1. 設(shè)集合，，則等于（ ）
A B.
C. D.
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若a,b∈R,則+≥2B. 若x0,b>0，則+≥a+bD. 若a>0,b>0,則a+b < 2
4. 二次不等式的解集為，則的值為（ ）
A. B. 5C. D. 6
5. 關(guān)于一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，若，則的最大值為（ ）．
A. B. C. D. 1
7. 對(duì)于，用表示不大于的最大整數(shù)，例如：，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
8. 已知，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 若，則下列不等式成立的是（ ）
A B.
C. D.
11. 下列結(jié)論中正確的有（ ）
A. 的最小值是2
B. 如果，，，那么的最大值為3
C. 函數(shù)的最小值為2
D. 如果，，且，那么的最小值為2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 已知集合，且，則實(shí)數(shù)值為___________.
13. 不等式的解集是 ______
14. 已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，．
（1）當(dāng)時(shí)，求，，；
（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
16. 己知命題p：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）若p是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值集合A；
（2）在（1）的條件下，集合，若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
17 已知函數(shù)．
（1）若不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若，解關(guān)于x的不等式．
18. 為持續(xù)推進(jìn)“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計(jì)劃在該村廣場旁一矩形空地進(jìn)行綠化．如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（陰影部分）均種植寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為300平方米．
（1）若矩形草坪的長比寬至少多5米，求草坪寬的最大值；
（2）若草坪四周的花壇寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值．
19. （1）設(shè)．
①若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②討論關(guān)于x的不等式的解集．
若關(guān)于x的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求a的取值范圍．
2024-2025學(xué)年陜西省安康市高一上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)集合的交集定義，借助于數(shù)軸即可求得.
【詳解】.
故選：B.
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】C
【分析】直接利用特稱命題的否定形式判定即可.
【詳解】根據(jù)特稱命題的否定形式可知命題“，”的否定是“，”.
故選：C
3. 下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若a,b∈R,則+≥2B. 若x0,b>0，則+≥a+bD. 若a>0,b>0,則a+b < 2
【正確答案】C
【分析】A由特殊值法判斷正誤；B由結(jié)合基本不等式即可判斷正誤；C利用作差法可得，結(jié)合已知條件即可判斷正誤；D直接由基本不等式判斷正誤.
【詳解】A：當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；
B：由題設(shè)，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故錯(cuò)誤；
C：，又a>0,b>0，所以，即+≥a+b，故正確；
D：由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故錯(cuò)誤.
故選：C
4. 二次不等式解集為，則的值為（ ）
A. B. 5C. D. 6
【正確答案】D
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與方程根的關(guān)系求解即可.
【詳解】不等式解集為，
，
原不等式等價(jià)于，
由韋達(dá)定理知，，
，，
．
故選：D．
5. 關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由可得，根據(jù)充分、必要條件的定義，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.
【詳解】因?yàn)橐辉畏匠逃袑?shí)根，
所以，解得.
又是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：A
6. 已知，，若，則的最大值為（ ）．
A. B. C. D. 1
【正確答案】A
【分析】由基本不等式求最大值．
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．
故選：A．
7. 對(duì)于，用表示不大于的最大整數(shù)，例如：，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)取整函數(shù)的定義，對(duì)兩個(gè)條件進(jìn)行正反推理，即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，如，，不能得到，
由，則，又，所以一定能得到，
所以“”是“”成立的充分不必要條件.
故選.
8. 已知，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】首先對(duì)題中所給的式子進(jìn)行變形，之后利用基本不等式求得最小值，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于待求式子的一個(gè)一元二次不等式，解不等式求得結(jié)果.
【詳解】，
兩邊同時(shí)乘以“”得：，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，
所以，解得或，
因?yàn)椋?，即?br>故選：B.
該題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算，屬于中檔題目.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ABC
【分析】
由可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的可能取值.
【詳解】，且，所以，，解得.
因此，ABC選項(xiàng)合乎題意.
故選：ABC.
10. 若，則下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BCD
【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．
【詳解】對(duì)A，若，則，兩邊同時(shí)除以，
所以，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，由可得，B正確；
對(duì)C，因?yàn)椋?br>所以，
即，C正確；
對(duì)D，由可得，，
所以，D正確．
故選：BCD.
11. 下列結(jié)論中正確的有（ ）
A. 的最小值是2
B. 如果，，，那么的最大值為3
C. 函數(shù)的最小值為2
D. 如果，，且，那么的最小值為2
【正確答案】BD
【分析】對(duì)A，如果，那么，命題不成立；對(duì)B，使用基本不等式得
，即可得的最大值；
對(duì)C，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)無解；
對(duì)D，根據(jù)題意構(gòu)造，將“1”替換為，代入用基本不等式求解.
【詳解】對(duì)于A，如果，那么，最小值是2不成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，如果，，，則，整理得，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為3，故B正確；
對(duì)于C，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x無解，故不能取得最小值2，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如果，，且，那么，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故D正確．
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為___________.
【正確答案】3
【分析】由集合的元素，以及，分類討論，結(jié)合集合元素互異性，即可得出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由題可得，若，則，不滿足集合元素的互異性，舍去；
若，解得或，其中不滿足集合元素的互異性，舍去，
所以.
故3.
本題考查集合元素的互異性，結(jié)合元素與集合關(guān)系以及通過對(duì)集合中元素構(gòu)成的特點(diǎn)求參數(shù)值.
13. 不等式的解集是 ______
【正確答案】
【分析】把原不等式的右邊移項(xiàng)到左邊，通分化簡，然后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解不等式即可.
【詳解】不等式，移項(xiàng)得，即解得，
則原不等式的解集為.
故
14. 已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【正確答案】
【分析】寫出命題的否定，由命題的否定是真命題，即一元二次不等式恒成立可得．
【詳解】由題意：是真命題，
，即，因?yàn)椋?br>則，則對(duì)恒成立，
設(shè)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
則.
故．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，．
（1）當(dāng)時(shí)，求，，；
（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【正確答案】（1），，
（2）
【分析】（1）根據(jù)集合交集、并集和補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)集合交集的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合子集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，可得集合，，
所以，.
，.
【小問2詳解】
由，可得，
①當(dāng)時(shí)，可得，解得；
②當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.
16. 己知命題p：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）若p是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值集合A；
（2）在（1）的條件下，集合，若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）依題意，解得即可；
（2）依題意可得，分和兩種情況討論，分別得到不等式（組），即可求出參數(shù)取值范圍；
【小問1詳解】
若是真命題，則，解得，
則；
【小問2詳解】
因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以，
當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，則有，解得，
綜上所述，取值范圍為．
17. 已知函數(shù)．
（1）若不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若，解關(guān)于x的不等式．
【正確答案】（1）
（2）答案見解析
【分析】（1）對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)一元二次不等式恒成立列不等式來求得的取值范圍.
（2）化簡，對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)一元二次不等式的知識(shí)求得正確答案.
【小問1詳解】
的解集為，
即在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，，解得，則其解集不是，舍去；
當(dāng)時(shí)，需滿足且一元二次方程無實(shí)根，
則有，
即，解得.
綜上，的取值范圍為.
【小問2詳解】
，
即，即，
令，解得或，
當(dāng)時(shí)，不等式解集為，
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.
18. 為持續(xù)推進(jìn)“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計(jì)劃在該村廣場旁一矩形空地進(jìn)行綠化．如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（陰影部分）均種植寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為300平方米．
（1）若矩形草坪的長比寬至少多5米，求草坪寬的最大值；
（2）若草坪四周的花壇寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值．
【正確答案】（1）15米 （2）864平方米
【分析】（1）根據(jù)“矩形草坪的長比寬至少多5米”列不等式，解不等式來求得草坪寬的最大值.
（2）求得綠化面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得最小值.
【小問1詳解】
設(shè)草坪的寬為x米，長為y米，由面積為300平方米，得，
∵矩形草坪的長比寬至少多5米，∴，
∴，解得，
又，∴，
草坪寬的最大值為15米．
【小問2詳解】
記整個(gè)綠化面積為S平方米，由題意可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
∴整個(gè)綠化面積的最小值為864平方米．
19. （1）設(shè)．
①若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②討論關(guān)于x的不等式的解集．
（2）若關(guān)于x的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求a的取值范圍．
【正確答案】（1）；（2）答案見解析；（3）
【分析】（1）①由題意可得對(duì)恒成立，即有的最小值，運(yùn)用基本不等式可得最小值，即可得到所求范圍；
②討論判別式小于等于0，以及判別式大于0，由二次函數(shù)的圖象可得不等式的解集．
（2）因式分解得，再對(duì)進(jìn)行合理分類討論即可.
【詳解】（1）①由題意，若對(duì)任意x>0恒成立，
即為對(duì)x>0恒成立，即有的最小值，
時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可得.
②當(dāng)，即時(shí)，的解集為R；
當(dāng)，即或時(shí)，方程的兩根為，，
可得的解集為．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為R；
當(dāng)或時(shí)，解集為.
（2）原不等式等價(jià)于，分類討論：
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，整數(shù)不止3個(gè)；
當(dāng)時(shí)，方程的兩根為和，且.
①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，此時(shí)滿足條件，得；
②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，顯然不滿足題意；
④當(dāng)時(shí)，不等式的解集為整數(shù)不止3個(gè).
綜上所述，的取值范圍是.

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