注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
一、單選題（共40分）
1. 已知角 的始邊為 軸非負半軸，終邊經(jīng)過點 ，則 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得tanθ的值，再利用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得要求式子的值．
【詳解】∵角θ的始邊為x軸非負半軸，終邊經(jīng)過點，
∴，
則.
故選：D
2. 在（其中是虛數(shù)單位）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二項展開式中通項的特征即可求解.
【詳解】由二項式定理得，通項公式為，
由得，，由得，
∴，，
∵，，
∴的系數(shù)為.
故選：C.
3. 已知圓內(nèi)接四邊形中，是圓的直徑，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的線性運算，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的幾何性質(zhì)，即可得所求.
【詳解】
因為，所以，易知，
結(jié)合圖形，，，則，故.
所以在直角三角形中可得，故.
故選：
4. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)以及函數(shù)，分別利用導數(shù)研究其單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.
【詳解】令，，
當時，，，，單調(diào)遞增，
，即，，即；
令，
，
令，
令，，
當時，，單調(diào)遞增，
，
在上單調(diào)遞減，，
，在上單調(diào)遞減，
，即，
綜上所述.
故選:C.
5. 已知函數(shù).若存在，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，則存在，使得成立，再利用分離參數(shù)法求解即可.
【詳解】由成立，可得，
設(shè)，
則存在，使得成立，
即，
又，
當且僅當，即時取等號，所以，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
故選：C.
6. 已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，，離心率分別為，，點P為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點，且，若，則雙曲線的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題先求出橢圓中的長半軸長與半焦距，然后在再分別由勾股定理，橢圓和雙曲線的定義求解雙曲線的實半軸長，即可求出雙曲線方程．
【詳解】橢圓中，，雙曲線的實半軸長，
在三角形中，
，
所以
，
所以，
即，
所以，由題焦點在軸上，
故雙曲線方程為，
故選：D．
7. 已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且是與的等比中項，設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程組，求得，得到，進而得到，結(jié)合裂項法求和，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，且是與的等比中項，可得，
即，解得，所以，
又由，
可得.
故選：C.
8. 如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由題意，服從二項分布，，代入公式可得結(jié)果．
【詳解】每下落一層向左或向右落下等可能，概率均為，
每一層均要乘以，共做10次選擇，
故服從二項分布，，
又，
令最大，
則，
即,
解得，又因為，所以,
所以，
，且．
故選：B．
二、多選題（共18分）
9. 已知函數(shù)的最小正周期為，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 的圖像關(guān)于點對稱B. 的圖像關(guān)于直線對稱
C. 在上單調(diào)遞增D. 在區(qū)間上的值域為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)輔助角公式可得，由周期得，進而代入驗證即可求解AB，利用整體法即可求解CD.
【詳解】，由于最小正周期為，故，故，
對于A, ,故的圖像關(guān)于點對稱，A錯誤，
對于B，，的圖像關(guān)于直線對稱，故B正確，
對于C，當時，，故在上單調(diào)遞增，C正確，
對于D，時，，故，故，D正確，
故選：BCD
10. 已知圓 ，直線 ，則（ ）
A. 直線 恒過定點
B. 當時，圓上恰有三個點到直線的距離等于 1
C. 直線與圓可能相切
D. 若圓與圓 恰有三條公切線，則
【答案】AD
【解析】
【分析】本題先根據(jù)直線l的方程判斷出直線l恒過的定點，再判斷該定點與圓的位置關(guān)系，可解決選項A和選項C的問題；根據(jù)圓心到直線的距離判斷滿足條件點的個數(shù)，可解決選項B的問題；由選項D的條件可得兩圓外切，由此可求得參數(shù)a的值.
【詳解】由直線，得 ，
因為，則滿足 ，解得 ，
所以直線恒過定點 ，故選項A正確.
因為當時，直線為:，
則圓心 到直線的距離為 ，
則此時直線與圓相交所得劣弧的頂點到直線的距離，
所以圓上只有 2 個點到直線的距離為 1，故選項B錯誤.
因為直線過定點 ，又 ，
所以定點在圓內(nèi)，則直線與圓一定相交，故選項錯誤.
由圓的方程 可得，，
所以圓心為 ，半徑為 ，
因為兩圓有三條公切線，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，
則 ，解得 ，故選項正確.
故選：AD.
11. 四棱錐的底面為正方形，PA與底面垂直，，，動點M在線段PC上，則（ ）
A. 不存在點M，使得
B. 的最小值為
C. 四棱錐的外接球表面積為5π
D. 點M到直線AB的距離的最小值為
【答案】BD
【解析】
【分析】當點為中點時，利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可判斷A；利用展開圖，利用數(shù)形結(jié)合求的最小值，即可判斷B；利用幾何體與外接球的關(guān)系，即可求解球心，并求外接球的表面積，即可判斷C；利用異面直線的距離的轉(zhuǎn)化，即可判斷D.
【詳解】對于A：連接BD，且，如圖所示，當M在PC中點時，
因為點O為AC的中點，所以，因為平面ABCD，
所以平面ABCD，又因為平面ABCD，所以，
因為ABCD為正方形，所以．
又因為，且BD，平面BDM，所以平面BDM，
因為平面BDM，所以，所以A錯誤；
對于B：將和所在的平面沿著PC展開在一個平面上，如圖所示，
和是全等的直角三角形，，，
連結(jié)，，
則的最小值為BD，直角斜邊PC上高為，即，
直角斜邊PC上高也為，所以的最小值為，所以B正確；
對于C：易知四棱錐的外接球直徑為PC，
半徑，表面積，所以C錯誤；
對于D：點M到直線AB的距離的最小值即為異面直線PC與AB的距離，
因為，且平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，
所以直線AB到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離，過點A作，
因為平面ABCD，面，所以，
又，且，面，
故平面PAD，平面PAD，所以，
因為，且PD，平面PCD，所以平面PCD，
所以點A到平面PCD的距離，即為AF的長，如圖所示，
在中，，，可得，
所以由等面積得，即直線AB到平面PCD的距離等于，所以D正確，
故選：BD．
三、填空題（共15分）
12. 在等差數(shù)列中，數(shù)列的前n項和為，，，若，則的最小值為________.
【答案】17
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項公式，再由求出的各組值，計算比較得解.
【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，而，則，
數(shù)列的公差，則，由，得，
而，則或或或，
所以當時，的最小值為.
故答案為：17
13. 對，都有恒成立，那么的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用分離常數(shù)法求出，然后求出最值，再根據(jù)恒成立條件即可得
【詳解】由題意可知，恒成立，
當時，恒成立，
當時，，
而，當且僅當時，等號成立，所以；
綜上所述：.
故答案為：
14. 已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是______
【答案】8
【解析】
【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可知為奇函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可知，然后結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】函數(shù)的定義域為，且，
所以為奇函數(shù)，又，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
又，所以，
所以，即，
所以，
當且僅當，即，，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
四、解答題（共77分）
15. 已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若．
（1）求值；
（2）若的面積為，求周長的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化邊，可求的值；
（2）已知條件結(jié)合三角形面積公式化簡求出，由正弦定理結(jié)合兩角和與差的正弦公式得，由，得，可求周長的取值范圍．
【小問1詳解】
∵，
由正弦定理可得：，
由余弦定理知：，，
可得，
則有，由，解得.
【小問2詳解】
中由余弦定理知，又中有，
∴，化簡得，
∵，∴.
又，由正弦定理得：，，
，
因在中，，，，
所以，當時，等號成立，
∴周長的取值范圍是．
16. 設(shè)函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）
【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為
（2）
【解析】
【分析】（1）當時，求出，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）由可得，令，其中，由題意可知，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個公共點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
當時，，該函數(shù)的定義域為，
，令，可得，
由，可得；由，可得，
故當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
【小問2詳解】
當時，由可得，
令，其中，
由題意可知，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個公共點，
，
令，則與同號，
則對任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，
當時，，此時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，
又因為，，顯然，如下圖所示：
由圖可知，當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個公共點，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
17. 已知數(shù)列滿足，（，）.又數(shù)列滿足.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列是嚴格增數(shù)列，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，裂項變形，再利用等比數(shù)列定義判斷即得.
（2）由（1）求出數(shù)列的通項，再由單調(diào)性列出不等式，分離參數(shù)，借助單調(diào)性求解即得.
【小問1詳解】
當時，，即，亦即，
又，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1），，即，，
依題意，對任意的正整數(shù)成立，
即對任意的正整數(shù)成立，
而數(shù)列嚴格增，且對任意的正整數(shù)成立，
因此，又，解得，
所以的取值范圍是.
18. 如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．
（1）若為線段中點，求證：平面．
（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.
小問1詳解】
取的中點為，接，則，
而，故，故四邊形為平行四邊形，
故，而平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
因為，故，故，
故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
則
設(shè)平面的法向量為，
則由可得，取，
設(shè)平面的法向量為，
則由可得，取，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為
19. 某地區(qū)舉行專業(yè)技能考試，共有8000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過后，才能參加復(fù)試.為了解考生的考試情況，隨機抽取了100名考生的初試成績，并以此為樣本，繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.
（1）若所有考生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，，試利用正態(tài)分布估計所有考生中初試成績不低于85分的人數(shù)；
（2）復(fù)試共四道題，前兩道題考生每題答對得5分，答錯得0分，后兩道題考生每題答對得10分，答錯得0分，四道題的總得分為考生的復(fù)試成績.已知某考生進入復(fù)試，他在復(fù)試中，前兩題每題能答對的概率均為，后兩題每題能答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響.規(guī)定復(fù)試成績上了20分（含20分）的考生能進入面試，請問該考生進入面試的概率有多大?
附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則：，.
【答案】（1）182人；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)估算公式求出樣本平均數(shù)，然后根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求得概率，即可求解；
（2）根據(jù)題意確定的取值，并求出對應(yīng)的概率，利用互斥事件加法概率公式求解即可.
【小問1詳解】
由題意得，樣本平均數(shù)的估計值為
，
因為學生初試成績服從正態(tài)分布，其中則，
所以，
所以估計初試成績不低于85分的人數(shù)為人.
【小問2詳解】
記該考生的復(fù)試成績?yōu)椋瑒t能進入面試的復(fù)試成績?yōu)?0分，25分，30分，
，
，
，
所以該考生進入面試的概率為.

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