1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(?3,2,?1)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A. (3,2,?1)B. (3,?2,1)C. (?3,?2,1)D. (?3,?2,?1)
2.直線l：x+3y+2=0的一個(gè)方向向量為( )
A. (3,?2)B. (?3,1)C. (1,3)D. (3,2)
3.已知空間向量a=(3,2,1)，b=(2,m,?3)，若(a?b)⊥a，則實(shí)數(shù)m=( )
A. 4B. 6C. 234D. 112
4.已知圓x2+y2?2x+6y+1=0關(guān)于直線x+y+m=0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m=( )
A. ?2B. 1C. ?1D. 2
5.已知向量m=(1,3,?1)，n=(?1,4,?2)，p=(1,10,z)，若m，n，p共面，則實(shí)數(shù)z=( )
A. ?4B. ?2C. 3D. 1
6.圓C1：x2+y2?6y+5=0與圓C2：(x?3)2+(y+1)2=9的公切線的條數(shù)為( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.在四棱錐P?ABCD中，AB=(?3,?6,3)，AD=(3,0,6)，AP=(?5,1,3)，則此四棱錐的高為( )
A. 26B. 29C. 6D. 8
8.已知M，N是圓O：x2+y2=8上兩點(diǎn)，且|MN|=4，若直線x?ay+6=0上存在點(diǎn)P使得OM+ON=OP，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A. (?∞,? 52]∪[ 52,+∞)B. (?∞,? 52)∪( 52,+∞)
C. [? 52, 52]D. (? 52, 52)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(2,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為( )
A. 3x?2y=0B. 2x+y?7=0C. x+y?5=0D. x?y+1=0
10.已知直線l：kx?y+2k=0，圓C：(x+1)2+(y?2)2=9，則下列說法正確的是( )
A. 直線l過定點(diǎn)(?2,0)
B. 直線l與圓C恒相交
C. 直線l被圓C截得的弦長最短時(shí)，直線l的方程為x?2y+2=0
D. 直線l被圓C截得的弦長為4時(shí)，k=±12
11.已知點(diǎn)P是棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則( )
A. 存在點(diǎn)P，使得AP=13AB+13AD+13AA1
B. 若E是AB中點(diǎn)，當(dāng)P在棱B1C1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)P使得PE=PD
C. 當(dāng)P在線段B1D1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP與BD所成角的取值范圍是[π3,π2]
D. 若F是A1B1的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)P使得PF//平面B1CD1
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知M(1,3)，N(2,1)，若點(diǎn)P(x,y)在線段MN上，則yx+2的取值范圍是______．
13.已知P(x,y)是圓C：(x?1)2+(y?2)2=1上任意一點(diǎn)，若|x+y+a|+|1?x?y|的取值與x、y無關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
14.空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，過點(diǎn)P(x0,y0,z0)且一個(gè)法向量為n=(a,b,c)的平面α的方程為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面α的方程為2x?y+z?4=0，直線l是兩平面2x?y+5=0與x+3z?3=0的交線，則直線l與平面α所成角的正弦值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°，AB=AD=1，AA1=2，P為A1C1上靠近點(diǎn)A1的三等分點(diǎn)，設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用基底{a,b,c}表示向量AP；
(2)求AP?BD．
16.(本小題15分)
已知兩直線l1：3x+y?9=0和l2：2x?y?1=0的交點(diǎn)為P．
(1)若直線l過點(diǎn)P且與直線x+2y?1=0平行，求直線l的一般式方程；
(2)若圓C過點(diǎn)(?2,5)且與l1相切于點(diǎn)P，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
17.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，且AD=PA=2，AB=3，∠DAB=60°，點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)．
(1)求證：平面DEF⊥平面PAB；
(2)求平面DEF和平面PAD的夾角的余弦值．
18.(本小題17分)
已知以點(diǎn)C為圓心的圓(x?a)2+(y?3a)2=a2+9a2(a>0)與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(M,N與O不重合)
(1)求證：△MON的面積為定值；
(2)設(shè)直線3x+y?3=0與圓C交于點(diǎn)A，B，若|OA|=|OB|，求實(shí)數(shù)a的值；
(3)在(2)的條件下，設(shè)P，Q分別是直線l：x+y+4=0和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PN|+|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
19.(本小題17分)
如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線A1B1上，且A1P=λA1B1．
(1)是否存在點(diǎn)P，使得AM⊥PN？若存在，試確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(2)當(dāng)λ取何值時(shí)，直線PN與平面AMN所成角的正弦值為 63；
(3)求動(dòng)點(diǎn)P到直線MN的距離的取值范圍．
參考答案
1.C
2.B
3.D
4.D
5.A
6.B
7.B
8.A
9.AC
10.AB
11.BCD
12.[14,1]
13.(?∞,? 2?3]
14. 69138
15.解：(1)平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°，AB=AD=1，AA1=2，P為A1C1上靠近點(diǎn)A1的三等分點(diǎn)，設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c．
因?yàn)镻為A1C1上靠近點(diǎn)A1的三等分點(diǎn)，所以A1P=13(A1B1+A1D1)=13(AB+AD)=13a+13b．
所以AP=AA1+A1P=c+13a+13b．
(2)因?yàn)锳P=c+13a+13b，又BD=AD?AB=b?a，
所以AP?BD=(c+13a+13b)?(b?a)=?13a2+13b2+bc?ac=?13+13+1×2×12?1×2×12=0．
16.解：聯(lián)立方程組3x+y?9=0,2x?y?1=0,解得x=2,y=3.
所以直線l1：3x+y?9=0和l2：2x?y?1=0的交點(diǎn)P(2,3)．
(1)因?yàn)橹本€l與直線x+2y?1=0平行，故可設(shè)直線l：x+2y+c1=0．
又直線l過點(diǎn)P，則2+6+c1=0，解得c1=?8，
即直線l的方程為x+2y?8=0．
(2)設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)2+(y?b)2=r2，
直線l1：3x+y?9=0的斜率為?3，故直線CP的斜率為13，
由題意可得(?2?a)2+(5?b)2=r2,(2?a)2+(3?b)2=r2b?3a?2=13,解得a=?1,b=2,r2=10,
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y?2)2=10．
17.解：(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)F是線段AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，AB=3，所以AF=1．
在△ADF中，AD=2，AF=1，∠DAB=60°，由余弦定理，得DF2=AD2+AF2?2AD?AF?cs∠DAB=3，
所以DF= 3，所以DF2+AF2=AD2，即DF⊥AF．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，所以PA⊥DF．
又PA∩AF=A，PA，AF?平面PAB，所以DF⊥平面PAB．
因?yàn)镈F?平面DEF，所以平面DEF⊥平面PAB．
(2)過點(diǎn)D作DG//PA，易證DG⊥平面ABCD，顯然直線DF，DC，DG兩兩垂直，
故以D為原點(diǎn)，直線DF，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D?xyz，

則D(0,0,0)，A( 3,?1,0)，P( 3,?1,2)，C(0,3,0)，F(xiàn)( 3,0,0)，E( 32,1,1)，
所以DA=( 3,?1,0)，PA=(0,0,?2)，DE=( 32,1,1)，DF=( 3,0,0)．
設(shè)平面PAD的法向量為m=(a,b,c)，
則m?DA= 3a?b=0m?PA=?2c=0，則b= 3ac=0，取a=1，則b= 3，所以m=(1, 3,0)，
設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z)，
則n?DF= 3x=0n?DE= 32x+y+z=0，則x=0y=?z，取y=1，則z=?1，所以n=(0,1,?1)，
設(shè)平面DEF和平面PAD的夾角為θ，
則csθ=|cs?m,n?|=|m?n||m||n|= 32× 2= 64，
即平面DEF和平面PAD的夾角的余弦值為 64．
18.解：(1)證明：由圓C的方程(x?a)2+(y?3a)2=a2+9a2(a>0)，化簡(jiǎn)得x2?2ax+y2?6ay=0，
其與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為：M(2a,0)，N(0,6a)，
所以S△MON=12|2a|?|6a|=6為定值；
(2)如圖①所示，因?yàn)閨OA|=|OB|，所以O(shè)C⊥AB．
又OC的斜率k=3a2，所以(3a2)×(?3)=?1，
解得a=3(負(fù)數(shù)舍去)，所以實(shí)數(shù)a的值為3；

(3)如圖②所示，由(2)知：圓C的方程為：(x?3)2+(y?1)2=10，圓心C(3,1)，半徑r= 10，N(0,2)．
設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線x+y+4=0的對(duì)稱點(diǎn)為N′(x,y)，
則NN′中點(diǎn)為(x2,2+y2)，
由NN′被直線x+y+4=0垂直平分可得y?2x?(?1)=?1x2+2+y2+4=0，解得x=?6y=?4，即N′(?6,?4)，
則|PN|+|PQ|=|PN′|+|PQ|≥|N′Q|，
又點(diǎn)N′到圓上點(diǎn)Q的最短距離為|N′C|?r= (3+6)2+(1+4)2? 10= 106? 10，
則|PN|+|PQ|的最小值為 106? 10，
此時(shí)直線N′C的方程為：y?1=1+43+6(x?3)，即5x?9y?6=0．
|PN|+|PQ|的最小值時(shí)點(diǎn)P為直線N′C與直線l的交點(diǎn)，
則5x?9y?6=0x+y+4=0，解得x=?157y=?137，即點(diǎn)P(?157,?137)．
19.解：(1)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，M(0,1,1)，N(12,12,0)，
A1P=λA1B1=λ(1,0,0)=(λ,0,0)，AP=AA1+A1P=(λ,0,2)，
即P(λ,0,2)，PN=(12?λ,12,?2)，
因?yàn)锳M=(0,1,1)，所以AM?PN=0+12?2=?32≠0，
所以不存在點(diǎn)P，使得AM⊥PN；
(2)設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為m=(a,b,c)，
則有m?AM=b+c=0m?AN=12a+12b=0，取a=1，得m=(1,?1,1)，
因?yàn)橹本€PN與平面AMN所成角的正弦值為 63，
所以sinθ=|cs?m,PN?|=|12?λ?12?2| 3× (12?λ)2+14+4
=|λ+2| 3× λ2?λ+92= 63，解得λ=1或5，
所以當(dāng)λ=1或5時(shí)，直線PN與平面AMN所成角的正弦值為 63；
(3)由(1)知P(λ,0,2)，MN=(12,?12,?1)，PM=(?λ,1,?1)．
設(shè)點(diǎn)P到直線MN的距離為d，
則d= PM2?(PM?MN|MN|)2= λ2+1+1?(?12λ?12+1 32)2
= 56(λ+15)2+95≥ 95=3 55(當(dāng)且僅當(dāng)λ=?15時(shí)取等號(hào))，
所以動(dòng)點(diǎn)P到直線MN的距離的取值范圍為[3 55,+∞)．

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