一、單選題
1．已知為虛數(shù)單位，，若，則（ ）
A．B．
C．D．
2．在中，設，若，則（ ）
A．B．
C．D．
3．已知復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，且，則滿足條件的復數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．0B．2C．4D．無數(shù)個
4．已知向量滿足，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
5．在中，內角的對邊分別為，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形或等腰三角形
6．在中，已知，點在線段上，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
7．某校高一年級的學生參加了主題為《追尋大儒足跡，傳承董子文化》的實踐活動.在參觀董子文化館時，為了測量董子雕像高度，在處測得雕像最高點的仰角分別為和，且，，則該雕像的高度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）

A．B．C．D．
8．已知向量，則的最大值為（ ）
A．2B．C．1D．
二、多選題
9．已知向量滿足，它們的夾角為，則下列向量中，與向量的模相等的向量有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（ ）
A．
B．復數(shù)的虛部為
C．若對應的向量為對應的向量為，則向量對應的復數(shù)為
D．若復數(shù)是關于的方程的一個根，則
11．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知是內一點，、、的面積分別為、、，且.則下列說法正確的是（ ）
A．若，則為的重心
B．若，則
C．若，則
D．若為的內心，且，則
三、填空題
12．已知復數(shù)滿足，則 .
13．定義向量的一種新運算：，其中是向量的夾角.已知，則 .
14．已知點為等腰外接圓上的一個動點，，則的取值范圍為 .
四、解答題
15．已知向量.
(1)當時，求實數(shù)的值；
(2)當時，求向量與的夾角的余弦值.
16．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），其共軛復數(shù)為.
(1)若復數(shù)為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；
(2)若復數(shù)是實數(shù)，求實數(shù)的值；
(3)若，且復數(shù)在復平面內所對應的點位于第二象限，求實數(shù)的取值范圍.
17．在中，內角所對的邊分別為的面積為.
(1)求角的大??；
(2)若的平分線交于點，求的長度.
18．某公園規(guī)劃一個凸四邊形區(qū)域種植兩種花卉以供欣賞，具體設計如下：如圖，將四邊形劃分為兩個三角形區(qū)域分別種植兩種花卉，，.設.
(1)用表示的面積，并求的最大值；
(2)為了提高觀賞效果，計劃在和邊上安裝護欄，其中邊上的護欄需要進行延長設計，因此一共需安裝長度為的護欄，若該護欄每米造價為200元，求建造護欄所需費用的最小值.（參考數(shù)據(jù)：）
19．在平面直角坐標系中，對于非零向量，定義這兩個向量的“相離度”為，容易知道平行的充要條件為.
(1)已知向量，求；
(2)（i）設向量的夾角為，證明：；
（ii）在中，為的中點，且，若，求.
參考答案
1．C
【詳解】由，化簡得
所以.
故選：C
2．D
【詳解】在中，；①
在中，；②
①+②，得
因為，所以，
即
故選：D.
3．B
【詳解】由復數(shù)z的實部與虛部互為相反數(shù)，
可設，則，
，
解得，
所以或，
故選：B.
4．A
【詳解】由題意，，
所以在上的投影向量為，
故選：A．
5．D
【詳解】，，
，
化簡得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故選：D.
6．C
【詳解】當時，三點共線，與題意矛盾，所以，
因為，所以，
則，
因為三點共線，
所以，解得.

故選：C.
7．A
【詳解】，，
，則，
在中，，
，即.
所以該雕像的高度約為4m.
故選：A.
8．B
【詳解】由題，
，
所以
，
所以，
令，則，.
所以時取得最大值為.
故選：B
9．AC
【詳解】因為，夾角為，所以,.
對于A，，A正確；
對于B，,B不正確；
對于C，,C正確；
對于D，，D不正確.
故選：AC
10．ACD
【詳解】A選項，，A正確；
B選項，，故復數(shù)的虛部為，B錯誤；
C選項，由題意，又，則向量，
故向量對應的復數(shù)為，C正確；
D選項，若復數(shù)是關于的方程的一個根，
則，故和均為方程的根，
故，
所以，
故，，，D正確.
故選：ACD
11．ABD
【詳解】對于A選項，若，則，
取線段的中點，連接，則，
所以，，即，故、、三點共線，
分別取線段、的中點、，連接、，
同理可證、、三點共線，、、三點共線，則為的重心，
因此，若，則為的重心，A對；
對于B選項，若，由“奔馳定理”可得，
所以，，所以，，
故，B對；
對于C選項，若，即，
即，即，
又，不共線，
所以，
所以由“奔馳定理”可得，C錯；
對于D選項，若為的內心，設的內切圓半徑為，
則，
因為，則，故，
設，則，，則，故為直角，
所以，，D對.
故選：ABD.
12．
【詳解】依題意，，
所以.
故答案為：
13．
【詳解】因為，所以，
解得，則.
故答案為：.
14．
【詳解】在等腰中，，則，
若，則，矛盾；
若，則，合乎題意.
由于余弦定理可得，
設，，
當點在優(yōu)?。ú话c、）上運動時，，則，
由余弦定理可得，
所以，，當且僅當點與點重合時，等號成立，
又因為，此時，，
此時，；
當點與點或點重合時，；
當點在劣?。ú话c、）上運動時，，
此時，，
由余弦定理可得，
即，當且僅當點為劣弧的中點時，等號成立，
又因為，則，
此時，.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：.
15．(1)1
(2)
【詳解】（1）由題意可得，
因為，所以.
（2），
因為，所以，
所以，
所以，
即向量與的夾角的余弦值為.
16．(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）易知，
若復數(shù)為純虛數(shù)，可得，
解得；
（2）由可得,
所以,
若復數(shù)是實數(shù)，可得，
解得；
（3）易知，
易知復數(shù)在復平面內所對應的點坐標為，
又復數(shù)在復平面內所對應的點位于第二象限，可得，
解得.
即實數(shù)的取值范圍為.
17．(1)；
(2).
【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，
則，
即，而，于是，而，
所以.
（2）由（1）知，，又，的面積為，
則，即，解得，
由，得，，
所以.
18．(1)，
(2)75600元
【詳解】（1）在中，，，則，
由正弦定理，，即，
解得，
，
，則，，
所以當，即時，取得最大值，最大值為.
（2）在中，由正弦定理，得，
同理可得，
，
，，
因為在上單調遞增，所以，
，
所以建造護欄所需費用的最小值為元.
19．(1)
(2)(i)證明見解析，（ii)
【詳解】（1）由，，
可得：
（2）（i）因為
，
且，，則，
所以.
（ii）因為D為中點，
則，
可得，
即，可得，
又因為，可知點為的中點，則，
可得，
即
則，
，
，
可得，
所以.

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