一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a9+a10=6，則a7等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.直線l1：(a+1)x+y?1=0，l2：2x+ay+a?2=0，則“l(fā)1//l2”的充要條件是( )
A. a=1B. a=?2C. a=1或?2D. 以上均不對
3.已知{a,b,c}為空間的一組基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一組基底的是( )
A. a?b+c，b+c，a?cB. a+b，c+2b，2a?c
C. 2a?b，2c+b，a+cD. a+b，2a+b+c，c?b
4.若方程x29?t+y2t?5=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則t的取值范圍是( )
A. (5,9)B. (5,7)∪(7,9)C. (5,7)D. (7,9)
5.已知A(2,2,1)，B(3,2,0)，則點(diǎn)P(2,0,?1)到直線AB的距離為( )
A. 3B. 2C. 5D. 6
6.已知在三棱柱ABC?A1B1C1中，|AB|=|AC|=2，|AA1|=3，∠A1AB=∠A1AC=60°，AB⊥AC，D，E分別為AB，CC1的中點(diǎn)，則|DE|=( )
A. 2 2B. 352C. 3D. 382
7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中a1=1，an+1=Sn+2n+1，則S9a5+a6=( )
A. 10110B. 535C. 30328D. 15314
8.已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線交E的左支于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|，|AF2|，|BF2|成等差數(shù)列，且cs∠AF2B=13，則E的離心率是( )
A. 333B. 152C. 5D. 3
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1?anan+1?an=1，則下列各數(shù)是{an}的項(xiàng)的有( )
A. ?12B. 12C. ?13D. 13
10.已知圓C：x2+y2?6x?4y+5=0，則下列說法正確的是( )
A. y?x的最大值為3B. x+y的最大值為7
C. yx的最大值為6+2 10D. x2+y2的最大值為21+4 26
11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1棱長為2，點(diǎn)P滿足AP=λAD+μAA1(λ∈[0,1],μ∈[0,1])，E為B1C1中點(diǎn)，則下列論述正確的是( )
A. 若λ=μ=34，則EP⊥BC1
B. 若2λ?μ=1，則直線B1P/?/平面BDE
C. 若λ+μ=1，則點(diǎn)P到平面AB1C的距離為 3
D. 若λ=μ，則平面A1CP與平面ABCD所成角的取值范圍為[π4,π2]
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知A(1,1,0)，B(3,5,6)，C(6,a,b)三點(diǎn)共線，則a+b= ______．
13.已知點(diǎn)P到F(1,0)的距離比P的橫坐標(biāo)大1，點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2?8x?2y+16=0，則|PM|+|PF|最小時(shí)，△PMF的面積為______．
14.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1=1，(n+2)Sn=nan+1，則數(shù)列{an(n+2)?(n+3)}的前n項(xiàng)和為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知圓C的圓心在直線2x?y?5=0上，且經(jīng)過點(diǎn)A(0,3)，B(4,?1)．
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求過原點(diǎn)且與圓C相切的直線方程．
16.(本小題15分)
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，2Sn+1=3an，數(shù)列{bn}滿足b1=a1，n(bn+1?bn)=bn．
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn．
17.(本小題15分)
已知拋物線C1：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，A(32, 6)為C1與C2的一個(gè)公共點(diǎn)．
(1)求C1，C2的方程；
(2)過點(diǎn)F的直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，交C2于P，Q兩點(diǎn)，若|MN|=|PQ|，求l的方程．
18.(本小題17分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC= 3，PC= 5．
(1)求證：PA⊥平面ABCD；
(2)求平面PAD與平面PBC所成角的余弦值；
(3)在線段PD上是否存在點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是14？若存在，求出DMDP的值，若不存在，說明理由．
19.(本小題17分)
已知F( 2,0)是雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，F(xiàn)到雙曲線E的一條漸近線距離為1．
(1)求E的方程；
(2)過點(diǎn)M(t,0)(t>1)且斜率為2的直線l1交E于A1，B1兩點(diǎn)，交E的兩條漸近線于P1，Q1兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A1，P1在第一象限．
(i)證明：|A1P1|=|B1Q1|；
(ii)An(n∈N?)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Bn+1，過點(diǎn)Bn+1且斜率為2的直線ln+1交E于另一點(diǎn)An+1，交E的兩條漸近線于Pn+1，Qn+1兩點(diǎn)，所有的點(diǎn)An,Pn(n∈N?)都在第一象限，記an=|AnPn|，證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求其公比．
參考答案
1.B
2.B
3.A
4.D
5.D
6.B
7.C
8.A
9.AD
10.ACD
11.AB
12.26
13.118
14.2n?1n+3?16
15.解：(1)已知圓C的圓心在直線2x?y?5=0上，且經(jīng)過點(diǎn)A(0,3)，B(4,?1)，
則線段AB的中點(diǎn)(2,1)，直線AB的斜率kAB=?1?34?0=?1，
則線段AB的中垂線斜率為?1kAB=1，方程為y?1=x?2，即y=x?1，
由y=x?12x?y?5=0，解得x=4，y=3，因此圓C的圓心C(4,3)，半徑r=|AC|=4，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?4)2+(y?3)2=16；
(2)過原點(diǎn)且斜率不存在的直線為x=0，點(diǎn)C(4,3)到直線x=0的距離為4=r，
即直線x=0與圓C相切；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y=kx，即kx?y=0，點(diǎn)C(4,3)到該直線距離為|4k?3| k2+1=4，
解得k=?724，因此切線方程為7x+24y=0，
綜上，經(jīng)過原點(diǎn)且與圓C相切的直線方程為x=0或7x+24y=0．
16.解：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，2Sn+1=3an，數(shù)列{bn}滿足b1=a1，n(bn+1?bn)=bn．
(1)當(dāng)n=1時(shí)，2S1+1=2a1+1=3a1，則a1=1=b1；
當(dāng)n≥2時(shí)，2an=2Sn?2Sn?1=3an?1?(3an?1?1)，整理得an=3an?1，
因此數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n；
由n(bn+1?bn)=bn得nbn+1=(n+1)bn，即bn+1n+1=bnn，所以數(shù)列{bnn}是常數(shù)列，bnn=b11=1，所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n(n∈N?)
(2)由(1)知，anbn=n?3n?1，
則Tn=1×30+2×31+3×32+?+(n?1)?3n?2+n?3n?1，
于是3Tn=1×31+2×32+3×33+?+(n?1)?3n?1+n?3n，
兩式相減得?2Tn=30+31+32+?+3n?2+3n?1?n?3n
=1×(1?3n)1?3?n?3n=?12+(1?2n)?3n2，所以Tn=14+(2n?1)?3n4．
17.解：(1)已知拋物線C1：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，A(32, 6)為C1與C2的一個(gè)公共點(diǎn)，
將A(32, 6)代入C1：y2=2px得p=2，
則C1的方程為y2=4x，
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，
因?yàn)镕也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，
所以a2?b2=1①；
又C2過點(diǎn)A(32, 6)，
所以94a2+6b2=1②，
聯(lián)立①②得(4b2+3)(b2?8)=0，
所以a2=9，b2=8，
故C ?2的方程為x29+y28=1．
(2)當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合要求，
故直線l的斜率不為0，設(shè)方程為x=my+1，
聯(lián)立x=my+1與y2=4x，
可得y2?4my?4=0，
則Δ=16m2+16>0，
設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，
故y1+y2=4m，y1y2=?4，
則x1+x2=1+my1+1+my2=2+m(y1+y2)=4m2+2，
故|MN|=x1+x2+2=4(m2+1)，
聯(lián)立x=my+1與x29+y28=1，
可得(8m2+9)y2+16my?64=0，
則Δ=2304(m2+1)>0，
設(shè)P(x3,y3)，Q(x4,y4)，
則y3+y4=?16m8m2+9,y3y4=?648m2+9，
則|PQ|= 1+m2? (y3+y4)2?4y3y4= 1+m2? (?16m8m2+9)2+2568m2+9=48(m2+1)8m2+9，
所以4(m2+1)=48(m2+1)8m2+9，
解得m=± 64，
所以直線l方程為x=± 64y+1．
18.解：(1)證明：因?yàn)锳B⊥BC，平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，
BC?平面ABCD，所以BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，所以BC⊥PA，
連接AC，因?yàn)锳B⊥BC，所以AC= AB2+BC2=2，
因?yàn)镻A2+AC2=PC2，所以AC⊥PA，
因?yàn)锳C∩BC=C，AC，BC?平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD．
(2)過A作AE⊥CD，垂足為E，則DE=1=CE，
由(1)知PA，AB，AE兩兩垂直，
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AE，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0,0,0),B(0,1,0),E( 3,0,0),D( 3,?1,0),C( 3,1,0),P(0,0,1)，
BP=(0,?1,1),BC=( 3,0,0),AP=(0,0,1),AD=( 3,?1,0)，
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為 m=(x1,y1,z1)，
則m⊥BPm⊥BC，則m?BP=?y1+z1=0m?BC= 3x1=0，
令y1=1，解得m=(0,1,1)，
設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2)，
則AP⊥nAD⊥n，所以AP?n=z2=0AD?n= 3x2?y2=0，
令x2=1，解得n=(1, 3,0)，
設(shè)平面PAD與平面PBC所成角為θ(θ∈[0,π2])，
所以csθ=|cs|=|m?n||m|?|n|= 3 2× 12+( 3)2= 64，
即平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值為 64；
(3)存在，且DMDP=23，
理由如下：DP=(? 3,1,1)，
設(shè)DM=λDP,λ∈[0,1]，
則DM=(? 3λ,λ,λ)，CM=CD+DM=(? 3λ,λ?2,λ)，
又直線CM與平面PBC所成角的正弦值為14，
平面PBC的一個(gè)法向量m=(0,1,1)，
則14=|CM?m||CM||m|=|2λ?2| 3λ2+(λ?2)2+λ2? 2，
化簡得27λ2?60λ+28=0，
即(3λ?2)(9λ?14)=0，
因?yàn)棣恕蔥0,1]，所以λ=23，
故存在M，且DMDP=23．
19.解：(1)由F( 2,0)是雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，
F到雙曲線E的一條漸近線距離為1，可得雙曲線半焦距c= 2，漸近線為y=±bax即bx±ay=0，
F到漸近線的距離為|bc| a2+b2=bcc=b=1，
所以a= c2?b2=1，即雙曲線E的方程為x2?y2=1．
(2)(i)證明：E的兩條漸近線為y=±x，
過M且斜率為2的直線方程為l1：x=12y+t(t>1)，
與E聯(lián)立得3y2?4ty?4(t2?1)=0，Δ=64t2?48>0，
設(shè)A1(xA1,yA1)，B1(xB1,yB1)，
可得yA1+yB1=4t3，yA1?yB1=?4(t2?1)3；
設(shè)P1(xP1,yP1)，Q1(xQ1,yQ1)，
l1與漸近線分別聯(lián)立得x=12y+ty=x?xP1=yP1=2t，x=12y+ty=?x?xQ1=2t3,yQ1=?2t3，
所以yA1+yB1=4t3=yP1+yQ1，
即yP1?yA1=yB1?yQ1，
由圖象知yP1>yA1>0>yB1>yQ1，
所以|A1P1|= 1+(12)2(yP1?yA1)= 1+(12)2(yB1?yQ1)=|B1Q1|．
(ii)證明：An(n∈N?)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Bn+1，過點(diǎn)Bn+1且斜率為2的直線ln+1交E于另一點(diǎn)An+1，
交E的兩條漸近線于Pn+1，Qn+1兩點(diǎn)，所有的點(diǎn)An, Pn(n∈N?)都在第一象限，記an=|AnPn|，
由(i)知，任意斜率為2且與E交于右支兩點(diǎn)A，B的直線，與漸近線交于P，Q，
滿足A，P在第一象限，都有|AP|=|BQ|，即|AnPn|=|BnQn|恒成立．
因?yàn)锳n關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Bn+1，由雙曲線的對稱性知，Bn+1在雙曲線上，
ln+1為過Bn+1且斜率為2的直線，則過An作斜率為?2的直線l′n+1與ln+1關(guān)于x軸對稱，
l′n+1交y=x于Cn，如圖，由對稱性可得|An+1Pn+1|=|Bn+1Qn+1|=|AnCn|，
因此an+1an=|An+1Pn+1||AnPn|=|AnCn||AnPn|，
由于AnPn//An+1Pn+1，直線CnPn與直線Cn+1Pn+1重合，
AnCn//An+1Cn+1對所有n都成立，所以三角形AnCnPn(?n∈N?)都相似，

設(shè)直線AnPn傾斜角為θ，即tanθ=2，sinθ=2 55，csθ= 55，
則直線AnCn傾斜角為π?θ，
因?yàn)橹本€CnPn傾斜角為π4，
則sin∠AnPnCn=sin(θ?π4)= 22(sinθ?csθ)= 1010，sin∠AnCnPn=sin(θ+π4)= 22(sinθ+csθ)=3 1010，
由正弦定理，an+1an=|AnCn||AnPn|=sin∠AnPnCnsin∠AnCnPn=13為定值，又a1≠0，
所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其公比為13．

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