一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
3．若，則（ ）
A．B．C．D．
4．中國(guó)歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，若，則扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為（ ）

A．3B．2C．D．
5．已知且，若函數(shù)與在上的單調(diào)性相同，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖是函數(shù)的大致圖象，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
7．若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．自然常數(shù)是數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)常數(shù)，17世紀(jì)人們?cè)谘芯拷?jīng)濟(jì)學(xué)中的復(fù)利問題時(shí)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)數(shù)，后來眾多數(shù)學(xué)家對(duì)自然常數(shù)進(jìn)行了深入的研究，其字母表示來自數(shù)學(xué)家歐拉的名字.已知函數(shù)，則下列命題為真命題的是（ ）
A．，
B．，
C．，，
D．，，
10．已知，，若，，則（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線與軸平行，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
12．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 .
13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，為的導(dǎo)函數(shù)，則 .
14．記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則 .
四、解答題
15．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)，
(1)求的解析式；
(2)將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，求在區(qū)間上的最值.
16．已知函數(shù).
(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積；
(2)設(shè)函數(shù)，若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
17．甲、乙兩位跑步愛好者堅(jiān)持每天晨跑，上周的7天中，他們各有5天晨跑路程超過.
(1)從上周任選3天，設(shè)這3天中甲晨跑路程超過的天數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)用上周7天甲、乙晨跑路程的頻率分布估計(jì)他們各自每天晨跑路程的概率分布，且他們每天晨跑的路程互不影響.設(shè)“下個(gè)月的某3天中，甲晨跑路程超過的天數(shù)比乙晨跑路程超過的天數(shù)恰好多2”為事件，求.
參考數(shù)據(jù)：.
18．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，動(dòng)直線過點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)求點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的軌跡方程；
(3)若與交于，兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），直線，分別與直線交于點(diǎn)，，證明：.
19．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.
(1)證明：為等比數(shù)列；
(2)任意給定，求滿足的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)；
(3)若，證明：當(dāng)時(shí)，.
參考答案：
1．B
【分析】解二次不等式得到集合，由交集定義得出結(jié)果.
【詳解】依題意得：集合，所以.
故選：B.
2．D
【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意得，所以.
故選：D
3．C
【分析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
【詳解】.
故選：C.
4．A
【分析】設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為，圓心角為，根據(jù)，得到，.
【詳解】如圖，設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為，圓心角為，則，
所以，得，又，所以.

故選：A
5．C
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.
【詳解】由題意知在上只能是單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，所以
得.
又單調(diào)遞增，所以.
綜上得.
故選：C
6．D
【分析】由圖確定是的極小值點(diǎn)，求得，即可求解.
【詳解】由圖可知，是的極小值點(diǎn)，由已知得，
令，得，得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，
所以，由，，
可得，解得.
故選：D
7．C
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解.
【詳解】若，則當(dāng)時(shí)，，
則恒成立，不符合題意.
若，函數(shù)和函數(shù)都是偶函數(shù)，
且都在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
要使在上存在零點(diǎn)，
只需，即，
所以.
故選：.
8．A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱問題，得到為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的含義得到的值，即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，
則，即，且為奇函數(shù)，
所以，得，
所以，
故選：A.
9．ABD
【分析】判斷的奇偶性可判斷A；取可判斷B；，，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B正確；
對(duì)于C,D，，，，
要使選項(xiàng)中所述等式成立，需，
當(dāng)，時(shí)，該式不一定成立，
當(dāng)，時(shí)，該式成立，
故C錯(cuò)誤，D正確.
故選:ABD.
10．BC
【分析】由三角恒等變換化簡(jiǎn)逐項(xiàng)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
又因?yàn)?，，所以，即，所以?br>所以，所以，，
且.故B，C正確，A，D錯(cuò)誤.
故選：BC
11．AD
【分析】求導(dǎo)，由題意得到，再結(jié)合放縮，逐項(xiàng)判斷.
【詳解】解：，由題意知.
對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，所以，故A正確；
對(duì)于B，同理，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，，，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，得，
由，得，所以，故D正確.
故選：AD
12．
【分析】利用重要不等式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即的最小值為.
故答案為：
13．/
【分析】求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入求值.
【詳解】，
所以.
故答案為：
14．/
【分析】先將看作關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性后用表示其最大值，最后再利用導(dǎo)數(shù)求該最大值的最小值即可.
【詳解】設(shè)，則，
當(dāng)，時(shí)，（不恒為零），所以是減函數(shù)，
所以.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.
故答案為：.
15．(1)
(2)最小值為，最大值為1
【分析】（1）由圖象可得，代入求出，由，結(jié)合圖象可得，求出，求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)伸縮和平移變換得到，整體法求出函數(shù)在上的最值.
【詳解】（1）由圖象知.
因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，
又，所以，所以.
又的圖象過點(diǎn)，由“五點(diǎn)作圖法”可得，
所以.所以.
（2）由題意知，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
則，
所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為1.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而可得交點(diǎn)坐標(biāo)和面積；
（2）分析可知，參變分離可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.
【詳解】（1）由題意得，
則.
又因?yàn)椋缘膱D象在點(diǎn)處的切線為，
與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為和，
所求的封閉圖形的面積為.
（2）的定義域?yàn)?,+∞，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，
即，
所以.
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，h′x>0，hx單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，h′x

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