一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知i為虛數(shù)單位，x,y∈R，若x?ii=y?2i，則( )
A. x=?2,y=?1B. x=2,y=?1C. x=?2,y=1D. x=2,y=1
2.在?ABC中，設(shè)AB=a,AC=b，若BM=4MC，則AM=( )
A. 14a+34bB. 34a+14bC. 45a+15bD. 15a+45b
3.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，且z?z=2，則滿足條件的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為( )
A. 0B. 2C. 4D. 無(wú)數(shù)個(gè)
4.已知向量a,b滿足a=?2,1,b=?1,3，則b在a上的投影向量為( )
A. ?2,1B. ?2,3C. ?25,15D. ?1,3
5.在?ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若sin2BcsA=sinCcsB，則?ABC的形狀為( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
6.在?ABC中，已知AC=λMC，點(diǎn)P在線段BM上，若AP=25AB+AC，則λ=( )
A. 2B. 32C. 3D. 43
7.某校高一年級(jí)的學(xué)生參加了主題為《追尋大儒足跡，傳承董子文化》的實(shí)踐活動(dòng).在參觀董子文化館時(shí)，為了測(cè)量董子雕像高度，在B?C處測(cè)得雕像最高點(diǎn)的仰角分別為π4和π6，且A=π2，BC=2.92m，則該雕像的高度AD約為( )(參考數(shù)據(jù)： 3≈1.73)

A. 4.0mB. 4.6mC. 5.2mD. 6.2m
8.已知向量a=?csx4,sinx4,b=cs7x4,sin7x4，則a?b+a?b的最大值為( )
A. 2B. 32C. 1D. ?12
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知向量a,b滿足a=1,b=2，它們的夾角為π3，則下列向量中，與向量a?b的模相等的向量有( )
A. 3aB. b?2aC. 12b+2aD. 3b?a
10.已知復(fù)數(shù)z=3?4i(i為虛數(shù)單位)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. z=5
B. 復(fù)數(shù)1z的虛部為?425
C. 若z對(duì)應(yīng)的向量為OA,1+i對(duì)應(yīng)的向量為OB，則向量AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為?2+5i
D. 若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一個(gè)根，則p+q=19
11.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知M是?ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BMC、?AMC、?AMB的面積分別為SA、SB、SC，且SA?MA+SB?MB+SC?MC=0.則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 若SA:SB:SC=1:1:1，則M為?ABC的重心
B. 若SA:SB:SC=1:2:3，則AM=13AB+12AC
C. 若AM=14AB+13AC，則SAS?ABC=13
D. 若M為?ABC的內(nèi)心，且3MA+4MB+ 7MC=0，則csC=34
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知復(fù)數(shù)z滿足1+iz=1?i，則z2025= ．
13.定義向量a,b的一種新運(yùn)算：a×b=absinθ，其中θ是向量a,b的夾角.已知a= 3,b=2,a×b=3 22，則cs2θ= ．
14.已知點(diǎn)P為等腰?ABC外接圓⊙M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC=2BC=4，則PB?PC的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知向量a=1,2,b=2,?1,c=m,2,m∈R．
(1)當(dāng)a+b⊥λa?b時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值；
(2)當(dāng)b//a+c時(shí)，求向量a與c的夾角的余弦值．
16.(本小題15分)
已知復(fù)數(shù)z=2+ai(a∈R,i為虛數(shù)單位)，其共軛復(fù)數(shù)為z．
(1)若復(fù)數(shù)3+i?z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若復(fù)數(shù)3+i?z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
(3)若z1=z1?i，且復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
17.(本小題15分)
在?ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c, 3bcsC?csinB= 3a,a=4,?ABC的面積為7 3．
(1)求角B的大小；
(2)若∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)度．
18.(本小題17分)
某公園規(guī)劃一個(gè)凸四邊形區(qū)域種植兩種花卉以供欣賞，具體設(shè)計(jì)如下：如圖，將四邊形ABCD劃分為兩個(gè)三角形區(qū)域分別種植兩種花卉，AD=300m,BA⊥AD，∠CBA=3π4,∠ACD=π4.設(shè)∠BAC=α,α∈π24,5π24．
(1)用α表示?ACD的面積S，并求S的最大值；
(2)為了提高觀賞效果，計(jì)劃在AB和BC邊上安裝護(hù)欄，其中BC邊上的護(hù)欄需要進(jìn)行延長(zhǎng)設(shè)計(jì)，因此一共需安裝長(zhǎng)度為AB+ 2BC的護(hù)欄，若該護(hù)欄每米造價(jià)為200元，求建造護(hù)欄所需費(fèi)用的最小值.(參考數(shù)據(jù)：sinπ12≈0.26,sin5π12≈0.97)
19.(本小題17分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于非零向量a=x1,y1,b=x2,y2，定義這兩個(gè)向量的“相離度”為da,b=x1y2?x2y1 x12+y12? x22+y22，容易知道a,b平行的充要條件為da,b=0．
(1)已知向量a= 5,2,b=1,?4 5，求da,b；
(2)(i)設(shè)向量a,b的夾角為θ，證明：da,b=sinθ；
(ii)在?ABC中，AB=4,AC=8,D為BC的中點(diǎn)，且AD=2 7，若AD=2PD，求dAP,BP．
參考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.D
6.C
7.A
8.B
9.AC
10.ACD
11.ABD
12.?i
13.14
14.?1415,14
15.(1)由題意可得a+b=3,1,λa?b=λ,2λ?2,?1=λ?2,2λ+1，
因?yàn)閍+b⊥λa?b，所以3λ?2+2λ+1=0?λ=1．
(2)a+c=1+m,4，
因?yàn)閎//a+c，所以8+m+1=0?m=?9，
所以c=?9,2，
所以csa,c=a?cac=?5 5× 85=? 1717，
即向量a與c的夾角的余弦值為? 1717．

16.(1)易知3+i?z=3+i2+ai=6+3ai+2i+ai2=6?a+3a+2i，
若復(fù)數(shù)3+i?z為純虛數(shù)，可得6?a=03a+2≠0,
解得a=6；
(2)由z=2+ai可得z=2?ai，
所以3+i?z=3+i?2?ai=6?3ai+2i?ai2=6+a+2?3ai，
若復(fù)數(shù)3+i?z是實(shí)數(shù)，可得2?3a=0，
解得a=23；
(3)易知z1=z1?i=2+ai1?i=2+ai1+i1?i1+i=2+2i+ai+ai21?i2=2?a+2+ai2=2?a2+2+a2i，
易知復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為2?a2,2+a2，
又復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，可得2?a20,
解得a>2．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為2,+∞．

17.(1)在?ABC中，由 3bcsC?csinB= 3a及正弦定理，得 3sinBcsC?sinCsinB= 3sinA，
則 3sinBcsC?sinCsinB= 3sin(B+C)= 3sinBcsC+ 3csBsinC，
即?sinCsinB= 3csBsinC，而sinC>0，于是tanB=? 3，而0

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