1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先解出集合，再求出的補(bǔ)集，最后求交集得出答案.
【詳解】,
或，則.
故選：A.
2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化簡得到，從而得到z的虛部.
【詳解】，故z的虛部為.
故選：C
3．函數(shù)的圖象的一個對稱中心為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的對稱性結(jié)合整體思想求出函數(shù)的對稱中心，然后逐一驗(yàn)證即可.
【詳解】解：令，則，
所以函數(shù)的圖象的對稱中心為，故AB不是函數(shù)圖象的對稱中心；
令，則，故不是函數(shù)圖象的對稱中心；
令，則，故是函數(shù)圖象的對稱中心.
故選：D.
4．設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分別求出的范圍，直接比較大小即可.
【詳解】，，，.
故選：D.
5．若且，則（ ）
A．B．C．D．7
【答案】B
【分析】先由余弦的二倍角公式與齊次式弦化切得到關(guān)于正切的方程，結(jié)合角的范圍求出答案.
【詳解】，故，由于，所以，故.
故選：B
6．兩個不同的圓錐的底面是球O的同一截面，頂點(diǎn)均在球O表面上，若球O的體積為V，則這兩個圓錐體積之和的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)球半徑為，兩個圓錐中較小的高為，由圓截面性質(zhì)求得圓錐底面半徑，再得兩個圓錐體積和，記為，由二次函數(shù)性質(zhì)得最大值．
【詳解】設(shè)球半徑為，兩個圓錐中較小的高為，則另一個圓錐的高為，
圓錐底面半徑為，則，，
兩個圓錐的體積和為，
所以時，，
，因此．
故選：B．
7．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
【答案】C
【分析】由已知可知正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，然后正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可
【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布，
所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，
因?yàn)椋裕?br>所以，
故選：C
8．?？阽姌堑臍v史悠久，最早是為適應(yīng)對外通商而建立，已成為?？诘淖钪匾臉?biāo)志性與象征性建筑物之一，如圖所示，?？阽姌堑闹黧w結(jié)構(gòu)可以看做一個長方體，四個側(cè)面各有一個大鐘，則從到這段時間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針?biāo)山菫榈拇螖?shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在長方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)分針長為，設(shè)矩形的對角線的交點(diǎn)為，矩形的對角線的交點(diǎn)為，考查到這個時間段，設(shè)時刻，側(cè)面、內(nèi)的鐘的分針的針點(diǎn)的位置分別為、，設(shè)，其中，則，利用空間向量法求出的可能取值，即可得解.
【詳解】在長方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)分針長為，
設(shè)矩形的對角線的交點(diǎn)為，矩形的對角線的交點(diǎn)為，
考查到這個時間段，設(shè)時刻，側(cè)面、內(nèi)的鐘的分針的針點(diǎn)的位置分別為、，
設(shè)，其中，
則，，
由已知可得，則，
因?yàn)?，故的取值為、、、?br>即在到這個時間段，相鄰兩面鐘的分針?biāo)山菫榈拇螖?shù)為，
因此，從到這段時間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針?biāo)山菫榈拇螖?shù)為.
故選：D.
二、多選題
9．已知向量，，則（ ）
A．B．
C．D．與的夾角為
【答案】BC
【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A；利用平面向量的模長公式可判斷B；利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷C；利用平面向量夾角余弦的坐標(biāo)表示可判斷D.
【詳解】對于A，，A錯；
對于B，，，則，B對；
對于C，，故，所以，，C對；
對于D，，，故，D錯.
故選：BC.
10．下列雙曲線的漸近線方程為的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】的漸近線方程為：，的漸近線方程為：.
【詳解】A選項(xiàng)，的漸近線方程為，A正確；
B選項(xiàng)，的漸近線方程為：，B錯誤；
C選項(xiàng)，的漸近線方程為：，C錯誤；
D選項(xiàng)，的漸近線方程為：，D正確.
故選：AD
11．環(huán)境監(jiān)測部門統(tǒng)計了甲、乙兩個城市去年每天的（空氣質(zhì)量指數(shù)），數(shù)據(jù)按照，，進(jìn)行分組得到下面的頻率分布直方圖，已知時空氣質(zhì)量等級為優(yōu)，則（ ）
A．甲、乙兩城市的中位數(shù)的估計值相等B．甲、乙兩城市的平均數(shù)的估計值相等
C．甲城市的方差比乙城市的方差小D．甲城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)比乙城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)多
【答案】ABD
【分析】根據(jù)給出的頻率分布直方圖，對個選項(xiàng)進(jìn)行分析，判斷作出正誤，得出答案 .
【詳解】選項(xiàng)A . 根據(jù)兩個頻率分布直方圖，甲、乙兩個城市去年每天的的中位數(shù)均為125，故選項(xiàng)A正確.
選項(xiàng)B.設(shè)甲、乙兩頻率分布直方圖中小矩形的高度數(shù)值如圖所示，
則，即
同理
甲城市的的平均數(shù)為：

乙城市的的平均數(shù)為：
所以甲、乙兩城市的平均數(shù)的估計值相等，故選項(xiàng)B正確 .
選項(xiàng)C. 由圖可知，乙城市的數(shù)據(jù)更集中，即方差更小，所以選項(xiàng)C錯誤.
選項(xiàng)D. 由圖可知甲城市在的頻率大于0.2，乙城市在的頻率小于0.2
所以甲城市在的頻率大于乙城市在的頻率，甲城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)比乙城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)多。故D正確.
故選：ABD
12．“外觀數(shù)列”是一類有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的“外觀描述”．例如：取第一項(xiàng)為，將其外觀描述為“個”，則第二項(xiàng)為；將描述為“個”，則第三項(xiàng)為；將描述為“個，個”，則第四項(xiàng)為；將1描述為“個，個，個”，則第五項(xiàng)為，，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng)．則對于外觀數(shù)列，下列說法正確的是（ ）
A．若，則從開始出現(xiàn)數(shù)字
B．若，則的最后一個數(shù)字均為
C．不可能為等差數(shù)列或等比數(shù)列
D．若，則均不包含數(shù)字
【答案】BD
【分析】求出，可判斷A選項(xiàng)；分、兩種情況討論，逐項(xiàng)遞推可判斷B選項(xiàng)；取可判斷C選項(xiàng)；利用假設(shè)法可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A，，即“個”，，即“個，個”，，即“個，個”，故，A錯；
對于B，若，即“個”，，即“個，個”，
，即“個，個”，，，
以此類推可知，的最后一個數(shù)字均為，
若，則，，，，以此類推可知，的最后一個數(shù)字均為.
綜上所述，若，則的最后一個數(shù)字均為，B對；
對于C，取，則，此時數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，C錯；
對于D，，則，，，，
若數(shù)列中，中為第一次出現(xiàn)數(shù)字，則中必出現(xiàn)了個連續(xù)的相同數(shù)字，
如，則在的描述中必包含“個，個”，
即，顯然的描述是不合乎要求的，
若或，同理可知均不合乎題意，
故不包含數(shù)字，D對.
故選：BD.
三、填空題
13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則_________．
【答案】
【分析】由已知可得不等式的解集為，可知為方程的根，即可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由題意可知，不等式的解集為，則，解得，
當(dāng)時，由，可得，解得，合乎題意.
故答案為：.
14．的展開式中的系數(shù)為_________．（結(jié)果用數(shù)字表示）
【答案】112
【分析】先求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，再令的指數(shù)為即可求解.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，
令，，則的系數(shù)為.
故答案為：112.
15．已知橢圓的左焦點(diǎn)為是C上的動點(diǎn)，點(diǎn)，若的最大值為6，則C的離心率為_________．
【答案】
【分析】設(shè)出右焦點(diǎn),將轉(zhuǎn)化成，最后利用三點(diǎn)共線表示最大值求出，進(jìn)而求出離心率.
【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)，由橢圓定義，，，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，取等號，.又，，，.
故答案為：.
16．已知函數(shù)和，其中為常數(shù)且．若存在斜率為1的直線與曲線同時相切，則的最小值為_________．
【答案】2
【分析】分別設(shè)出切點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到兩切點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間斜率公式得到的關(guān)系，變形后使用三個正數(shù)的基本不等式求解最小值.
【詳解】定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)椋?，?br>設(shè)在切點(diǎn)處的切線即為斜率為1的直線，故，所以，則，
設(shè)在切點(diǎn)，處的切線即為斜率為1的直線，則，則，
則，由兩點(diǎn)間斜率公式得：，則，由于b>0，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時，此時等號成立，故的最小值為2.
故答案為：2
四、解答題
17．設(shè)等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，已知．
(1)若，求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由前n項(xiàng)和的意義和等差數(shù)列性質(zhì)求出，然后可得；
(2)根據(jù)前n項(xiàng)和公式解不等式即可.
(1)
，
所以．
所以．
(2)
由（1）知，所以．
，
由得，
所以，
解得，即d的取值范是．
18．的內(nèi)角所對的邊分別為，已知．
(1)求邊，；
(2)若點(diǎn)D在線段上（與不重合），且，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由余弦定理求出邊，；（2）先由余弦定理得到CD，再由正弦定理求出.
(1)
由余弦定理可得:，
即，解得：．
所以．
(2)
在中，由余弦定理可得，
即，解得：或5，
當(dāng)時D與B重合，不符合題意，當(dāng)時．符合要求.
由正弦定理可得，
所以．
19．如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，，，點(diǎn)M在棱上且．
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證明M是的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)O，連接，從而證明，從而可證明.
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．利用向量法求解即可.
(1)
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面?br>根據(jù)條件可知，所以平面，
所以．
所以，同理可得，
又，所以是等邊三角形，
因?yàn)?，所以M是的中點(diǎn)．
如圖，連接，與交于點(diǎn)O，連接，則O是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>(2)
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則．
由（1）知是平面的一個法向量．
設(shè)為平面的法向量．因?yàn)椋?br>所
令，可得．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則
．
20．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F作圓的切線，切線長為．
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P在C的準(zhǔn)線上，滿足，求的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)切線長為，求得點(diǎn)F到圓心M的距離即可.
（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為Q，由題意可知為的中垂線，根據(jù)，在中，得到，設(shè)的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求得P，Q的坐標(biāo)和弦長AB求解.
(1)
解：由已知得圓M的圓心為，半徑為2，
因?yàn)榍芯€長為，
所以點(diǎn)F到圓心M的距離為，
因?yàn)椋?br>所以F在x軸正半軸上，于是，
所以，
故C的方程為．
(2)
設(shè)線段的中點(diǎn)為Q，
由題意可知為的中垂線，且在中，由，
即，可得．
設(shè)的方程為，
由得，
則，
所以．
所以直線的方程為，
令，可得，即．
所以．
又．
所以，
解得．
所以的方程為或．
21．如圖是游樂場中一款抽獎游戲機(jī)的示意圖，玩家投入一枚游戲幣后，機(jī)器從上方隨機(jī)放下一顆半徑適當(dāng)?shù)男∏?，小球沿著縫隙下落，最后落入這6個區(qū)域中．假設(shè)小球從最上層4個縫隙落下的概率都相同，且下落過程中遇到障礙物會等可能地從左邊或右邊繼續(xù)下落．
(1)分別求小球落入和的概率；
(2)已知游戲幣售價為2元/枚．若小球落入和，則本次游戲中三等獎，小球落入和，則本次游戲中二等獎，小球落入和，則本次游戲中一等獎．假設(shè)給玩家準(zhǔn)備的一、二、三等獎獎品的成本價格之比為，若要使玩家平均每玩一次該游戲，商家至少獲利0.7元，那么三等獎獎品的成本價格最多為多少元？
【答案】(1)小球落入的概率為，小球落入的概率為；
(2)最多為0.8元.
【分析】（1）由題設(shè)，落入第一層各縫隙的概率為，進(jìn)入下一層障礙物兩側(cè)縫隙概率均為，應(yīng)用獨(dú)立事件的乘法公式求落入和的概率；
（2）設(shè)三等獎獎品成本為a元，X可能取值為，進(jìn)而求各可能值對應(yīng)的概率并寫出分布列，根據(jù)分布列求期望，由求a的值即可.
(1)
記第一層障礙物之間的縫隙從左到右分別為，小球落入縫隙為事件，
第二層障礙物之間的縫隙從左到右分別為，小球落入縫隙為事件，
第三層障礙物之間的縫隙從左到右分別為，小球落入縫隙為事件．
由題意，，
則， ．
(2)
設(shè)三等獎獎品成本為a元，玩家玩一次游戲獲得的獎品成本為隨機(jī)變量X，則X的所有可能取值為，
，
，
，
所以X的分布列為：
所以X的數(shù)學(xué)期望為．
由題意，，解得，
因此三等獎獎品的成本價格最多為0.8元．
22．已知函數(shù)．
(1)若，求的最值；
(2)若，設(shè)，證明：當(dāng)時，．
【答案】(1)最大值為，沒有最小值
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，確實(shí)單調(diào)性得最值；
（2）由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性（需要二次求導(dǎo)），得最小值，利用兩個單調(diào)性可得證不等式成立．
(1)
若，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以的極大值，也是最大值為，沒有最小值．
(2)
由題意得，所以．
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，即，于是得在R上單調(diào)遞增．
設(shè)，則，
令，則，
所以在R上單調(diào)遞增，
而，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，即．
當(dāng)時，，所以．
所以．
【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，證明不等式工，解題關(guān)鍵是引入新函數(shù)把問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最小值，然后由單調(diào)性得出結(jié)論，屬于較難題．
X
a
P

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