1. 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2. 回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.
3. 回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
4. 考試結(jié)束后，將答題卡交回.
第Ⅰ卷
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，則的子集有（ ）
A. 個(gè)B. 個(gè)C. 個(gè)D. 個(gè)
2. 已知集合，，集合為（ ）
A. B. C. D. 不確定
3. 設(shè)，則""是""的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 設(shè)全集，集合，則滿足的集合共有（ ）
A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)
5. 若不等式的解集是，則不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若命題“，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
A. B. C. D.
7. 已知，，則、 的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D. 無法確定
8. 某校高三（1）班有50名學(xué)生，春季運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有15名學(xué)生參加了田賽項(xiàng)目，有20名學(xué)生參加了徑賽項(xiàng)目，已知田賽和徑賽都參加的有8名同學(xué)，則該班學(xué)生中田賽和徑賽都沒有參加的人數(shù)為（ ）
A. 27B. 23C. 15D. 7
二、多項(xiàng)選擇題（在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂符合題目要求.本題共3小題，共18分；全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對(duì)一個(gè)得3分;若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分）
9. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)值可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a可能取值（ ）
A. 0B. 3C. D.
11. 已知實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知，，則是的_______________（充分條件”、“必要條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選擇一個(gè)填空）．
13. 已知集合，則集合的所有子集的個(gè)數(shù)是________.
14. 若X是一個(gè)集合,是一個(gè)以X某些子集為元素的集合,且滿足：①X屬于,空集屬于；②中任意多個(gè)元素的并集屬于；③中任意多個(gè)元素的交集屬于τ.
則稱是集合X上的一個(gè)拓?fù)洌阎蟈＝{,,},對(duì)于下面給出的四個(gè)集合：
①＝{,{},{},{,,}}；
②＝{,{},{},{,},{,,}}；
③＝{,{},{,},{,}}；
④＝{{,},{,},{},{,,}}．
其中是集合X上的一個(gè)拓?fù)涞募系乃行蛱?hào)是________．
四、解答題（本大題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16. 已知集合，或.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）當(dāng)時(shí)，若“”是“”的充分條件，求的取值范圍.
17. 解不等式.
18. （1）已知，求證：；
（2）已知，求證：；
（3）已知，求證：
19. 已知，.
（1）是否存在實(shí)數(shù)m，使是充要條件？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使是的必要條件？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.
2024-2025學(xué)年山西省朔州市懷仁市高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題
注意事項(xiàng)：
1. 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2. 回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.
3. 回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
4. 考試結(jié)束后，將答題卡交回.
第Ⅰ卷
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，則的子集有（ ）
A. 個(gè)B. 個(gè)C. 個(gè)D. 個(gè)
【正確答案】D
【分析】根據(jù)集合子集的個(gè)數(shù)計(jì)算公式求解.
【詳解】因?yàn)榧瞎灿袀€(gè)元素，所以子集個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：D.
2. 已知集合，，集合為（ ）
A. B. C. D. 不確定
【正確答案】C
【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算法則確定．
【詳解】由題意，，則，所以．
故選：C．
3. 設(shè)，則""是""的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】用集合法判斷即可.
【詳解】因?yàn)榧鲜羌系恼孀蛹?br>所以“”是“”的必要不充分條件．
故選：B.
結(jié)論點(diǎn)睛：有關(guān)充要條件類問題的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：
(1)若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；
(2)若是的充分不必要條件， 則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；
(3)若是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；
(4)若是的既不充分又不必要條件，對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．
4. 設(shè)全集，集合，則滿足的集合共有（ ）
A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)
【正確答案】C
【分析】結(jié)合集合的有關(guān)概念與運(yùn)算即可.
【詳解】由題意知，，，且，即，且，則，所以集合可以是，，，共4個(gè)，
故選：C.
5. 若不等式的解集是，則不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】依題意和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理得到方程組，即可求出，再解一元二次不等式即可.
【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧牵海?br>所以和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
由，解得：，
故不等式，即為，
解不等式，得：，
所求不等式的解集是.
故選：C．
6. 若命題“，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】
由題意先找到等價(jià)命題“,都有恒成立”，再求即可.
【詳解】命題“，使得”是假命題等價(jià)于“,都有恒成立”是真命題,所以即,解得: .
故選:B.
本題主要考查了特稱命題的否定與恒成立問題,屬于簡(jiǎn)單題型.
7. 已知，，則、 的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D. 無法確定
【正確答案】C
【分析】對(duì)、運(yùn)用作差法得，再根據(jù),和，可得結(jié)論.
【詳解】
，
，又，
，.
故選C.
本題考查運(yùn)用作差法比較代數(shù)式的值的大小，作差法常運(yùn)用的步驟是：作差、通分、分解因式或配方，關(guān)鍵在于能判斷每一個(gè)因式的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.
8. 某校高三（1）班有50名學(xué)生，春季運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有15名學(xué)生參加了田賽項(xiàng)目，有20名學(xué)生參加了徑賽項(xiàng)目，已知田賽和徑賽都參加的有8名同學(xué)，則該班學(xué)生中田賽和徑賽都沒有參加的人數(shù)為（ ）
A. 27B. 23C. 15D. 7
【正確答案】B
【分析】由題意，結(jié)合韋恩圖可求解
【詳解】設(shè)高三（1）班有50名學(xué)生組成的集合為 ,參加田賽項(xiàng)目的學(xué)生組成的集合為，參加徑賽項(xiàng)目的學(xué)生組成的集合為
由題意集合有15個(gè)元素，有20個(gè)元素，中有8個(gè)元素
所以有個(gè)元素.
所以該班學(xué)生中田賽和徑賽都沒有參加的人數(shù)為
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題（在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂符合題目要求.本題共3小題，共18分；全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選頂，每選對(duì)一個(gè)得3分;若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分）
9. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ABC
【分析】
由可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的可能取值.
【詳解】，且，所以，，解得.
因此，ABC選項(xiàng)合乎題意.
故選：ABC.
10. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的可能取值（ ）
A. 0B. 3C. D.
【正確答案】ACD
【分析】
由集合間關(guān)系，按照、討論，運(yùn)算即可得解.
【詳解】∵集合，，，
當(dāng)時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，要使，則需要滿足或，
解得或，
a的值為0或或.
故選：ACD.
11. 已知實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AC
【分析】
利用不等式的可加性判斷AB；變形后判斷C；變形后判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以，A正確；
因?yàn)?，所以，解得，B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，C正確；
，，所以， D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知，，則是的_______________（充分條件”、“必要條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”中選擇一個(gè)填空）．
【正確答案】充分條件
【分析】根據(jù)集合關(guān)系判斷即可得答案.
【詳解】設(shè)命題對(duì)應(yīng)的集合為,
命題對(duì)應(yīng)的集合為,
因?yàn)?所以命題是命題充分條件.
故充分條件.
結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：
（1）若是必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；
（2）若是的充分不必要條件， 則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；
（3）若是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要條件，則對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．
13. 已知集合，則集合的所有子集的個(gè)數(shù)是________.
【正確答案】32
【分析】
根據(jù)條件求出集合B中的元素即可．
【詳解】因?yàn)榧希瑒t集合，
所以集合B的所有子集的個(gè)數(shù)是個(gè)，
故答案為.
14. 若X是一個(gè)集合,是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合,且滿足：①X屬于,空集屬于；②中任意多個(gè)元素的并集屬于；③中任意多個(gè)元素的交集屬于τ.
則稱是集合X上的一個(gè)拓?fù)洌阎蟈＝{,,},對(duì)于下面給出的四個(gè)集合：
①＝{,{},{},{,,}}；
②＝{,{},{},{,},{,,}}；
③＝{,{},{,},{,}}；
④＝{,{,},{,},{},{,,}}．
其中是集合X上的一個(gè)拓?fù)涞募系乃行蛱?hào)是________．
【正確答案】②④.
【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行驗(yàn)證即可得．
【詳解】①τ＝{?,{a},{c},{a,b,c}},因?yàn)閧a}∪{c}＝{a,c}?τ,故①不是集合X上的一個(gè)拓?fù)洌?br>②滿足集合X上的一個(gè)拓?fù)涞募夕拥亩x；
③因?yàn)閧a,b}∪{a,c}＝{a,b,c}?τ,故③不是集合X上的一個(gè)拓?fù)洌?br>④滿足集合X上的一個(gè)拓?fù)涞募夕拥亩x.
故②④.
四、解答題（本大題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)并集的概念運(yùn)算可得結(jié)果；
（2）分類討論集合是否為空集，根據(jù)交集結(jié)果列式可得答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以.
（2）因?yàn)椋?br>（i）當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；
（ii）當(dāng)時(shí)，，解得或.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：容易漏掉集合為空集的情況.
16. 已知集合，或.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）當(dāng)時(shí)，若“”是“”的充分條件，求的取值范圍.
【正確答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，解出集合A，計(jì)算；
（2）由集合法判斷充要條件，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，由不等式，
得，故，
又或，
所以或.
（2）若“”是“”的充分條件，等價(jià)于，
因?yàn)?，由不等式，得?br>又或，
要使，則或，
綜合可得的取值范圍為.
結(jié)論點(diǎn)睛：有關(guān)充要條件類問題的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：
(1)若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；
(2)若是的充分不必要條件， 則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；
(3)若是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；
(4)若是的既不充分又不必要條件，對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．
17. 解不等式.
【正確答案】答案見解析
【分析】將不等式化為，故對(duì)應(yīng)的方程必有兩根，再討論兩根的大小即可求出所對(duì)應(yīng)的不等式的解集.
【詳解】解：對(duì)于不等式，可化為，
所以方程有兩根、，
令，解得，
∴當(dāng)或時(shí)， ，故原不等式的解集為；
當(dāng)或時(shí)，，原不等式的解集為；
當(dāng)或時(shí)， ，原不等式的解集為；
綜上可得：當(dāng)當(dāng)或時(shí)解集為，當(dāng)或時(shí)解集為，
當(dāng)或時(shí)解集為.
18. （1）已知，求證：；
（2）已知，求證：；
（3）已知，求證：
【正確答案】證明見解析
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)證明.
【詳解】（1）∵，
∴，又，
∴；
（2），
∴，又，
∴；
（3）因?yàn)椋?br>所以，
所以，即.
19. 已知，.
（1）是否存在實(shí)數(shù)m，使是充要條件？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使是的必要條件？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【正確答案】（1）不存在，理由見解析
（2）存在，
【分析】（1）要使是的充要條件，則，得到，方程無解，得到答案.
（2）要使是的必要條件，則，考慮和兩種情況，計(jì)算得到答案.
【小問1詳解】
，
要使是的充要條件，則，即，此方程無解，
則不存在實(shí)數(shù)m，使是的充要條件；
【小問2詳解】
要使是的必要條件，則，
當(dāng)時(shí)，，得；
當(dāng)時(shí)，，得，要使，則有，得，故，
綜上所述，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，是的必要條件.

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