)間.
19．已知函數(shù)，且的最小正周期為.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在有且僅有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
20．（1）已知，求的值.
（2）已知函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).例如.若對任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21．如圖，風(fēng)景區(qū)的形狀是如圖所示的扇形OAB區(qū)域，其半徑為4千米，圓心角為60°，點(diǎn)C在弧AB上．現(xiàn)在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條商業(yè)街道DE、CD、CE，要求街道DC與OA平行，交OB于點(diǎn)D，街道DE與OA垂直（垂足E在OA上）．
(1)如果弧BC的長為弧CA長的三分之一，求三條商業(yè)街道圍成的△CDE的面積；
(2)試求街道CE長度的最小值．
22．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時，且對于，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
答案
1．【正確答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)不等式求得，再求得即可.
【詳解】由題意，，又
故
故選：A
2．【正確答案】B
【分析】判斷“”和“”之間的邏輯推理關(guān)系，可得答案.
【詳解】由可得或，推不出，
當(dāng)時，一定成立，
故“”是“”的必要不充分條件，
故選：B.
3．【正確答案】B
【分析】利用兩角和與差的正弦公式結(jié)合三角函數(shù)的值域求解.
【詳解】設(shè)，又，則有
由三角函數(shù)的有界性，知
，
所以．
故選：B．
4．【正確答案】D
【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角余弦公式求.
【詳解】由，即，
又.
故選：D
5．【正確答案】D
【分析】分、兩種情況對函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡，然后可得答案.
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)，，
所以函數(shù)的圖像大致是選項(xiàng)D，
故選：D
6．【正確答案】B
【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得的解析式，再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，得出結(jié)論．
【詳解】根據(jù)已知函數(shù)
其中，的圖象過點(diǎn)，，
可得，，
解得：．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，
可得：，
可得函數(shù)解析式為：
故把的圖象向左平移個單位長度，
可得的圖象，
故選B．
本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
7．【正確答案】B
【分析】因?yàn)?，，，故只需比較，，的大小，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及冪函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果．
【詳解】因?yàn)?，，，故只需比較，，的大小，
∵，，∴，即；
∵，，∴，即；
∴，又在上遞增．
∴，即．
故選：B．
8．【正確答案】B
【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性的關(guān)系及周期公式，結(jié)合三角函數(shù)的最值即可求解.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即,則，
由此可得．
因?yàn)楫?dāng)，即時，函數(shù)取得最值，
欲滿足在上存在極最點(diǎn)，
因?yàn)橹芷?，故在上有且只有一個最值，
故第一個最值點(diǎn)，得，
又第二個最值點(diǎn)，
要使在上單調(diào)，必須，得．
綜上可得，的取值范圍是．
故選：B．
9．【正確答案】CD
【分析】由題知，且，進(jìn)而解不等式即可得,再結(jié)合選項(xiàng)即可得答案.
【詳解】?解：當(dāng)時，為增函數(shù)，則，
當(dāng)時，為增函數(shù)，
故為增函數(shù)，則，且，解得，
所以，實(shí)數(shù)的值可能是內(nèi)的任意實(shí)數(shù).
故選：CD.
10．【正確答案】ABC
【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角和的正弦公式即特殊角的三角函數(shù)計算可得.
【詳解】解：對于A：，故A正確；
對于B：
，故B正確；
對于C：，故C正確；
對于D：，故D錯誤；
故選：ABC
11．【正確答案】BC
【分析】A選項(xiàng)用作差法即可，B，C，D選項(xiàng)都是利用基本不等式判斷.
【詳解】對于選項(xiàng)A，，
因?yàn)椋?，所以?br>,即，故，所以A錯誤；
對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以?br>
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故B正確；
對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)即 時，等號成立，所以，故C正確；
對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最小值是8，故D錯誤.
故選：BC.
12．【正確答案】AC
【分析】根據(jù)題設(shè)及正弦型函數(shù)的對稱性有，假設(shè)B中解析式成立，由得，進(jìn)而驗(yàn)證解析式，令，，，作差求，進(jìn)而求最小正周期，根據(jù)所得周期及正弦型函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)判斷區(qū)間零點(diǎn)個數(shù).
【詳解】A，由題意在的區(qū)間中點(diǎn)處取得最大值，即，正確；
B，假設(shè)若，則成立，由A知，
而，故假設(shè)不成立，則錯誤；
C，，且在上有最大值，無最小值，
令，，，
則兩式相減，得，即函數(shù)的最小正周期，故正確；
D，因?yàn)椋院瘮?shù)在區(qū)間上的長度恰好為506個周期，
當(dāng)，即，時，在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)至少為個，故錯誤.
故選：AC.
13．【正確答案】
【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與參數(shù)之間的關(guān)系可得出的值.
【詳解】若函數(shù)在上遞減，則.
當(dāng)時，函數(shù)為偶函數(shù)，合乎題意；
當(dāng)時，函數(shù)為奇函數(shù)，不合乎題意.
綜上所述，.
故答案為.
14．【正確答案】
【分析】在含有根號的函數(shù)中求值域，運(yùn)用換元法來求解
【詳解】令，則
,，
函數(shù)的值域?yàn)?br>本題主要考查了求函數(shù)的值域，在求值域時的方法較多，當(dāng)含有根號時可以運(yùn)用換元法來求解，注意換元后的定義域．
15．【正確答案】
【分析】由題意求出的范圍，，的值，而，由兩角差的余弦公式代入即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>，所以，所以，
所以，，
所以，
因?yàn)?，，則，
，，所以
所以
，
所以.
故答案為.
16．【正確答案】(3，5)
【分析】根據(jù)函數(shù)的周期和奇偶性作出和在上的圖象，根據(jù)交點(diǎn)個數(shù)列出不等式解出.
【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)， 由得，所以的周期是，
結(jié)合時，，得到函數(shù)在上的圖象，
因?yàn)樵谏锨∮腥齻€零點(diǎn)，
所以，解得
所以的取值范圍為．
故答案為.
17．【正確答案】(1)125
(2)0
【分析】（1）按照指數(shù)運(yùn)算進(jìn)行計算即可；
（2）按照對數(shù)運(yùn)算進(jìn)行計算即可；
【詳解】（1）；
（2）.
18．【正確答案】(1)
(2)值域?yàn)?，單調(diào)增區(qū)間為
【分析】（1）將代入，解得，即可得解析式；
（2）求得，令，利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）將代入，得，解得，
所以，其中；
（2），
由，解得，
令，
，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在時，，
又在上單調(diào)遞減，
所以的值域?yàn)椋?br>又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
19．【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）先由三角恒等變換化簡解析式，根據(jù)最小正周期公式求出ω，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出單調(diào)區(qū)間；
（2）由的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)
因?yàn)?，所以，解?br>所以.
由得
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
由得
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由（1）可知，
在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)
由題意可知：，即
解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
20．【正確答案】（1）（2）
【分析】（1）根據(jù)求出，據(jù)此即可求出的值；
（2）討論的取值范圍，求出，根據(jù)不等式恒成立，只需即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
所以或，因?yàn)椋?br>所以，所以，所以
；
（2），當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
，
又對任意都成立，
即恒成立，，
所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
21．【正確答案】(1)平方千米
(2)千米
【分析】（1）結(jié)合已知角及線段長，利用三角形的面積公式可求；
（2）由已知結(jié)合解三角形的知識，利用三角函數(shù)恒等變換可表示，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求．
【詳解】（1）如下圖，連接，過作，垂足為．當(dāng)弧的長為弧長的三分之一時，，在中，，，故，．在中，，，所以，則，所以，可得的面積（平方千米）；
（2）設(shè)，則，，，
又，則，所以．在直角三角形中，，其中．因?yàn)?，所以，又，所以?dāng)時，有最小值為，即．綜上，街道長度的最小值為千米．
22．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義得到對恒成立，再根據(jù)時，的取值范圍為，即可得到答案.
（2）當(dāng)時，的最小值為0，將題意轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義得到，從而將題意轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】（1）設(shè)，且，則
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以恒成立
又因?yàn)?，所以，?br>所以恒成立，即對恒成立.
當(dāng)時，的取值范圍為，
故，即實(shí)數(shù)取值范圍為.
（2）因?yàn)?，所以?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以的最小值為0，
所以由題意，可得對任意恒成立，
所以對任意恒成立.
①由有意義，得，即，.
又有意義，得，即，.
②由，
得，
即，
得對任意恒成立，
又，所以為減函數(shù)，
即：當(dāng)，的最大值為，
所以，解得.
由①②得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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