株洲市2023屆高三年級教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測（一）數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 設(shè)集合，集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合，然后再根據(jù)集合的特征和交集的概念即可求解.【詳解】由題意可知：集合，又因?yàn)榧?/span>，所以，故選：.2. 已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，則，在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為，所以在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：.3. 已知四邊形是平行四邊形，，若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】計(jì)算得出，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、的表達(dá)式，即可得出的值．【詳解】，，，，，故，故選：C．4. 已知三棱錐的側(cè)面展開圖放在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么在三棱錐中，與所成的角為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由題知，，進(jìn)而取中點(diǎn)，連接，證明平面即可得，進(jìn)而得答案..【詳解】解：由圖可知，在三棱錐中， ，，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，即與所成的角為故選：D5. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，到直線的距離分別是1與4，則滿足條件的直線共有（    ）A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的概念和切線的性質(zhì)，分別以為圓心，以為半徑作圓，滿足題意的直線為兩圓的公切線，進(jìn)而求解.【詳解】分別以為圓心，以為半徑作圓，因?yàn)?/span>， 所以兩圓外切，有三條公切線，即滿足條件的直線共有3條，故選：C6. 今年11月，為預(yù)防新冠疫情蔓延，株洲市有，，三個小區(qū)被隔離；從菜市場出發(fā)的專車必須每天準(zhǔn)時到這3個小區(qū)運(yùn)送蔬菜，以解決小區(qū)居民的日常生活問題．，，，之間的行車距離用表中的數(shù)字表示．若專車從出發(fā)，每個小區(qū)經(jīng)過且只經(jīng)過一次，然后再返回，那么專車行駛的最短距離是（    ） 0763705465083480 A. 17 B. 18 C. 23 D. 25【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，專車行駛的最短距離應(yīng)該選擇或，再求距離即可.【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可知，到的距離最大，到的距離次之，所以，為使行駛距離最短，與之間不能直達(dá)，與之間不能直達(dá)，所以，專車行駛的最短距離應(yīng)該選擇或，此時最短距離為或.故選：B7. 已知曲線為雙曲線，則該雙曲線的焦距為（    ）A. 2 B.  C. 4 D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知：雙曲線為等軸雙曲線，根據(jù)題意求出實(shí)半軸長和虛半軸長，進(jìn)而計(jì)算即可求解.【詳解】由題意可知：雙曲線為等軸雙曲線，因?yàn)榈容S雙曲線的一條對稱軸為，則雙曲線與對稱軸的交點(diǎn)分別為，所以實(shí)半軸長為，從而虛半軸長為，所以焦距為，故選：.8. 已知，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算以及作差法，整理代數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，可得的大小關(guān)系；根據(jù)二項(xiàng)式定理以及中間執(zhí)法，整理，可得答案.【詳解】由，，則，令，，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，即，故，可得，即；由，且，則，即綜上，.故選：C.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．）9. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，且，則（    ）A.  B. C. 數(shù)列是等差數(shù)列 D. 數(shù)列是等比數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可以判斷A正確；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可以判斷B錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的概念可判斷C，根據(jù)特例可判斷D.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，對A，因?yàn)?/span>是等差數(shù)列，且，則由等差數(shù)列性質(zhì)可得，故A正確；對B，，則，故B錯誤；對C，因?yàn)?/span>，則數(shù)列是等差數(shù)列，故C正確；對D，如數(shù)列為，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯誤;故選：AC.10. 關(guān)于函數(shù)有以下四個選項(xiàng)，正確的是（    ）A. 對任意的a，都不是偶函數(shù) B. 存在a，使是奇函數(shù)C. 存在a，使 D. 若的圖像關(guān)于對稱，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式將函數(shù)化簡，然后結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，其中，，對于A，要使為偶函數(shù)，則，且，即對任意的a，都不是偶函數(shù)，故正確；對于B，要使為奇函數(shù)，則，且，即不存在a，使是奇函數(shù)，故正確；對于C，因?yàn)?/span>，故錯誤；對于D，若的圖像關(guān)于對稱，則，，解得，且，所以，即，故正確.故選：AD11. 已知三棱錐的所有棱長均相等，其外接球的球心為O．點(diǎn)E滿足，過點(diǎn)E作平行于和的平面，分別與棱相交于點(diǎn)，則（    ）A. 當(dāng)時，平面經(jīng)過球心OB. 四邊形的周長隨的變化而變化C. 當(dāng)時，四棱錐的體積取得最大值D. 設(shè)四棱錐的體積為，則【答案】ACD【解析】【分析】說明平面為正方形，從而推出其對角線交點(diǎn)到三棱錐各頂點(diǎn)的距離相等，即可判斷A；設(shè)三棱錐棱長，求得四邊形的周長，可判斷B；當(dāng)時，利用線面位置關(guān)系求出四棱錐的底面積和高的表達(dá)式，可得體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)判斷其最值，判斷C；求得四棱錐的體積的表達(dá)式，計(jì)算，可判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面，，同理可得，所以，同理，所以，四邊形為平行四邊形，則，取線段的中點(diǎn)M，連接，因?yàn)?/span>，M為的中點(diǎn)，所以，同理，因?yàn)?/span>平面，所以平面，平面，，當(dāng)時，則E為的中點(diǎn)，則F為中點(diǎn)，同理E為的中點(diǎn)，則H為中點(diǎn)，則，因?yàn)?/span>，所以四邊形為正方形，連接，交于，則,由三棱錐的所有棱長均相等，則,可知，H為的中點(diǎn)，故，同理,又，故,則，即即為外接球的球心O，故當(dāng)時，平面即經(jīng)過球心O，A正確；對于B，設(shè)三棱錐的棱長為a,由（1）知且四邊形為平行四邊形，,所以,同理，所以四邊形的周長為，即四邊形的周長不隨的變化而變化，B錯誤；對于C，由以上分析可得，，故，設(shè)交于N，交于R，連接,因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面，，由于平面， ,故平面，平面，故平面平面，平面平面，過點(diǎn)M作,垂足為T，并延長交于Q，則，平面,則平面,即的長即為間的距離，也為A點(diǎn)到平面的距離，由，可知，由于，則，而，故Q為的中點(diǎn)，故，故，則，故四棱錐的體積,令，則，令，則或（舍去），當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，故時，在上取到最大值，即當(dāng)時，四棱錐的體積取得最大值，C正確；對于D，由以上分析可知，而，故Q為的中點(diǎn)，則T為的中點(diǎn)，也即的交點(diǎn)，當(dāng)時，T即為三棱錐外接球的球心O，此時，時，不重合，且根據(jù)正四面體的特征可知O一定在上,則四棱錐的高為，故四棱錐的體積為，則，D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合性較強(qiáng)，涉及的知識點(diǎn)較多，解答時要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的線面的位置關(guān)系，難點(diǎn)在于要根據(jù)線面位置關(guān)系計(jì)算出相應(yīng)的量的值，從而結(jié)合相關(guān)的體積公式，表示出體積，進(jìn)而判斷結(jié)論.12. 已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則下列說法正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)，由可得，再根據(jù)選項(xiàng)依次判斷正誤即可.【詳解】設(shè)，，，，即，所以要使為系數(shù)都是整數(shù)的整式方程的根，則方程必須包含因式. 由中的最高次數(shù)為4，是它的一個零點(diǎn)，因此，即 對選項(xiàng)，，是正確的；對選項(xiàng)，，是正確的；對選項(xiàng)，，是正確的；對選項(xiàng)，，當(dāng)時，最小值為，當(dāng)時，無最小值，因此選項(xiàng)是錯誤. 故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于將含有無理數(shù)的平方根式通過兩次平方化成有理數(shù)，得到含有無理數(shù)解的有理數(shù)整式方程，從而得解.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于__________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理，先求出 展開式中的常數(shù)項(xiàng)和的系數(shù)，即得解.【詳解】由，根據(jù)二項(xiàng)式定理，其展開式的通項(xiàng)為，所以當(dāng)時，展開式的常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時，展開式的系數(shù)為；所以原式中展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.14. 已知，若在區(qū)間上存在兩個不相等的實(shí)數(shù)a，b，滿足，則可以為__________．（填一個值即可）【答案】5（大于等于5的正整數(shù)均可）【解析】【分析】利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又在區(qū)間上存在兩個不相等的實(shí)數(shù)a，b，滿足，所以，解得，所以可以為5，故答案為：5（大于等于5的整數(shù)均可）15. 過原點(diǎn)的直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作x軸的垂線，與曲線交于C，D兩點(diǎn)，則直線CD的斜率為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)點(diǎn)，，共線，得出，得出，再由C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式，得出，代換即可得出答案．【詳解】設(shè)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，，共線，，即，可得：，即，又，，故答案為：．16. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，過的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，線段比例關(guān)系和余弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以，在三角形中，，三角形中，，以上兩式相等整理得，故或（舍去），故，故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17. 如圖，在平面四邊形中，.（1）求的值；（2）求的長度.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由勾股定理得到，從而求出，再利用余弦差角公式進(jìn)行計(jì)算；（2）先求出，再利用余弦定理求出答案.【小問1詳解】在中，由勾股定理得，，；【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以，在中，由余弦定理得：18. 2023年亞運(yùn)會在中國杭州舉辦，開幕式門票與其他賽事門票在網(wǎng)上開始預(yù)定，亞奧理事會規(guī)定：開幕式門票分為A、B兩檔，當(dāng)預(yù)定A檔未成功時，系統(tǒng)自動進(jìn)入B檔預(yù)定，已知獲得A檔門票的概率是，若未成功，仍有的概率獲得B檔門票的機(jī)會；而成功獲得其他賽事門票的概率均為，且獲得每張門票之間互不影響．甲預(yù)定了一張A檔開幕式門票，一張賽事門票；乙預(yù)定了兩張賽事門票．（1）求甲乙兩人都沒有獲得任何門票的概率；（2）求乙獲得的門票數(shù)比甲多的概率．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)甲、乙獲得的門票數(shù)分別為、，分別求、的分布列，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）“乙獲得的門票數(shù)比甲多”有3種可能、和，結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)運(yùn)算求解.【小問1詳解】由題意可得：預(yù)定一張開幕式門票不成功的概率，成功的概率為，設(shè)甲獲得的門票數(shù)為，則的可能取值為，故，故的分布列為：012設(shè)乙獲得的門票數(shù)為，則，故，故的分布列為：012故甲乙兩人都沒有獲得任何門票的概率.【小問2詳解】由（1）可得：乙獲得的門票數(shù)比甲多的概率.19. 如圖（1），已知菱形ABCD中，沿對角線BD將其翻折，使，設(shè)此時AC的中點(diǎn)為O，如圖（2）．（1）求證：點(diǎn)O是點(diǎn)D在平面上的射影；（2）求直線AD與平面BCD所成角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解    （2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形中線及勾股定理證明線線垂直，然后證明線面垂直，即可判斷點(diǎn)在的面上的射影；（2）利用等體積法求出點(diǎn)點(diǎn)A到平面BCD的距離，利用定義求出線面角的正弦值，進(jìn)一步求出余弦值【小問1詳解】連接DO，因?yàn)?/span>，O為AC的中點(diǎn)，所以，設(shè)菱形ABCD的邊長為2，又因?yàn)?/span>，所以，連接BO，則，又因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)O是點(diǎn)D在平面上的射影；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為h，設(shè)菱形ABCD的邊長為2，且，則的面積為，則，的面積為，由（1）知，平面，，所以，由得，，所以，設(shè)直線AD與平面BCD所成角為，則，所以，即直線AD與平面BCD所成角的余弦值為20. 數(shù)列滿足，.（1）若，求證：是等比數(shù)列.（2）若，的前項(xiàng)和為，求滿足的最大整數(shù).【答案】（1）證明見解析    （2）98【解析】【分析】（1）由已知得，可得，進(jìn)而得證；（2）利用錯位相減結(jié)合分組求和可得，結(jié)合二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮，進(jìn)而得解.【小問1詳解】，，，由已知可得，，，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）得，所以，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①，②，①②得，所以，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，所以，所以，，所以滿足的最大整數(shù)為21. 已知曲線與曲線N關(guān)于直線對稱，且的頂點(diǎn)在曲線N上．（1）若為正三角形，且其中一個頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求此時該三角形的面積；（2）若三邊所在的三條直線中，有兩條與曲線M相切，求證第三條直線也與曲線M相切．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意得出曲線N的方程，設(shè)出的頂點(diǎn)，求出直線方程并聯(lián)立可得坐標(biāo)，結(jié)合面積公式即可求解；（2）設(shè)出頂點(diǎn)與切線方程，聯(lián)立直線與拋物線，利用相切條件結(jié)合判別式為零即可求解；【小問1詳解】因?yàn)榍€與曲線N關(guān)于直線對稱，所以曲線N的方程為，又為正三角形，且其中一個頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，故不妨設(shè)為原點(diǎn)，則直線 的方程為，由解得，進(jìn)而有，所以的面積為；【小問2詳解】設(shè)，則有，不妨設(shè)直線與曲線M相切，直線 的方程為，化簡為，聯(lián)立得，又因?yàn)橹本€與曲線M相切，所以，即，同理可得，由（1）（2）得：，因?yàn)?/span>，所以，又直線的方程為，聯(lián)立得，所以，所以直線也與曲線M相切，22. 已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，．（1）若，求a的值；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)取得極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)等于0即可求解；（2）令，根據(jù)，，求出，構(gòu)造函數(shù)求出的范圍，再構(gòu)造函數(shù)，求出范圍即可求解的范圍.【小問1詳解】依題意知，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個極值點(diǎn)，，所以，，，則有有兩個根，等價于有兩個根，令，則，令，解得，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以時，取得最大值，又趨向于無窮大時，趨向于0，所以且.若，即，由，解得：或（舍去），所以若，a的值為：.【小問2詳解】由（1）知，，，，整理可得，令，所以，易得，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以a的取值范圍為：.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)，求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

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