一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符1合題目要求，請將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0即可求解．
【詳解】解：因?yàn)?+＝0，
所以-的相反數(shù)是．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，掌握相反數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2. 2024年5月，全國最大的海上光伏項(xiàng)目獲批落地連云港，批準(zhǔn)用海面積約28000畝，總投資約90億元．其中數(shù)據(jù)“28000”用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法：為整數(shù)，進(jìn)行表示即可．
【詳解】解：；
故選：B．
3. 下列運(yùn)算結(jié)果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查整式的運(yùn)算，根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘除法則，積的乘方和冪的乘方法則，逐一進(jìn)行計(jì)算判斷即可．
【詳解】解：A、，不符合題意；
B、，不符合題意；
C、，符合題意；
D、，不符合題意；
故選：C．
4. 下列網(wǎng)格中各個(gè)小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（ ）

A. 甲和乙B. 乙和丁C. 甲和丙D. 甲和丁
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查相似圖形，根據(jù)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的圖形是相似圖形結(jié)合正方形的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：由圖可知，只有選項(xiàng)甲和丁中的對應(yīng)角相等，且對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，它們的形狀相同，大小不同，是相似形．
故選D．
5. 如圖，將一根木棒的一端固定在O點(diǎn)，另一端綁一重物．將此重物拉到A點(diǎn)后放開，讓此重物由A點(diǎn)擺動(dòng)到B點(diǎn)．則此重物移動(dòng)路徑的形狀為（ ）

A. 傾斜直線B. 拋物線C. 圓弧D. 水平直線
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)軌跡，根據(jù)題意，易得重物移動(dòng)的路徑為一段圓?。?br>【詳解】解：在移動(dòng)的過程中木棒的長度始終不變，故點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，
故選：C．
6. 下列說法正確的是（ ）
A. 10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，先摸的人摸到獎(jiǎng)票的概率較大
B. 從1，2，3，4，5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，取得偶數(shù)的可能性較大
C. 小強(qiáng)一次擲出3顆質(zhì)地均勻的骰子，3顆全是6點(diǎn)朝上是隨機(jī)事件
D. 拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為，連續(xù)拋此硬幣2次必有1次正面朝上
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查事件發(fā)生的可能性與概率．由題意根據(jù)事件的可能性以及事件發(fā)生的概率對各選項(xiàng)進(jìn)行依次判斷即可．
【詳解】解：A、“10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，先摸的人摸到獎(jiǎng)票的概率一樣”，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、從1，2，3，4，5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，奇數(shù)有3個(gè)，偶數(shù)有2個(gè)，取得奇數(shù)的可能性較大，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、 “小強(qiáng)一次擲出3顆質(zhì)地均勻的骰子，3顆全是6點(diǎn)朝上是隨機(jī)事件”，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D、拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為，連續(xù)拋此硬幣2次有可能有1次正面朝上，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
7. 如圖，正方形中有一個(gè)由若干個(gè)長方形組成的對稱圖案，其中正方形邊長是，則圖中陰影圖形的周長是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查平移的性質(zhì)，利用平移的性質(zhì)將陰影部分的周長轉(zhuǎn)化為邊長是的正方形的周長加上邊長是的正方形的兩條邊長再減去，由此解答即可．
【詳解】解：由圖可得：陰影部分的周長為邊長是的正方形的周長加上邊長是的正方形的兩條邊長再減去，
陰影圖形的周長是：，
故選：A．
8. 已知拋物線（a、b、c是常數(shù)，）頂點(diǎn)為．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；③若的一個(gè)根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的．其中一定正確的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)公式可得，結(jié)合，，由此可判斷①；由二次函數(shù)的增減性可判斷②；用a表示b、c的值，再解方程即可判斷③，由平移法則即可判斷④．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，
，
，
即，
，
，
的值可正也可負(fù)，
不能確定的正負(fù)；故①錯(cuò)誤；
，
拋物線開口向下，且關(guān)于直線對稱，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；故②正確；
，
拋物線為，
，
，故③正確；
拋物線，
將向左平移1個(gè)單位得：，
拋物線是由拋物線向左平移1個(gè)單位得到的，故④錯(cuò)誤；
正確的有②③，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與一元二次方程，一元二次方程的解的定義，用a表示b、c的值是本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
9. 如果公元前121年記作年，那么公元后2024年應(yīng)記作__________年．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)表示一對相反意義的量，公元前為負(fù)，則公元后為正，進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：公元前121年記作年，那么公元后2024年應(yīng)記作年；
故答案為：．
10. 若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
【詳解】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件，
要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須，
∴．
故答案為：
11 如圖，直線，直線，，則__________．
【答案】30
【解析】
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，求出的度數(shù)，外角的性質(zhì)，得到，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：30．
12. 關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根的個(gè)數(shù)與根的判別式的關(guān)系．根據(jù)題意得，進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
，
故答案為：．
13. 杠桿平衡時(shí)，“阻力阻力臂動(dòng)力動(dòng)力臂”．已知阻力和阻力臂分別為和，動(dòng)力為，動(dòng)力臂為．則動(dòng)力關(guān)于動(dòng)力臂的函數(shù)表達(dá)式為__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意可得，進(jìn)而即可求解，掌握杠桿原理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可得，，
∴，即，
故答案為：．
14. 如圖，是圓的直徑，、、、的頂點(diǎn)均在上方的圓弧上，、的一邊分別經(jīng)過點(diǎn)A、B，則__________．

【答案】90
【解析】
【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)半圓的度數(shù)為，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進(jìn)行求解即可．
【詳解】∵是圓的直徑，
∴所對的弧是半圓，所對圓心角的度數(shù)為，
∵、、、所對的弧的和為半圓，
∴，
故答案為：90．
15. 如圖，將一張矩形紙片上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕EF，連接BF．再將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B落在BF上的點(diǎn)H處，折痕為AG．若點(diǎn)G恰好為線段BC最靠近點(diǎn)B的一個(gè)五等分點(diǎn)，，則BC的長為__________．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查矩形折疊，勾股定理，解直角三角形，設(shè)與交于點(diǎn)，，則：，勾股定理求出，等積法求出，根據(jù)，列出方程進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：設(shè)與交于點(diǎn)，
∵矩形，
∴，
∵翻折，
∴，，
設(shè)，則：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
∴；
故答案為：．

16. 如圖，在中，，，．點(diǎn)P在邊上，過點(diǎn)P作，垂足為D，過點(diǎn)D作，垂足為F．連接，取的中點(diǎn)E．在點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查含30度角的直角三角形，一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，則，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求出點(diǎn)分別與重合時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，則，
則：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
過點(diǎn)作，則：，
∴，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
令，
則：，
∴點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，此時(shí)，
∴點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長為；
故答案為：．
三、解答題（本大題共11小題，共102分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，作圖過程需保留作圖痕跡）
17. 計(jì)算．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，先進(jìn)行去絕對值，零指數(shù)冪和開方運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【詳解】解：原式
18. 解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
【答案】，圖見解析
【解析】
【分析】本題主要考查解一元一次不等式以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，根據(jù)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并可得不等式的解集，然后再在數(shù)軸上表示出它的解集即可
【詳解】解：，
去分母，得，
去括號(hào)，得，
移項(xiàng)，得，
解得．
這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

19. 下面是某同學(xué)計(jì)算的解題過程：
解：①
②
③
上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請寫出完整的正確解題過程．
【答案】從第②步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確過程見解析
【解析】
【分析】本題考查異分母分式的加減運(yùn)算，先通分，然后分母不變，分子相減，最后將結(jié)果化為最簡分式即可．掌握相應(yīng)的計(jì)算法則，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：從第②步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤．
正確解題過程為：
原式．
20. 如圖，與相交于點(diǎn)，，．
（1）求證：；
（2）用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：求作菱形，使得點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上．（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，結(jié)合，利用即可證明；
（2）作的垂直平分線，分別交于點(diǎn)，連接即可．
【小問1詳解】
證明：，
，．
在和中，，
；
【小問2詳解】
解：是的垂直平分線，
，
由（1）的結(jié)論可知，,
又∵,
則,
∴
，
是的垂直平分線，
，
，
四邊形是菱形，
如圖所示，菱形為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的作法，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定，菱形的判定，熟練掌握垂直平分線的作法及三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．
21. 為了解七年級(jí)男生體能情況，某校隨機(jī)抽取了七年級(jí)20名男生進(jìn)行體能測試，并對測試成績（單位：分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析：
【收集數(shù)據(jù)】
100 94 88 88 52 79 83 64 83 87
76 89 91 68 77 97 72 83 96 73
【整理數(shù)據(jù)】
該校規(guī)定：為不合格，為合格，為良好，為優(yōu)秀．（成績用表示）
【分析數(shù)據(jù)】
此組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是82，眾數(shù)是83，中位數(shù)是c；
【解決問題】
（1）填空：__________，__________，__________；
（2）若該校七年級(jí)共有300名男生，估計(jì)體能測試能達(dá)到優(yōu)秀的男生約有多少人？
（3）根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)分析情況，寫一條你的看法．
【答案】（1）4，0.25，83
（2）75人 （3）男生體能狀況良好
【解析】
【分析】本題考查頻數(shù)分布表和用樣本估計(jì)總體：
（1）利用頻數(shù)=頻率×數(shù)據(jù)總數(shù)可求出a的值；利用頻率=頻數(shù)÷數(shù)據(jù)總數(shù)可求出b，最后根據(jù)中位數(shù)定義可求出c；
（2）用樣本估計(jì)總體可得結(jié)論；
（3）結(jié)合分析，得出看法
【小問1詳解】
解：；
；
把20個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：52，64，68，72，73，76，77，79，83，83，83，87，88，88，89，91，94，96，97，100，
最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)為83，83，
所以，，
故答案為：4，0.25，83；
【小問2詳解】
解：（人）
答：估計(jì)體能測試能達(dá)到優(yōu)秀的男生約有75人；
【小問3詳解】
解：從樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以看出，男生整體體能狀況良好
22. 數(shù)學(xué)文化節(jié)猜謎游戲中，有四張大小、形狀、質(zhì)地都相同的字謎卡片，分別記作字謎A、字謎B、字謎C、字謎D，其中字謎A、字謎B是猜“數(shù)學(xué)名詞”，字謎C、字謎D是猜“數(shù)學(xué)家人名”．
（1）若小軍從中隨機(jī)抽取一張字謎卡片，則小軍抽取的字謎是猜“數(shù)學(xué)名詞”的概率是__________；
（2）若小軍一次從中隨機(jī)抽取兩張字謎卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法求小軍抽取的字謎均是猜“數(shù)學(xué)家人名”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)簡單地概率公式解答即可．
（2）利用畫樹狀圖法解答即可．
本題考查了簡單地概率公式，樹狀圖法求概率，熟練掌握畫樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
小軍抽取的字謎是猜“數(shù)學(xué)名詞”的概率是，
故答案為：．
【小問2詳解】
根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有12種等可能結(jié)果，其中小軍抽取的字謎均是猜“數(shù)學(xué)家人名”的有2種，
∴小軍抽取的字謎均是猜“數(shù)學(xué)家人名”的概率是．
23. 我市將5月21日設(shè)立為連云港市“人才日”，以最大誠意禮遇人才，讓人才與城市“雙向奔赴”．活動(dòng)主辦方分兩次共郵購了200把繪有西游文化的折扇作為當(dāng)天一項(xiàng)活動(dòng)的紀(jì)念品．折扇單價(jià)為8元，其中郵費(fèi)和優(yōu)惠方式如下表所示：
若兩次郵購折扇共花費(fèi)1504元，求兩次郵購的折扇各多少把？
【答案】兩次郵購的折扇分別是40把和160把
【解析】
【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，首先判斷出兩次購買數(shù)量的范圍，再設(shè)設(shè)一次郵購折扇把，則另一次郵?折扇把，根據(jù)“兩次郵購折扇共花費(fèi)1504元”列出一元一次方程，求解即可
【詳解】解：若每次購買都是100把，則．
一次購買少于100把，另一次購買多于100把．
設(shè)一次郵購折扇把，則另一次郵購折扇把．
由題意得：，
解得．
．
答：兩次郵購的折扇分別是40把和160把．
24. 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A、B，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．
（1）求的值；
（2）利用圖像直接寫出時(shí)的取值范圍；
（3）如圖2，將直線沿軸向下平移4個(gè)單位，與函數(shù)的圖像交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)E，再將函數(shù)的圖像沿平移，使點(diǎn)A、D分別平移到點(diǎn)C、F處，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）
（2）或
（3）8
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用：
（1）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，再將點(diǎn)代入一次函數(shù)的解析式中求出的值即可；
（2）圖像法求不等式的解集即可；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，得到陰影部分的面積即為的面積，進(jìn)行求解即可．
【小問1詳解】
點(diǎn)在的圖像上，
當(dāng)時(shí)，．
∴，
將點(diǎn)代入，得．
【小問2詳解】
由（1）知：，
聯(lián)立，解得：或，
∴；
由圖像可得：時(shí)的取值范圍為：或．
【小問3詳解】
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵將直線沿軸向下平移4個(gè)單位，
∴，直線的解析式為：，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)H
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，，
∴，
∴，
如圖，過點(diǎn)作，垂足為，
∴．
又，，
．
連接，
∵平移，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴陰影部分面積等于的面積，即．
25. 圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城的邊長為，南門設(shè)立在邊的正中央，游樂城南側(cè)有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計(jì)），東側(cè)有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測得雕塑在北偏東方向上，在處測得雕塑在北偏東方向上．
（1）__________，__________；
（2）求點(diǎn)到道路的距離；
（3）若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂城的影響？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，）
【答案】（1），
（2）2.0千米 （3）
【解析】
【分析】本題考查正多邊形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)：
（1）求出正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（2）過點(diǎn)作，垂足為，解，求出，解，求出，即可；
（3）連接并延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，解，求出，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．
【小問1詳解】
解：∵正八邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為：，
∴，；
故答案為：；
【小問2詳解】
過點(diǎn)作，垂足為．
在中，，，
．
在中，，
．
答：點(diǎn)到道路的距離為2.0千米．
【小問3詳解】
連接并延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．
正八邊形的外角均為，
在中，．
．
又，，
．
∵，
∴，
，即，
，
．
答：小李離點(diǎn)不超過2.4km，才能確保觀察雕塑不會(huì)受到游樂城的影響．
26. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

（1）若拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)、分別作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M、N，連接．求證：平分；
（3）當(dāng)，時(shí)，過直線上一點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)．若的最大值為4，求的值．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）連接，根據(jù)題意，求得，，進(jìn)而求出，，利用勾股定理求出，求出，從而得到，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；
（3）設(shè)，則，，求出當(dāng)時(shí)，，得到點(diǎn)在的上方，設(shè)，故，其對稱軸為，分為和兩種情況討論即可．
【小問1詳解】
解：分別將，代入，
得，
解得．
函數(shù)表達(dá)式為；
【小問2詳解】
解：連接，

，
．
當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)．
，，
，，，
在中，．
，
，
．
，
．
．
平分．
【小問3詳解】
解：設(shè)，則，．
當(dāng)時(shí)，．
令，
解得，．
，
，
點(diǎn)在的上方（如圖1）．

設(shè)，
故，
其對稱軸為，且．
①當(dāng)時(shí)，即．
由圖2可知：

當(dāng)時(shí)，取得最大值．
解得或（舍去）．
②當(dāng)時(shí)，得，
由圖3可知：

當(dāng)時(shí)，取得最大值．
解得（舍去）．
綜上所述，的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與角度的綜合問題，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的解析式及最值等問題，關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
27. 【問題情境】
（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），這時(shí)候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的__________倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；
【操作實(shí)踐】
（2）如圖3，圖①是一個(gè)對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系．小昕按所示步驟進(jìn)行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結(jié)合整個(gè)變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點(diǎn)P為端點(diǎn)的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系；
【探究應(yīng)用】
（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中存在最大值．若，，當(dāng)最大時(shí)，求AD的長；
（4）如圖6，在中，，點(diǎn)D、E分別在邊AC和BC上，連接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
【答案】（1）2（2）（3）（4）
【解析】
【分析】（1）利用圓與正多邊形的性質(zhì)分別計(jì)算兩個(gè)正方形的面積可得答案；
（2）如圖，由，證明，再結(jié)合圖形變換可得答案；
（3）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)與相切時(shí)，最大，再進(jìn)一步解答即可；
（4）如圖，將沿對折，的對應(yīng)點(diǎn)為，將沿對折，的對應(yīng)點(diǎn)為，連接，再將沿方向平移，使與重合，如圖，得，由（2）可得：，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最短，再進(jìn)一步解答即可.
【詳解】解：如圖，
∵正方形，及圓為正方形的內(nèi)切圓，為正方形的外接正方形，
∴設(shè)，，
∴，，
∴，，
∴大正方形面積是小正方形面積的2倍．
（2）如圖，∵，
∴，，
，，
∴，
如圖，
結(jié)合圖形變換可得：；
（3）如圖，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
∴在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵為圓外一個(gè)定點(diǎn)，
∴當(dāng)與相切時(shí)，最大，
∴，
∴，
由（2）可得：，
∵，，
∴
，
∴；
（4）如圖，將沿對折，的對應(yīng)點(diǎn)為，將沿對折，的對應(yīng)點(diǎn)為，連接，
∴，，
再將沿方向平移，使與重合，如圖，得，
由（2）可得：，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最短，
∵，，
∴，，
∴；
∴的最小值為；
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓與正多邊形的關(guān)系，切線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.
等次
頻數(shù)（人數(shù)）
頻率
不合格
1
0.05
合格
a
0.20
良好
10
0.50
優(yōu)秀
5
b
合計(jì)
20
1.00
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