一、單選題（本大題共8小題）
1．函數(shù) 的圖象恒過定點（ ）
A．B．C．D．
2．已知命題；命題，則（ ）
A．和都是真命題B．和都是真命題
C．和都是真命題D．和都是真命題
3．有4根火柴棒的長度可以構(gòu)成一個四元數(shù)集，將這4根火柴棒首尾相接連成一個平面四邊形，則這個平面四邊形可能是（ ）
A．梯形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
4．在下列區(qū)間中，函數(shù)一定存在零點的有（ ）
A．B．C．D．
5．已知，且是方程的兩根，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知某扇形的圓心角為，周長為10，設(shè)甲：為第二象限角；乙：該扇形的面積為6，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件又不是乙的必要條件
7．已知，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知，則下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．C．D．
10．已知為銳角，角的始邊均為軸正半軸，終邊關(guān)于軸對稱，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
11．現(xiàn)定義：若對定義域內(nèi)任意，都有，其中為正數(shù)，則稱函數(shù)為“倍平移函數(shù)”，則（ ）
A．函數(shù)為“3倍平移函數(shù)”
B．函數(shù)不是“1倍平移函數(shù)”
C．函數(shù)是“2倍平移函數(shù)”
D．若函數(shù)是“2倍平移函數(shù)”，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知函數(shù)，則 ．
13．已知函數(shù)，若和的圖象與軸的交點完全相同，則的最小值為 ．
14．已知函數(shù)，若，則的取值范圍為 ，若
恒成立，則的最大值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．設(shè)集合．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范圍．
16．（1）求的值；
（2）已知，求的值.
17．已知冪函數(shù)的定義域為．
(1)求的值；
(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義法進行證明．
18．某人工調(diào)控的河流的河道容量上限可以用如下公式測算：，其中是河道寬度，是平均徑流量，是平均蒸發(fā)量．
(1)若初始情況下，在不改動河道寬度的前提下，要使擴大，求應控制的值；
(2)已知徑流量，證明：．
19．已知，函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增．
(1)若，求曲線的對稱軸與對稱中心；
(2)當取最大值時，若，求的最小值；
(3)設(shè)函數(shù)，若對于任意的實數(shù)在區(qū)間上都不單調(diào)，求的取值范圍．
參考答案
1．【答案】D
【詳解】對于函數(shù)（），令，即.
當時，.
所以函數(shù)（）的圖象恒過定點.
故選：D.
2．【答案】B
【詳解】由于，則命題是假命題，是真命題；
命題是真命題，是假命題，
故選：B
3．【答案】A
【詳解】可得四個元素互不相等，則四條邊互不相同，
所以不可能圍成矩形、菱形和等腰梯形，有可能連成梯形.
故選：A.
4．【答案】B
【詳解】顯然，函數(shù)在以上區(qū)間都連續(xù).
，，，，，
由于，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不一定存在零點.
由于，根據(jù)函數(shù)零點存在定理，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定存在零點.
由于，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不一定存在零點.
由于，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不一定存在零點.
綜上所得，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定存在零點.
故選：B.
5．【答案】C
【詳解】在區(qū)間內(nèi)，，.
已知和是方程的兩根，
根據(jù)韋達定理有，.
因為，所以.
又因為，所以.則.
所以，
又，即，解得.
故選：C.
6．【答案】D
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，
則，解得或，
所以當時，（弧度），其為第二象限角；當時，（弧度），其不是第二象限角，
又第二象限角的范圍為，
所以甲無法推出乙，乙也無法推出甲.
故選：D.
7．【答案】A
【詳解】，因此；
，則
，
所以.
故選：A
8．【答案】B
【詳解】正數(shù)滿足，則
，當且僅當，即時取等號，
所以
，當且僅當時取等號，
所以的最小值為4.
故選：B
9．【答案】ACD
【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；
對于B，當時，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，因為，所以，
所以，所以，故D正確；
故選：ACD.
10．【答案】BCD
【詳解】對于A選項，不能確定的值，A選項錯誤；
對于B選項，由題意，可得，是銳角，，，B選項正確；
對于C選項，由題意，由可得，，選項C正確；
對于D選項，由，，，
兩邊平方，得到，，D選項正確.
故選：BCD
11．【答案】AD
【詳解】對于A，因為，又，
由于在上單調(diào)遞增，所以，
所以函數(shù)為“3倍平移函數(shù)”，故A正確；
對于B，因為，所以，
所以，
因為，所以，
所以函數(shù)是“1倍平移函數(shù)”，故B錯誤；
對于C，因為，所以，
當時，，，即，
所以函數(shù)不是“2倍平移函數(shù)”，故C錯誤；
對于D，若，是“2倍平移函數(shù)”，
則，即對恒成立，
可得，
當時，可得，
整理得，所以，解得；
當時，可得，
整理得，所以，解得；
綜上，，故D正確.
故選：AD.
12．【答案】
【詳解】因為，
所以.
故答案為：.
13．【答案】
【詳解】因為和的圖象與軸的交點完全相同，則，即，
所以，解得，
又，所以的最小值為.
故答案為：.
14．【答案】 6
【詳解】函數(shù)的定義域為R，，函數(shù)是偶函數(shù)，
當時，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)是增函數(shù)，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
則，解得或，
所以的取值范圍為；
，當且僅當時取等號，
，
不等式，
而，當且僅當，即時取等號，
因此，所以的最大值為6.
故答案為：；6
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），
所以，或，
若，，
所以.
（2）因為，所以，解得.
16．【答案】（1）5；（2）
【詳解】（1）
；
（2）由可得，則，
所以，
所以.
17．【答案】(1)
(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析
【詳解】（1）因為是冪函數(shù)，所以，
解得或，
當，冪函數(shù)的定義域為，符合題意；
當，冪函數(shù)的定義域為，不符合題意；
所以，所以．
（2）在上單調(diào)遞增，理由如下：
由（1）可得，
且，
所以，
因為，，所以，
又，所以，所以，
所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.
18．【答案】(1)63；
(2)證明見解析.
【詳解】（1）當時，，擴大，即，
因此，即，則，所以
（2）當時，，
而，
又
,
所以，即原等式成立.
19．【答案】(1)對稱軸為，對稱中心為；
(2)；
(3).
【詳解】（1）當時，，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，
得，解得，而，則，，
由，得；由，得，
所以曲線的對稱軸為，對稱中心為.
（2）由（1）知，，，，
由，得，整理得，
因此，，解得，則，
所以的最小值是.
（3）由（1）知，，
而
，
由對于任意的實數(shù)在區(qū)間上都不單調(diào)，
得函數(shù)在上至少取到一個最大值和一個最小值，即，解得，
所以的取值范圍是.

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