1.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1013=1，則S2025=( )
A. 1B. 20252C. 2025D. 4050
2.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線的傾斜角分別為α，β，且滿足α=5β，則C的離心率為( )
A. 2B. 3C. 2D. 2 33
3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an=(?1)n+1?(n+1)2，則S10+S21=( )
A. 188B. 189C. 190D. 191
4.過點P(1,0)向圓x2+y2+2x?4y+m=0可以作兩條切線，則實數(shù)m的取值范圍為( )
A. (?3,5)B. (?3,+∞)C. (?5,3)D. (?∞,3)
5.當x≠0時，設函數(shù)f(x)存在導數(shù)f′(x)，且滿足f(x)+xf′(x)=ex，若f(1)=0，則f(?1)=( )
A. 1e?eB. ?1eC. 0D. e?1e
6.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3S6=14，則S6S12=( )
A. 14B. 110C. 113D. 116
7.已知點A是拋物線y2=4x上的一個動點，點B是直線y=x+4上的一個動點，則|AB|的最小值為( )
A. 3 22B. 4 23C. 2D. 2
8.已知函數(shù)f(x)=xx(x>0)，若af(x)≥f′(x)x恒成立，則實數(shù)a的最小值為( )
A. 1eB. ln2C. 1D. e
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知直線l：kx?y+2?k=0，則下列選項正確的是( )
A. 當直線l與直線3x+4y+2=0平行時，k=?34
B. 當直線l與直線3x+4y+2=0垂直時，k=?43
C. 直線l與x軸正半軸和y軸正半軸圍成的三角形面積的最小值是92
D. 直線l和圓C：x2+y2=9相交于A，B兩點，則|AB|最小值是4
10.已知雙曲線E：x24?y28=1的左頂點為A，右頂點為B，第一象限的點P在E上，且點P不與點B重合，若直線PA與直線PB的斜率分別為k1，k2，則下列命題中正確的是( )
A. 存在點P，使k1+k2=2B. 存在點P，使k2k1=2
C. 對任意點P，均有k1k2=2D. 對任意點P，均有k2?k1=2
11.設函數(shù)f(x)=12sin2x?sinx，則( )
A. x=2π3是f(x)的極小值點B. f(1)>f(2)
C. f(2)f(3)0
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.拋物線y=2x2+1的焦點到準線的距離是______．
13.已知直線y=kx?2與曲線y=x?1x相切，則k= ______．
14.在數(shù)學中連加符號是“∑”，這個符號就是連續(xù)求和的意思，把滿足“∑”這個符號下面條件的所有項都加起來，例如：i=1ni=1+2+3+?+n.類似的在數(shù)學中連乘符號是“П”，這個符號就是連續(xù)求積的意思，把滿足“П”這個符號下面條件的所有項都乘起來，例如：i=1ni=1×2×3×?×n.已知數(shù)列{an}滿足：a1=1,an+1=an+an2(n∈N?)，則k=1n11+ak+k=1n11+ak= ______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3=?6，a3=?8．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=an?lg2an2，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
16.(本小題12分)
已知點P是拋物線y2=16x上的動點，過P向x軸作垂線段，垂足為M，記垂線段PM的中點為Q．
(1)求點Q的軌跡方程；
(2)不過坐標原點O的直線l：y=x+m與點Q的軌跡相交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓過點O，求△AOB的面積．
17.(本小題12分)
如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，CC1=BC=2AC，BC⊥AC1，BM=λBA(00)的兩個焦點為F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，點M(2 3, 3)在橢圓C上．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若過點P(?8,0)的直線與橢圓C交于A，B兩點，求證：△ABF1的內心在一條定直線上．
19.(本小題12分)
如果函數(shù)F(x)的導數(shù)F′(x)=f(x)，可記為F(x)=f(x)dx.若f(x)>0，則baf(x)dx=F(b)?F(a)表示曲線y=f(x)，直線x=a，x=b以及x軸圍成的“曲邊梯形”的面積．
(1)求曲線xy=1在x∈[1,2]上與x軸圍成的封閉圖形的面積；
(2)當t>1時，求證：2lntln(n+1)+n2(n+1)(n∈N?)．
參考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.D
6.B
7.A
8.C
9.AD
10.BC
11.ABD
12.14
13.2
14.1
15.解：(1)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3=?6，a3=?8，
設等比數(shù)列{an}的公比為q，
可得a1+a1q+a1q2=?6，a1q2=?8，
解得q=?2，a1=?2，
則an=(?2)n；
(2)由(1)得，an=(?2)n，所以an2=[(?2)n]2=(?2)2n=4n=22n，
則bn=an?lg2an2=(?2)n?lg222n=2n?(?2)n．
所以Tn=b1+b2+b3+?+bn?1+bn=2×(?2)1+4×(?2)2+6×(?2)3+?+(2n?2)×(?2)n?1+2n?(?2)n，
則?2Tn=2×(?2)2+4×(?2)3+6×(?2)4+?+(2n?2)×(?2)n+2n?(?2)n+1，
兩式相減，得3Tn=2×(?2)1+2×(?2)2+2×(?2)3+?+2×(?2)n?2n?(?2)n+1
=2×[(?2)1+(?2)2+(?2)3+?+(?2)n]?2n?(?2)n+1
=2×(?2)×[1?(?2)n]1?(?2)?2n?(?2)n+1
=(1+3n)?(?2)n+2?43
所以Tn=(1+3n)?(?2)n+2?49．
16.解：(1)設點Q的坐標為(x,y)，則依題意有點P的坐標為(x,2y)，
又點P在拋物線y2=16x上，所以(2y)2=16x，化簡得y2=4x，
所以點Q的軌跡方程為y2=4x．
(2)聯(lián)立y=x+my2=4x，消去x得y2?4y+4m=0，Δ=16?16m>0，解得m0，得m2>4，
設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=48m3m2+4,y1y2=1443m2+4，
設直線AF1，BF1的斜率分別為k1，k2．
所以k1+k2=y1x1+2+y2x2+2=y1my1?6+y2my2?6=y1(my2?6)+y2(my1?6)(my1?6)(my2?6)，
因為y1(my2?6)+y2(my1?6)=2my1y2?6(y1+y2)=2m×1443m2+4?6×48m3m2+4=0，
所以k1+k2=0恒成立，則直線AF1，BF1的傾斜角互補，即∠AF1B的平分線總垂直于x軸，
所以△ABF1的內心在定直線x=?2上．

19.解：(1)由xy=1，得y=1x，
令G′(x)=1x，則G(x)=lnx+c(c是常數(shù))，
則曲線xy=1在x∈[1,2]上與x軸圍成的封閉圖形的面積S=121xdx=G(2)?G(1)=ln2+c?(ln1+c)=ln2．
(2)證明：令H′(x)=1+1x2，可得H(x)=x?1x+m(m是常數(shù))，
所以1t(1+1x2)dx=H(t)?H(1)=t?1t，
要證2lnt1，
當t>1時，f′(t)=1t?12(1+1t2)=?(t?1)22t21時，f(t)=lnt?12(t?1t)

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