一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知{a,b,c}是空間的一個基底，那么下列選項中不可作為基底的是( )
A. {a,b,a+c}B. {a,b,a+2b}
C. {a+2c,b,c}D. {a,a+b,a+c}
2.如圖，四面體ABCD中，點E是CD的中點，記AB=a，AC=b，AD=c，則BE=( )
A. a?12b+12cB. ?a+12b+12c
C. 12a?b+12cD. ?12a+b+12c
3.已知點A(a,?3,5)，B(0,b,2)，C(2,7,?1)，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是( )
A. ?2，3B. ?1，2C. 1，3D. ?2，2
4.如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB=5，AD=3，AA′=7，∠BAD=60°，∠BAA′=∠DAA′=45°，則AC′的長為( )
A. 98+56 2
B. 98?56 2
C. 89+56 2
D. 89?56 2
5.如圖，在正方體ABCD?A′B′C′D′中，棱長為1，|BP|=13|BD′|，則P點的坐標為( )
A. (13,13,13)B. (23,23,23)C. (13,23,13)D. (23,23,13)
6.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐P?ABCD為陽馬，PA⊥平面ABCD，且AB=AD=AP=3，EC=2PE，則AE?DE=( )
A. ?3
B. 3
C. 2
D. 5
7.正方體不在同一表面上的兩頂點A(?1,2,?1)，B(3,?2,3)，則正方體的體積是( )
A. 4B. 4 3C. 64D. 192 3
8.已知向量a=(2,?1,3)，b=(?4,2,t)的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍為( )
A. (?∞,?6)B. (?∞,?6)∪(?6,103)
C. (103,+∞)D. (?∞,103)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下面關(guān)于空間直角坐標系的敘述正確的是( )
A. 點P(1,?1,0)與點Q(1,1,0)關(guān)于z軸對稱
B. 點A(?3,?1,4)與點B(3,?1,?4)關(guān)于y軸對稱
C. 點A(?3,?1,4)與點B(3,?1,?4)關(guān)于平面xOz對稱
D. 空間直角坐標系中的三條坐標軸組成的平面把空間分為八個部分
10.已知向量a=(1,?1,0)，b=(?1,0,1)，c=(2,?3,1)，則( )
A. |a?b|=6B. (a+3b)?(b+c)=7
C. (a+4b)⊥cD. a//(b?c)
11.若直線l的方向向量為m，平面α的法向量為n，則不可能使l//α的是( )
A. m=(1,0,0)，n=(?2,0,0)B. m=(1,3,5)，n=(1,0,1)
C. m=(0,2,1)，n=(?1,0,?1)D. m=(1,?1,3)，n=(0,3,1)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知A(4,1,3)、B(2,?5,1)，C為線段AB上一點，且AB=3AC，則C的坐標為______．
13.已知a=(2,?3,0)，b=(k,0,3)，=120°，則k= ______．
14.已知向量a=(9,8,5),b=(2,?1,?1)，則向量a在向量b上的投影向量的坐標是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中點，設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c．
(1)求AE的長；
(2)求異面直線AE和BC夾角的余弦值．
16.(本小題15分)
已知向量a=(1,2,2)，b=(?2,1,?1)．
(1)求a?b；
(2)求|2a?b|；
(3)求cs?a,b?．
17.(本小題15分)
已知空間三點A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB，b=AC．
(1)若ka+b與ka?2b互相垂直，求實數(shù)k的值；
(2)若|c|=3，c//BC，求c．
18.(本小題17分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點.證明：
(1)BE//平面PAD；
(2)平面PCD⊥平面PAD．
19.(本小題17分)
若Ωn={a|a=(a1,a2,…,ai,…,an)，ai∈R，i=1，2，…，n}，則稱Ωn為n維空間向量集，0={0,0,…,0}為零向量.對于k∈R，任意a=(a1,a2,…,an)，b=(b1,b2,…,bn)，定義：
①數(shù)乘運算：ka=(ka1,ka2,?,kan)；
②加法運算：a+b=(a1+b1,a2+b2,?,an+bn)；
③數(shù)量積運算：a?b=a1b1+a2b2+?+anbn；
④向量的模：|a|= a12+a22+…+an2．
對于Ωn中一組向量ai(i=1,2,?,m)，若存在一組不同時為零的實數(shù)ki(i=1,2,?,m)使得k1a1+k2a2+?+kmam=0，則稱這組向量線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)．
(1)對于n=3，判斷下列各組向量是否線性相關(guān)：
①a=(?1,1,1),b=(?2,2,2)；
②a=(?1,1,1),b=(?2,2,2),c=(3,1,?4)；
(2)已知α1,α2,α3,α4線性無關(guān)，試判斷α1?α2,2α2?3α3,3α3?4α4,4α4?α1是否線性相關(guān)，并說明理由；
(3)證明：對于Ωn中的任意兩個元素α,β，均有|α+β|2≥4α?β．
參考答案
1.B
2.B
3.D
4.A
5.D
6.B
7.C
8.B
9.BD
10.BD
11.ABC
12.(103,?1,73)
13.? 39
14.(53,?56,?56)
15.解：(1)在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，
因為AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中點，
AE=AB+BC+CE=AB+BC+12CC1，
所以AE2=AB2+BC2+14CC12+2AB?BC+AB?CC1+BC?CC1，
由題意AB2=25，BC2=AD2=9，CC12=AA12=4，
AB?BC=|AB|?|BC|cs(180°?90°)=0，AB?CC1=|AB|?|CC1|cs60°=5×4×12=10，
BC?CC1=|BC|?|CC1|cs60°=3×4×12=6，
所以AE2=25+9+14×16+0+10+6=54，
所以AE=|AE|=3 6；
(2)AE?BC=(AB+BC+CE)?BC=AB?BC+BC2+12BC?CC1=0+9+12×6=12，
|AE|=3 6，|BC|=3，
所以cs=AEBC|AE|?|BC|=123 6×3=29 6．
設(shè)異面直線AE和BC夾角為θ，則θ∈(0,π2]，
所以csθ=|cs|=29 6．
所以異面直線AE和BC夾角的余弦值為29 6．
16.解：(1)a?b=?2+2?2=?2；
(2)2a?b=(2,4,4)?(?2,1,?1)=(4,3,5)，
則|2a?b|= 16+9+25=5 2；
(3)|a|= 1+4+4=3,|b|= 4+1+1= 6，則cs?a,b?=a?b|a||b|=?23× 6=? 69．
17.解：(1)a=AB=(1,1,0)，b=AC=(?1,0,2)，
ka+b=(k?1,k,2)，ka?2b=(k+2,k,?4)，
ka+b與ka?2b互相垂直，
則(ka+b)?(ka?2b)=(k?1)(k+2)+k2?8=0，解得k=2或?52；
(2)c//BC，BC=(?2,?1,2)，
則可設(shè)c=(?2λ,?λ,2λ)，
|c|=3，
則 (?2λ)2+(?λ)2+(2λ)2=9，解得λ=±1，
故c=(?2,?1,2)或c=(2,1,?2)．
18.解：(1)因為PA⊥平面ABCD，且AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，
又因為AB⊥AD，且PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
依題意，以點A為原點，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
由E為棱PC的中點，得E(1,1,1)，則BE=(0,1,1)，
所以AB=(1,0,0)為平面PAD的一個法向量，
又BE?AB=(0,1,1)?(1,0,0)=0，所以BE⊥AB，
又BE?平面PAD，所以BE//平面PAD．
(2)由(1)知平面PAD的法向量AB=(1,0,0)，PD=(0,2,?2)，DC=(2,0,0)，
設(shè)平面PCD的一個法向量為n=(x,y,z)，
則n?PD=0n?DC=0，即2y?2z=02x=0，令y=1，可得z=1，所以n=(0,1,1)，
又n?AB=(0,1,1)?(1,0,0)=0，
所以n⊥AB，所以平面PCD⊥平面PAD．
19.(1)解：對于①，假設(shè)a與b線性相關(guān)，
則存在不全為零的實數(shù)k1，k2使得k1a+k2b=0，
則?4b1?2k2=0,k1+2k3=0,即k1+2k2=0，
可取k1=2，k2=?1滿足方程組，所以a,b線性相關(guān)；
對于②，假設(shè)a,b,c線性相關(guān)，則存在不全為零的實數(shù)k1，k2，k3，
使得k1a+k2b+k3c=0，則?k1?2k2+3k3=0,k1+2k2+k3=0,k1+2k2?4k3=0,
可取k1=2，k2=?1滿足方程組，所以a,b,c線性相關(guān)；
(2)解：假設(shè)α1?α2,2α1?3α3,3α3?4α4,4α4?α1線性相關(guān)．
則存在不全為零的實數(shù)k1，k2，k3，k4，
使得k1(α1?α2)+k2(2α1?3α3)+k3(3α3?4α4)+k4(4α4?α1)=0，
即(k1?k4)α1+(2k2?k1)α2+(3k3?3k2)α3+(4k4?4k3)α4=0，
因為α1,α2,α3,α4線性無關(guān)，
所以k1?k4=0,2k2?k1=0,3k3?3k2=0,4k4?4k3=0,解得k1=k2=k3=k4=0，與線性相關(guān)定義相矛盾，
所以向量α1?α1,2α2?3α3,3α3?4α4,4α4?α1線性無關(guān)；
(3)證明：設(shè)α=(a1,a2,?,an),β=(b1,b2,?,bn)，
則由題設(shè)定義，可得：
α+β=(a1+b1,a2+b2,?,an+bn)，
α?β=a1b1+a2b2+?+anbn，
則|α+β|2=(a1+b1)2+(a2+b2)2+?+(an+bn)2，
所以|α+β|2?4α?β=(a1+b1)2+(a2+b2)2+?+(an+bn)2?4(a1b1+a2b2+?+anbn)
=(a12?2a1b1+b12)+(a22?2a2b2+b22)+…+(an2?2anbn+bn2)
=(a1?b1)2+(a2?b2)2+?+(an?bn)2≥0，
當且僅當ai=bi，i=1，2，?n成立時，等號成立，
所以|α+β|2≥4α?β，故原式得證．

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