數(shù)學(xué)
班級(jí)__________姓名__________
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)和考號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效，
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知為虛數(shù)單位，，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等即可求解.
【詳解】由，化簡(jiǎn)得
所以.
故選：C
2. 在中，設(shè)，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知條件結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可得答案.
【詳解】在中，；①
在中，；②
①+②，得
因?yàn)椋裕?br>即
故選：D.
3. 已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，且，則滿足條件的復(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 無(wú)數(shù)個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)可設(shè)，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求得a的值，則答案可求.
【詳解】由復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，
可設(shè)，則，
，
解得，
所以或，
故選：B.
4. 已知向量滿足，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的定義求解．
【詳解】由題意，，
所以在上的投影向量為，
故選：A．
5. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（ ）
A 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】將已知結(jié)合二倍角公式，兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)可得，從而可以判斷三角形的形狀.
【詳解】，，
，
化簡(jiǎn)得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故選：D.
6. 在中，已知，點(diǎn)在線段上，若，則（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】將用表示，再根據(jù)三點(diǎn)共線，結(jié)合平面向量共線定理的推論即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線，與題意矛盾，所以，
因?yàn)?，所以?br>則，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，
所以，解得.

故選：C.
7. 某校高一年級(jí)的學(xué)生參加了主題為《追尋大儒足跡，傳承董子文化》的實(shí)踐活動(dòng).在參觀董子文化館時(shí)，為了測(cè)量董子雕像高度，在處測(cè)得雕像最高點(diǎn)的仰角分別為和，且，，則該雕像的高度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題可得，則，在中，列式運(yùn)算得解.
【詳解】，，
，則，
在中，，
，即.
所以該雕像的高度約為4m.
故選：A.
8. 已知向量，則的最大值為（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式求出，再求出，最后將二者相加并結(jié)合三角函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)即可求出最大值.
【詳解】由題，
，
所以
，
所以，
令，則，.
所以時(shí)取得最大值為.
故選：B
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知向量滿足，它們的夾角為，則下列向量中，與向量的模相等的向量有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分別求解題干和選項(xiàng)中向量的模長(zhǎng)可得答案.
【詳解】因?yàn)?，夾角為，所以,.
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，,B不正確；
對(duì)于C，,C正確；
對(duì)于D，，D不正確
故選：AC
10. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B. 復(fù)數(shù)的虛部為
C. 若對(duì)應(yīng)的向量為對(duì)應(yīng)的向量為，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
D. 若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)模長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算；B選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)除法法則和虛部的概念得到B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義來(lái)判斷；D選項(xiàng)，和均為方程的根，由韋達(dá)定理求解即可.
【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；
B選項(xiàng)，，故復(fù)數(shù)的虛部為，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由題意，又，則向量，
故向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，C正確；
D選項(xiàng)，若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，
則，故和均為方程的根，
故，
所以，
故，，，D正確.
故選：ACD
11. “奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，且.則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則為的重心
B. 若，則
C. 若，則
D. 若為的內(nèi)心，且，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)重心性質(zhì)推導(dǎo)出，結(jié)合重心的定義可判斷A選項(xiàng)；由“奔馳定理”結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可判斷BC選項(xiàng)；推導(dǎo)出，可得出為直角，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，
取線段的中點(diǎn)，連接，則，
所以，，即，故、、三點(diǎn)共線，
分別取線段、的中點(diǎn)、，連接、，
同理可證、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線，則為的重心，
因此，若，則為的重心，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，若，由“奔馳定理”可得，
所以，，所以，，
故，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若，即，
即，即，
又，不共線，
所以，
所以由“奔馳定理”可得，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，
則，
因?yàn)?，則，故，
設(shè)，則，，則，故為直角，
所以，，D對(duì).
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于利用平面向量的線性運(yùn)算與三角形的面積比的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為“奔馳定理”判斷結(jié)論即可.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法求出，再利用復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算求得答案.
【詳解】依題意，，
所以.
故答案為：
13. 定義向量的一種新運(yùn)算：，其中是向量的夾角.已知，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)定義得到方程，求出，再用余弦二倍角公式求出答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>解得，則.
故答案為：.
14. 已知點(diǎn)為等腰外接圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，作出圖形，設(shè)，，利用余弦定理求出的值，對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論，求出的值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求出的取值范圍，再利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的取值范圍.
【詳解】在等腰中，，則，
若，則，矛盾；
若，則，合乎題意.
由于余弦定理可得，
設(shè)，，
當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)?。ú话c(diǎn)、）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，則，
由余弦定理可得，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，等號(hào)成立，
又因?yàn)?，此時(shí)，，
此時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)在劣?。ú话c(diǎn)、）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
此時(shí)，，
由余弦定理可得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為劣弧的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，
又因?yàn)?，則，
此時(shí)，.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知向量.
（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求向量與的夾角的余弦值.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）由垂直關(guān)系的向量坐標(biāo)表示可解；
（2）由向量平行的坐標(biāo)表示求出，再代入向量夾角公式可得.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可得，
因?yàn)?，所?
【小問(wèn)2詳解】
，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
即向量與的夾角的余弦值為.
16. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），其共軛復(fù)數(shù)為.
（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
（3）若，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的定義即可得出；
（2）結(jié)合共軛復(fù)數(shù)以及實(shí)數(shù)的定義即可得出；
（3）利用復(fù)數(shù)除法計(jì)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義解不等式即可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
易知，
若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得，
解得；
【小問(wèn)2詳解】
由可得,
所以,
若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，可得，
解得；
【小問(wèn)3詳解】
易知，
易知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，
又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，可得，
解得.
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
17. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為的面積為.
（1）求角的大??；
（2）若的平分線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)度.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結(jié)合和角的正弦公式求解.
（2）利用三角形面積求出邊，再利用面積建立方程求解.
小問(wèn)1詳解】
在中，由及正弦定理，得，
則，
即，而，于是，而，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，又，的面積為，
則，即，解得，
由，得，，
所以.
18. 某公園規(guī)劃一個(gè)凸四邊形區(qū)域種植兩種花卉以供欣賞，具體設(shè)計(jì)如下：如圖，將四邊形劃分為兩個(gè)三角形區(qū)域分別種植兩種花卉，，.設(shè).
（1）用表示面積，并求的最大值；
（2）為了提高觀賞效果，計(jì)劃在和邊上安裝護(hù)欄，其中邊上的護(hù)欄需要進(jìn)行延長(zhǎng)設(shè)計(jì)，因此一共需安裝長(zhǎng)度為的護(hù)欄，若該護(hù)欄每米造價(jià)為200元，求建造護(hù)欄所需費(fèi)用的最小值.（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）， （2）75600元
【解析】
【分析】（1）在中，由正弦定理求得，利用三角形面積公式表示，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)求得最大值；
（2）在中，由正弦定理可得，，代入，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求出最小值.
【小問(wèn)1詳解】
在中，，，則，
由正弦定理，，即，
解得，
，
，則，，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為.
【小問(wèn)2詳解】
在中，由正弦定理，得，
同理可得，
，
，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
，
所以建造護(hù)欄所需費(fèi)用的最小值為元.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于非零向量，定義這兩個(gè)向量的“相離度”為，容易知道平行的充要條件為.
（1）已知向量，求；
（2）（i）設(shè)向量的夾角為，證明：；
（ii）在中，為的中點(diǎn)，且，若，求.
【答案】（1）
（2）(i)證明見(jiàn)解析，（ii)
【解析】
【分析】（1）由新定義代入即可求解；
（2）（i）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而可證，（ii）根據(jù)中線結(jié)合數(shù)量積可得，且可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，進(jìn)而求，再由（i）即可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由，，
可得：
【小問(wèn)2詳解】
（i）因?yàn)?br>，
且，，則，
所以.
（ii）因?yàn)镈為中點(diǎn)，
則，
可得，
即，可得，
又因?yàn)?，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，
可得，
即
則，
，
，
可得，
所以.

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