2022屆海南省高三學(xué)業(yè)水平診斷（二）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（     ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先對已知式子化簡求出復(fù)數(shù)，從而可得答案【詳解】，所以z對應(yīng)的點位于第三象限.故選：C2．已知集合，集合，則（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合，再根據(jù)集合中和，即可求出結(jié)果.【詳解】因為集合，所以，在集合中，由，得，即，又，所以，，，即.故選：B.3．已知角為第二象限角，，則（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由角所在的象限及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系求即可.【詳解】因為是第二象限角，所以，，由，，可得：.故選：A.4．函數(shù)的零點個數(shù)為（     ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象交點的個數(shù)，進而作圖判斷即可.【詳解】解:函數(shù)的零點個數(shù)即函數(shù)與的圖象交點的個數(shù)，作圖如圖所示，由圖可知，兩圖象有兩個交點，故原函數(shù)有2個零點故選：C5．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何模型.如圖1，正方體的棱長為2，用一個底面直徑為2的圓柱面去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋（如圖2）.已知這個牟合方蓋與正方體內(nèi)切球的體釈之比為，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可求出正方體的體積和其內(nèi)切球的體積，從而可求出牟合方蓋的體積，然后用正方體的體積減去牟合方蓋的體積即可【詳解】正方體的體積為，其內(nèi)切球的體積為，由條件可知牟合方蓋的體積為，故正方體除去牟合方蓋后剩余的部分體積為.故選：C6．已知拋物線的焦點為F，以F為圓心，p為半徑的圓F與拋物線C交于點M，N，與x軸的正半軸交于點Q，若，則p=（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點M作拋物線準線的垂線，垂足為，設(shè)拋物線準線與x軸的交點為，證明出四邊形是正方形，得到，且即可求解.【詳解】如圖示：過點M作拋物線準線的垂線，垂足為，由拋物線定義，.設(shè)拋物線準線與x軸的交點為，則，所以四邊形是正方形，則，且又，所以.故選：A7．若函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（     ）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)和的大致圖象，如圖，聯(lián)立直線和拋物線方程求出點A、B的橫坐標，對m取、、、情況分類討論，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，作出函數(shù)和的大致圖象.，得，解得，，注意到點A是二次函數(shù)圖象的最低點，所以若，則當時，單調(diào)遞減，不符合題意；當時符合題意；當時，則，在時函數(shù)圖象“向下跳躍”，不符合題意；當時，符合題意.所以m的取值范圍為：或.故選：D8．在直角梯形ABCD中，，，且，.若線段CD上存在唯一的點E滿足，則線段CD的長的取值范圍是（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算，即可求得答案.【詳解】解析   如圖所示，以A為坐標原點，和分別為x軸和y軸正方向建立直角坐標系.則 , 設(shè)DE的長為x，則 ，則，，所以，解得或，由題意知： ，且點E存在于CD上且唯一，知CD的長的取值范圍是，故選：B.二、多選題9．依據(jù)我國《地表水環(huán)境質(zhì)量標準》，水質(zhì)由高到低可以分為I、II、III、IV、V、劣V類六個類別，其中I、II類水質(zhì)適用于飲用水源地一級保護區(qū)，劣V類水質(zhì)除調(diào)節(jié)局部氣候外，幾乎無使用功能.環(huán)境監(jiān)測部門某一年對全國范圍內(nèi)各大水域的水質(zhì)情況進行監(jiān)測，統(tǒng)計了各水域不同水質(zhì)所占的比例，得到了下面的統(tǒng)計圖.從統(tǒng)計圖中能夠得到的合理推斷是（     ）A．浙閩片河流、西北諸河、西南諸河水質(zhì)情況整體高于其他流域水質(zhì)情況B．遼河流域I~III類水質(zhì)占比小于60%C．黃河流域的水質(zhì)比長江流域的水質(zhì)要好D．IV、V類水質(zhì)所占的比例最高的是淮河流域【答案】ABD【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖分析各選項的描述是否正確即可.【詳解】A：浙閩片河流、西北諸河、西南諸河I-III類水質(zhì)占比最高，正確；B：由圖知：遼河流域I~III類水質(zhì)占比小于60%，正確；C：由圖知：長江流域I~III類水質(zhì)占比高于黃河流域，其它類占比小于黃河流域，錯誤；D：淮河流域IV、V類水質(zhì)所占的比例最高，正確.故選：ABD.10．已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是其公比，下列說法正確的是（     ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，遞增的等比數(shù)列包括兩種情況：時或時.【詳解】由題意知，遞增的等比數(shù)列包括兩種情況：時或時.故，，故選：BD11．已知函數(shù)，設(shè)，則成立的一個充分條件是（     ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，結(jié)合可得，舉例說明即可判斷選項A、B，將選項C、D變形即可判斷.【詳解】函數(shù)的定義域為R，則函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.若，則，即.A：若，滿足，但，故A錯誤；B：若，滿足，但，故B錯誤；C：由可得，即，故C正確；D：由，故D正確.故選：CD12．對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點，，定義它們之間的一種“距離”：，則下列說法正確的是（     ）A．若點C是線段AB的中點，則B．在中，若，則C．在中，D．在正方形ABCD中，有【答案】ACD【分析】對于AC，根據(jù)距離的新定義分析判斷，對于B，舉例判斷，對于D，根據(jù)距離的新定義結(jié)合圖形分析判斷【詳解】對于A，，故A正確；對于B，取，則，而，不滿足，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，因為，同理，所以，故C正確；對于D，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，當正方形的邊與坐標軸平行時，易知，如圖，設(shè)AB與x軸的夾角為，由圖可知，故D正確.故選：ACD三、填空題13．若對任意的且，函數(shù)的圖象恒過定點P，則點P的坐標為___________.【答案】（2，1）【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，令，解得，進而得出點P坐標.【詳解】令，解得，則，所以點P的坐標為（2，1）.故答案為：（2，1）.14．已知雙曲線的右頂點為.若到的一條漸近線的距離為，則的離心率為___________.【答案】【分析】根據(jù)意義可知，再根據(jù)點到直線的距離公式，即可求出，再根據(jù)雙曲線離心率為，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線為，，又雙曲線的右頂點為，所以，又到的一條漸近線的距離為，所以，所以，所以，所以的離心率為.故答案為：.15．已知函數(shù)的圖象如圖所示，點M和N分別是最低點和最高點，P是的圖象與x軸的一個交點，軸于點Q，O為坐標原點，若且，則A=___________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可得函數(shù)的最小正周期，進而可得點N、M的坐標，利用坐標表示出、，結(jié)合平面向量的數(shù)量積得出關(guān)于A的方程，解方程即可.【詳解】由已知，得的最小正周期，所以，所以，，則，，所以，化簡得，解得，又，所以.故答案為：16．在空間直角坐標系Oxyz中，已知點，，，若平面軸，且，則直線與平面所成的角的正弦值為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)平面的法向量為，進而根據(jù)得，再根據(jù)向量方法計算與平面所成的角的正弦值.【詳解】解：，，由平面平行于y軸，可設(shè)平面的法向量為，因為，所以，即，所以可取，所以，所以直線AC與平面所成的角的正弦值為.故答案為：四、解答題17．某市場研究機構(gòu)為了解用戶在選購相機時品牌因素的影響，用A，B兩個品牌的相機各拍攝了一張照片，然后隨機調(diào)查了200個人，讓他們從中選出自己認為更好的一張照片.這200個人被分成兩組，其中一組不知道兩張照片分別是哪個品牌的相機拍攝的.稱為“盲測組”；另一組則被告知相關(guān)信息，稱為“對照組”.調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下： 選擇A品牌相機拍攝的照片選擇B品牌相機拍攝的照片盲測組6634對照組4456 (1)分別求盲測組和對照組認為A品牌相機拍攝的照片更好的概率；(2)判斷是否有99%的把握認為相機的品牌對用戶有影響.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828 【答案】(1)0.66，0.44；(2)是有99%的把握認為相機的品牌對用戶有影響.【分析】（1）根據(jù)古典概型概率公式計算求解即可；（2）根據(jù)獨立性檢驗思想求解即可.(1)解：由題中數(shù)據(jù)可知：盲測組認為A品牌相機拍攝的照片更好的概率為；對照組認為A品牌相機拍攝的照片更好的概率為.(2)解：零假設(shè)為：用戶選擇的照片與相機品牌之間無關(guān)，即相機的品牌對用戶無影響.根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得，因為9.778>6.635，根據(jù)獨立性檢驗推斷不成立，即認為相機的品牌對用戶有影響，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01，即有99%的把握認為相機的品牌對用戶有影響18．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C的大??；(2)若的面積，求ab的最小值.【答案】(1)；(2)48.【分析】（1）由正弦定理及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，即可得C的大??；（2）根據(jù)三角形面積公式、余弦定理，結(jié)合基本不等式即可求ab的最小值，注意等號成立條件.(1)由已知及正弦定理得：，又，所以，即且，所以.(2)由題意知：，即，由余弦定理知：，即，因此，當且僅當時取等號，所以ab的最小值為48.19．已知等差數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)等差中項和等差數(shù)列的通項公式，列出等式，代入，即可求出，進而求出通項公式；（2）由（1）可知，，再根據(jù)裂項相消和不等式的性質(zhì)，即可證明結(jié)果.(1)解：設(shè)數(shù)列的公差為，因為，，成等差數(shù)列，所以，即，代入，解得，所以的通項公式為.(2)證明：，所以，即數(shù)列的前n項和.20．如圖所示，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，底面ABCD，∥底面ABCD，點F在底面ABCD內(nèi)的投影為正方形ABCD的中心O.(1)在圖中作出平面FBC與平面EAB的交線（不必說出畫法和理由）；(2)設(shè)二面角的大小為，求AE的長.【答案】(1)作圖見解析(2)【分析】（1）延長CF與直線AE交于點M，連接BM.直線BM即平面FBC與平面EAB的交線，利用空間圖形的公理即可證明，（2）方法1：如圖所示，以A為坐標原點，以AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解，方法2：連接AC，BD，則由已知條件可證得平面BFD，從而可得就是二面角的平面角，然后在直角三角形中可求得結(jié)果(1)作圖步驟：如圖，延長CF與直線AE交于點M，連接BM.直線BM即平面FBC與平面EAB的交線.理由：由已知平面ABCD，平面ABCD，所以 ∥，又A，O，C共線，所以點E，F，C，A共面.顯然直線AE與直線CF不平行，即AE與CF必存在交點M，點M在平面EAB和平面FBC內(nèi)，又因為點B也在平面EAB和平面FBC內(nèi)，所以直線BM是平面FBC與平面EAB的交線.(2)方法一：如圖所示，以A為坐標原點，以AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系. 設(shè)，則，，，所以，，設(shè)平面BEF的法向量為，則且，所以，令，則.同理可得平面DEF的一個法向量為.由圖可知的夾角為二面角的平面角的補角，所以，解得，即.方法二：連接AC，BD.因為平面ABCD，所以，在正方形ABCD中，，又因為，所以平面BFD.因為∥平面ABCD，平面平面，所以∥，所以平面BFD.因此就是二面角的平面角.所以，所以.因為正方形ABCD的邊長為2，所以，所以，所以.21．已知橢圓的右焦點為F，上頂點為C，過點F與x軸垂直的直線交E于A，B兩點（點A在第一象限），O為坐標原點，四邊形ABOC是面積為的平行四辺形.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)點，過點P的直線l交橢圓于點M，N，交y軸的正半軸于點T，點Q為線段MN的中點，，求直線l的斜率k.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意可寫出A，B兩點的坐標，由四邊形ABOC是平行四辺形可列得到，再由平行四邊形ABOC的面積為，可求出，即可求出答案.（2）設(shè)直線l的方程為，把直線與橢圓進行聯(lián)立消，求出與，再求出與，再利用，即可求出，進而求出斜率.(1)設(shè)，將代入橢圓方程，得，所以，，則，由四邊形ABOC是平行四邊形知，即，得，所以，又平行四邊形ABOC的面積，所以，，，所以橢圓E的方程為.(2)易知直線l的斜率，設(shè)，則可得直線l的方程為，聯(lián)立消去x整理得.由，得.設(shè)，則，在中令，得，所以，，所以，解得或（舍去），滿足，綜上，直線l的斜率.22．已知函數(shù).(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)設(shè)，若當時，，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值中的應(yīng)用，即可求出結(jié)果；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，分和，兩種情況研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，再結(jié)合，即可求出結(jié)果.(1)解：由條件得，當時，有，，，所以，即在上單調(diào)遞減，因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.(2)解：由題意得，所以，若，當時，有，所以在上單調(diào)遞增，所以，符合題意.若，令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞減.又因為，，所以在上存在一個零點，當時，，即，所以單調(diào)遞減，此時，不符合題意.綜上可知，a的取值范圍是. 

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