新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義專題15：隨機(jī)變量分布列（2份，原卷版+解析版）

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題型一：古典型概率
【典例例題】
例1. （2023春·廣東省佛山市高三一模）二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國古時立法中的二十四個節(jié)氣而編成的小詩歌，體現(xiàn)著我國古代勞動人民的智慧.四句詩歌“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩歌包含了這個季節(jié)中的6個節(jié)氣.若從24個節(jié)氣中任選2個節(jié)氣，這2個節(jié)氣恰好在一個季節(jié)的概率為（ ）
A. B. C. D.
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·廣東省梅州市高三一模）若從0，1，2，3，…9這10個整數(shù)中同時取3個不同的數(shù)，則其和為偶數(shù)的概率為（ ）
A. B. C. D.
2.（2023春·廣東省深圳市高三一模）安排5名大學(xué)生到三家企業(yè)實習(xí)，每名大學(xué)生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學(xué)生，則大學(xué)生甲、乙到同一家企業(yè)實習(xí)的概率為（ ）
A. B. C. D.
3.（2023春·廣東省茂名市高三二模）從1、2、3、4、5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為（ ）
A. B. C. D.
題型二：條件概率、事件相互獨立
【典例例題】
例1.（2023春·廣東省東莞市實驗中學(xué)高三模擬）（多選）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示從乙罐取出的球是紅球．則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．事件B與事件相互獨立D．，，兩兩互斥
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·廣東省江門市高三一模）衣柜里有灰色，白色，黑色，藍(lán)色四雙不同顏色的襪子，從中隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（ ）
A. B. C. D.
2.（2023春·廣東省潮州市高三二模）（多選） 對于一個事件E，用表示事件E中樣本點的個數(shù)．在一個古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D中，，，則（ ）
A. A與D不互斥B. A與B互為對立C. A與C相互獨立D. B與C相互獨立
3.（2023春·廣東省大灣區(qū)高三大聯(lián)考）一堆蘋果中大果與小果的比例為，現(xiàn)用一臺水果分選機(jī)進(jìn)行篩選．已知這臺分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為．經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機(jī)篩選出來的“大果”里面隨機(jī)抽取一個，則這個“大果”是真的大果的概率為（ ）
A. B. C. D.
4.（2023春·廣東省惠州市高三一模）為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞停阎惩瑢W(xué)每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，前一天選擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為，如此往復(fù)．
（1）求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?br>（2）記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋?br>（i）證明：為等比數(shù)列；
（ii）證明：當(dāng)時，．
5.（2023春·廣東省深圳市高三一模）某企業(yè)因技術(shù)升級，決定從2023年起實現(xiàn)新的績效方案．方案起草后，為了解員工對新績效方案是否滿意，決定采取如下“隨機(jī)化回答技術(shù)”進(jìn)行問卷調(diào)查：
一個袋子中裝有三個大小相同的小球，其中1個黑球，2個白球．企業(yè)所有員工從袋子中有放回的隨機(jī)摸兩次球，每次摸出一球．約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式Ⅰ回答問卷，否則按方式Ⅱ回答問卷”．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，則在問卷中畫“○”，否則畫“×”；
方式Ⅱ：若你對新績效方案滿意，則在問卷中畫“○”，否則畫“×”．
當(dāng)所有員工完成問卷調(diào)查后，統(tǒng)計畫○，畫×的比例．用頻率估計概率，由所學(xué)概率知識即可求得該企業(yè)員工對新績效方案的滿意度的估計值．其中滿意度．
（1）若該企業(yè)某部門有9名員工，用X表示其中按方式Ⅰ回答問卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；
（2）若該企業(yè)的所有調(diào)查問卷中，畫“○”與畫“×”的比例為4：5，試估計該企業(yè)員工對新績效方案的滿意度．
題型三：隨機(jī)變量分布列
【典例例題】
例1.（2023春·廣東省東莞市實驗中學(xué)高三模擬）2022年全國羽毛球錦標(biāo)賽于12月16日在廈門舉辦，受此鼓舞，由一名羽毛球?qū)I(yè)運(yùn)動員甲組成的專業(yè)隊，與羽毛球業(yè)余愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊進(jìn)行友誼比賽，約定賽制如下：業(yè)余隊中的兩名隊員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場，則專業(yè)隊獲勝；若甲連續(xù)輸兩場，則業(yè)余隊獲勝；若比賽三場還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場比賽相互獨立，每場比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，甲贏的概率為；甲與丙比賽，甲贏的概率為，其中.
(1)若第一場比賽，業(yè)余隊可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請分別計算兩種安排下業(yè)余隊獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：第一場業(yè)余隊?wèi)?yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？
(2)為了激勵專業(yè)隊和業(yè)余隊，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時，勝隊獲獎金13萬元，負(fù)隊獲獎金3萬元；若平局，兩隊各獲獎金4萬元，在比賽前，已知業(yè)余隊采用了(1)中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎金金額共計X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)的取值范圍．
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·廣東省廣州市高三一模）為了拓展學(xué)生的知識面，提高學(xué)生對航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識答題競賽，每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10分：從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得10分.學(xué)生甲參加答題競賽，每次答對的概率為，各次答題結(jié)果互不影響.
（1）求甲前3次答題得分之和為40分的概率；
（2）記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為.
①寫出與滿足的等量關(guān)系式（直接寫出結(jié)果，不必證明）：
②若，求i的最小值.
2.（2023春·廣東省高三二模）甲、乙兩名圍棋學(xué)員進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為α，乙獲勝的概率為β，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨立．
（1）若，，，求進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；
（2）當(dāng)時，
（i）若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，寫出“甲學(xué)員贏得比賽”的概率（用α，β表示），無需寫出過程．
3.（2023春·廣東省高州市高三二模）春節(jié)過后，文化和旅游業(yè)逐漸復(fù)蘇，有意跨省游、出境游的旅客逐漸增多.某旅游景區(qū)為吸引更多游客，計劃在社交媒體平臺和短視頻平臺同時投放宣傳廣告并進(jìn)行線上售票，通過近些年的廣告數(shù)據(jù)分析知，一輪廣告后，在短視頻平臺宣傳推廣后，目標(biāo)用戶購買門票的概率為，在社交媒體平臺宣傳推廣后，目標(biāo)用戶購買門票的概率為；二輪廣告精準(zhǔn)投放后，目標(biāo)用戶在短視頻平臺進(jìn)行復(fù)購的概率為，在社交媒體平臺復(fù)購的概率為.
（1）記在短視頻平臺購票的4人中，復(fù)購的人數(shù)為，若，試求的分布列和期望；
（2）記在社交媒體平臺的3名目標(biāo)用戶中，恰有1名用戶購票并復(fù)購的概率為，當(dāng)取得最大值時，為何值？
（3）為優(yōu)化成本，該景區(qū)決定綜合渠道投放效果的優(yōu)劣，進(jìn)行廣告投放戰(zhàn)略的調(diào)整.已知景區(qū)門票100元/人，在短視頻平臺和社交媒體平臺的目標(biāo)用戶分別在90萬人和17萬人左右，短視頻平臺和社交媒體平臺上的廣告投放費(fèi)用分別為4元/100人和5元/100人，不計宣傳成本的景區(qū)門票利潤率分別是2%和5%，在第（2）問所得值的基礎(chǔ)上，試分析第一次廣告投放后，景區(qū)在兩個平臺上的目標(biāo)用戶身上可獲得的凈利潤總額.
題型四：二項分布
【典例例題】
例1.（2023春·廣東省大灣區(qū)高三聯(lián)考）某工廠車間有臺相同型號的機(jī)器，各臺機(jī)器相互獨立工作，工作時發(fā)生故障的概率都是，且一臺機(jī)器的故障能由一個維修工處理．已知此廠共有甲、乙、丙名維修工，現(xiàn)有兩種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)臺機(jī)器；方案二：由甲乙兩人共同維護(hù)臺機(jī)器．
（1）對于方案一，設(shè)為甲維護(hù)的機(jī)器同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）在兩種方案下，分別計算機(jī)器發(fā)生故障時不能得到及時維修的概率，并以此為依據(jù)來判斷，哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高?
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·廣東省東莞市高三模擬）某運(yùn)動員進(jìn)行射擊訓(xùn)練?射中10環(huán)的概率為，射不中10環(huán)的概率為，每次射擊相互獨立.射中10環(huán)得2分，射不中10環(huán)得分.運(yùn)動員進(jìn)行了三次射擊訓(xùn)練，用隨機(jī)變量表示3次所得分?jǐn)?shù)之和，求：
（1）3次射擊全部射中10環(huán)的概率；
（2）隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
2.（2024春·廣東省佛山市高三模擬）2025年四川省將實行3＋1＋2的高考模式，其中，“3”為語文、數(shù)學(xué)，外語3門參加全國統(tǒng)一考試，選擇性考試科目為政治、歷史、地理、物理、化學(xué)，生物6門，由考生根據(jù)報考高校以及專業(yè)要求，結(jié)合自身實際，首先在物理，歷史中2選1，再從政治、地理、化學(xué)、生物中4選2，形成自己的高考選考組合.
（1）若某小組共6名同學(xué)根據(jù)方案進(jìn)行隨機(jī)選科，求恰好選到“物化生”組合的人數(shù)的期望；
（2）由于物理和歷史兩科必須選擇1科，某校想了解高一新生選科的需求.隨機(jī)選取100名高一新生進(jìn)行調(diào)查，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)，寫出下列聯(lián)表中a，d的值，并判斷是否有95％的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”？
附：.
3.（2024春·廣東省廣州市高三模擬）“大地”漁業(yè)公司從、兩不同設(shè)備生產(chǎn)廠商處共購買了80臺同類型的設(shè)備.
（1）若這80臺設(shè)備的購買渠道和一段時間后故障的記錄如下表：
試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析設(shè)備故障情況是否與購買渠道有關(guān)；
（2）若每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01，且發(fā)生故障時由一個人獨立完成維修.現(xiàn)有兩種配備維修工人的方案，甲方案是由4個人維修，每個人各自獨立負(fù)責(zé)20臺；乙方案是由3個人共同維護(hù)這80臺.請判斷在這兩種方案下設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小關(guān)系？并從公司經(jīng)營者的角度給出方案選擇的建議.
附：
題型五：超幾何分布
【典例例題】
例1.（2024春·廣東省惠州市高三聯(lián)考）為了調(diào)查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機(jī)采摘了個蘋果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知，.
（1）若從蘋果園中隨機(jī)采摘個蘋果，求該蘋果的重量在內(nèi)的概率；
（2）從這個蘋果中隨機(jī)挑出個，這個蘋果的重量情況如下.
為進(jìn)一步了解蘋果的甜度，從這個蘋果中隨機(jī)選出個，記隨機(jī)選出的個蘋果中重量在內(nèi)的個數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【變式訓(xùn)練】
1.（2024春·廣東省佛山市高三聯(lián)考）2019年4月，江蘇省發(fā)布了高考綜合改革實施方案，試行“”高考新模式.為調(diào)研新高考模式下，某校學(xué)生選擇物理或歷史與性別是否有關(guān)，統(tǒng)計了該校高三年級800名學(xué)生的選科情況，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上述表格，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生選擇物理或歷史與性別有關(guān)；
（2）該校為了提高選擇歷史科目學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，用分層抽樣的方法從該類學(xué)生中抽取5人，組成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組.一段時間后，從該小組中抽取3人匯報數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得.記3人中男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：
2.（2024春·廣東省中山市高三聯(lián)考）多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過色彩艷麗的時裝調(diào)動正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為0.5.
（1）寫出小李同學(xué)抽到紅球個數(shù)的分布列及期望；
（2）求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率.
題型六：正態(tài)分布
【典例例題】
例1.（2023春·廣東省佛山市高三二模）佛山被譽(yù)為“南國陶都”，擁有上千年的制陶史，佛山瓷磚享譽(yù)海內(nèi)外．某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項指標(biāo)，且，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數(shù)，則______．
【變式訓(xùn)練】
1.（2023春·廣東省廣州市高三二模）某班有48名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績X（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績在上的學(xué)生人數(shù)為16，則成績在90分以上的學(xué)生人數(shù)為____________.
2.（2023春·廣東省揭陽市高三二模）某校高三年級進(jìn)行了一次高考模擬測試，這次測試的數(shù)學(xué)成績，且，規(guī)定這次測試的數(shù)學(xué)成績高于120分為優(yōu)秀．若該校有1200名高三學(xué)生參加測試，則數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是______．
1.（新課標(biāo)全國Ⅱ卷）（多選）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為. 考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸 是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.
A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為
D．當(dāng)時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
2.（全國乙卷數(shù)學(xué)(理)（文））設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（ ）
A．B．C．D．
3.（全國乙卷數(shù)學(xué)（文））某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（ ）
A．B．C．D．
4.（全國甲卷數(shù)學(xué)（文））某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（ ）
A．B．C．D．
5.（全國甲卷數(shù)學(xué)（理））有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（ ）
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
6.（新高考天津卷）甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為_________；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為_________．
7.（新課標(biāo)全國Ⅱ卷）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)當(dāng)漏診率％時，求臨界值c和誤診率；
(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
8.（新課標(biāo)全國Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
1.（2023春·廣東省高州市高三二模）（多選） 2023年2月28日，國家統(tǒng)計局發(fā)布中華人民共和國2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，如圖是該公報中關(guān)于2018年~2022年國內(nèi)生產(chǎn)總值及其增長速度的統(tǒng)計圖，下列說法正確的是（ ）

A. 近五年的國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增，近三年均已超過1000000億元
B. 2017年的國內(nèi)生產(chǎn)總值低于800000億元
C. 近五年的國內(nèi)生產(chǎn)總值增長速度的平均數(shù)為5.26%
D. 近五年的國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為290926億元
2.（2023春·廣東省深圳市高三二模）從1，2，3，4，5中隨機(jī)選取三個不同的數(shù)，若這三個數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率為（ ）
A. B. C. D.
3.（2024春·廣東省惠州市高三模擬） “仁義禮智信”為儒家“五?！?，由孔子提出“仁、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，董仲舒擴(kuò)充為“仁、義、禮、智、信”，將“仁義禮智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智信”相鄰的概率為（ ）
A. B. C. D.
4.（2024春·廣東省佛山市順德區(qū)高三模擬）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想如下：每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，如30=7+23，在不超過25的素數(shù)中，隨機(jī)選取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)恰好含有這組數(shù)的中位數(shù)的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.（2024春·廣東省佛山市高三模擬）若隨機(jī)事件A，B滿足，，，則（ ）
A. B. C. D.
6.（2023春·廣東省中山市高三二模）某班學(xué)生的一次的數(shù)學(xué)考試成績（滿分：100分）服從正態(tài)分布：，且，，（ ）
A. 0.14B. 0.18C. 0.23D. 0.26
7.（2023春·廣東省深圳市龍崗區(qū)高三聯(lián)考）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球.若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個球，設(shè)事件為第一次取出的球為i號，事件為第二次取出的球為i號，則下列說法錯誤的是（ ）
A. B. C. D.
8.（2024春·廣東省廣州市高三模擬）（多選）對自然人群進(jìn)行普查，發(fā)現(xiàn)患某病的概率.為簡化確診手段，研究人員設(shè)計了一個簡化方案，并進(jìn)行了初步試驗研究，該試驗具有以下的效果：若以表示事件“試驗反應(yīng)為陽性”，以表示事件“被確診為患病”，則有.根據(jù)以上信息，下列判斷正確的是（ ）
A. B.
C. D.
9.（2024春·廣東省廣州市高三聯(lián)考）現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項比賽，每項比賽至少一位同學(xué)參加，事件“甲參加跳高比賽”，事件“乙參加跳高比賽”，事件“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（ ）
A. 事件A與B相互獨立B. 事件A與C為互斥事件
C. D.
10.（2023春·廣東省廣州市高三二模）（多選）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%，第2臺加工的次品率為3%，第3臺加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個零件，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.08
B. 該零件是次品的概率為0.03
C. 如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為0.98
D. 如果該零件是次品，那么它不是第3臺車床加工出來的概率為
11.（2023春·廣東省揭陽市高三二模）（多選）設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，若，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則A，B相互獨立
C. 若A與B相互獨立，則D. 若A與B相互獨立，則
12.（2023春·廣東省汕頭市潮陽區(qū)高三聯(lián)考）（多選）已知，則（ ）
A. B.
C. D.
13.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）（多選）下列命題中，正確的是（ ）
A. 已知隨機(jī)變量X服從二項分布，若，則
B. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則
C. 已知，，，則
D. 已知，，，則
14.（2024春·廣東省東莞市東莞中學(xué)高三模擬）長郡中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強(qiáng)中有3個種子選手，將這12人任意分成3個組（每組4個人），則3個種子選手恰好被分在同一組的概率為（ ）
A. B. C. D.
15.（2024春·廣東省汕頭市高三模擬）（多選）設(shè)為兩個互斥的事件，且，則（ ）
A. B.
C. D.
16.（2024春·廣東省韶關(guān)市高三模擬）在長郡中學(xué)文體活動時間，舉辦高三年級繩子打結(jié)計時賽，現(xiàn)有根繩子，共有10個繩頭，每個繩頭只打一次結(jié)，且每個結(jié)僅含兩個繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束.則這5根繩子恰好能圍成一個圈的概率為（ ）
A. B. C. D.
17.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）已知甲、乙、丙、丁四位高三學(xué)生拍畢業(yè)照，這四位同學(xué)排在同一行，則甲、乙兩位學(xué)生相鄰的概率為______.
18.（2023春·廣東省深圳市高三二模）若，則__________(精確到0.01).
參考數(shù)據(jù)：若，則，.
19.（2024春·廣東省中山市高三模擬）1889年7月由恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的第二國際在巴黎舉行代表大會，會議上宣布將五月一日定為國際勞動節(jié).五一勞動節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是________.
20.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）某單位有10000名職工，想通過驗血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占，如果對每個人的血樣逐一化驗，就需要化驗10000次.統(tǒng)計專家提出了一種化驗方法：隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這5個人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次.按照這種化驗方法，平均每個人需要化驗______次.（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）（，，）.
21.（2023春·廣東省高州市高三二模）閱讀不僅可以開闊視野，還可以提升語言表達(dá)和寫作能力.某校全體學(xué)生參加的期末過程性評價中大約有20%的學(xué)生寫作能力被評為優(yōu)秀等級.經(jīng)調(diào)查知，該校大約有30%的學(xué)生每天閱讀時間超過1小時，這些學(xué)生中寫作能力被評為優(yōu)秀等級的占60%.現(xiàn)從每天閱讀時間不超過1小時的學(xué)生中隨機(jī)抽查一名，該生寫作能力被評為優(yōu)秀等級的概率為__________.
22.（2023春·廣東省梅州市高三二模）有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)，其中甲、乙、丙工廠分別生產(chǎn)3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工廠的次品率依次為6%、5%、5%，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，則
（1）取到次品的概率為____________；
（2）若取到的是次品，則其來自甲廠的概率為____________．
23.（2023春·廣東省佛山市高三二模）有個編號分別為1，2，…，n的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是______，從第個盒子中取到白球的概率是______．
24.（2024春·廣東省潮州市高三聯(lián)考）甲乙兩人進(jìn)行象棋比賽，先勝三局的人晉級，假設(shè)甲每局獲勝的概率為（不考慮平局），
（1）若比賽三局后結(jié)束，求甲晉級的概率；
（2）若已知晉級的是甲，求比賽三局后結(jié)束的概率.
25.（2023春·廣東省潮州市高三二模）新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球發(fā)生，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計了該地區(qū)名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.潛伏期不高于天的患者，稱“短潛伏者”，潛伏期高于天的患者，稱“長潛伏者”.
（1）求這名患者中“長潛伏者”的人數(shù)，并估計樣本的分位數(shù)（精確到）；
（2）研究發(fā)現(xiàn)，有種藥物對新冠病毒有一定的抑制作用，其中有種特別有效，現(xiàn)在要通過逐一試驗直到把這種特別有效的藥物找出來為止，每一次試驗花費(fèi)的費(fèi)用是元，設(shè)所需要的試驗費(fèi)用為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
26.（2024春·廣東省河源市高三聯(lián)考）為了豐富在校學(xué)生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運(yùn)動會活動，學(xué)校設(shè)置項目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項目B“袋鼠接力跳”.甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個項目，進(jìn)行班級對抗賽.第一個比賽項目A采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）；第二個比賽項目B采取領(lǐng)先3局者獲勝。每局不存在平局.假設(shè)在項目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒有影響.
（1）求甲班在項目A中獲勝的概率；
（2）若第二個比賽項目B進(jìn)行了7局，仍然沒有人領(lǐng)先3局，比賽結(jié)束，領(lǐng)先者也獲勝.現(xiàn)比賽已經(jīng)進(jìn)行了2局，甲班2局全輸.設(shè)甲班在第二個比賽項目B中參加總局?jǐn)?shù)為X、求隨機(jī)變量X的分布列及期望.
27.（2024春·廣東省惠州市高三聯(lián)考）某中學(xué)的風(fēng)箏興趣小組決定舉行一次盲盒風(fēng)箏比賽，比賽采取得分制度評選優(yōu)勝者，可選擇的風(fēng)箏為硬翅風(fēng)箏?軟翅風(fēng)箏?串式風(fēng)箏?板式風(fēng)箏?立體風(fēng)箏，共有5種風(fēng)箏，將風(fēng)箏裝入盲盒中摸取風(fēng)箏，每位參賽選手摸取硬翅風(fēng)箏或軟翅風(fēng)箏均得1分并放飛風(fēng)箏，摸取串式風(fēng)箏?板式風(fēng)箏?立體風(fēng)箏均得2分并放飛風(fēng)箏，每次摸取風(fēng)箏的結(jié)果相互獨立，且每次只能摸取1只風(fēng)箏，每位選手每次摸取硬翅風(fēng)箏或軟翅風(fēng)箏的概率為，摸取其余3種風(fēng)箏的概率為.
（1）若選手甲連續(xù)摸了2次盲盒，其總得分為分，求的分布列與期望；
（2）假設(shè)選手乙可持續(xù)摸取盲盒，即摸取盲盒的次數(shù)可以為中的任意一個數(shù)，記乙累計得分的概率為，當(dāng)時，求.
28.（2024春·廣東省佛山市高三模擬）某梯級共20級，某人上梯級（從0級梯級開始向上走）每步可跨一級或兩級，每步上一級的概率為，上兩級的概率為，設(shè)他上到第n級的概率為．
（1）求他上到第10級概率（結(jié)果用指數(shù)形式表示）；
（2）若他上到第5級時，求他所用的步數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
29.（2024春·廣東省東莞市高三模擬）某種疾病歷史資料顯示，這種疾病的自然痊愈率為.為試驗一種新藥，在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，某醫(yī)院把此藥給10個病人服用，試驗方案為：若這10個病人中至少有5人痊愈，則認(rèn)為這種藥有效，提高了治愈率；否則認(rèn)為這種藥無效.假設(shè)每個病人是否痊愈是相互獨立的.
（1）如果新藥有效，把治愈率提高到了，求經(jīng)試驗認(rèn)定該藥無效的概率；（精確到0.001，參考數(shù)據(jù)：）
（2）根據(jù)（1）中值的大小解釋試驗方案是否合理.
30.（2023春·廣東省深圳市龍崗區(qū)高三聯(lián)考）某人玩一項有獎游戲活動，其規(guī)則是：有一個質(zhì)地均勻的正四面體（每個面均為全等的正三角形的三棱錐），四個面上分別刻著1，2，3，4，拋擲該正四面體5次，記錄下每次與地面接觸的面上的數(shù)字.
（1）求接觸面上5個數(shù)的乘積能被4整除的概率；
（2）若每次拋擲到接觸地面的數(shù)字為3時獎勵200元，否則倒罰100元，
①設(shè)甲出門帶了1000元來參加該游戲，記游戲后甲身上的錢為X元，求；
②若在游戲過程中，甲決定當(dāng)自己贏了錢一旦不低于300元時立即結(jié)束游戲，求甲不超過三次就結(jié)束游戲的概率.
31.（2023春·廣東省揭陽市高三二模）已知有一道有四個選項的單項選擇題和一道有四個選項的多項選擇題，小明知道每道多項選擇題均有兩個或三個正確選項．但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．這樣，小明在做多項選擇題時，可能選擇一個選項，也可能選擇兩個或三個選項，但不會選擇四個選項．
（1）如果小明不知道單項選擇題的正確答案，就作隨機(jī)猜測．已知小明知道單項選擇題的正確答案和隨機(jī)概率都是，在他做完單項選擇題后，從卷面上看，在題答對的情況下，求他知道單項選擇題正確答案的概率；
（2）假設(shè)小明在做該道多項選擇題時，基于已有的解題經(jīng)驗，他選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為．已知該道多項選擇題只有兩個正確選項，小明完全不知道四個選項的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機(jī)選擇．記表示小明做完該道多項選擇題后所得的分?jǐn)?shù)．求：
（i）；
（ii）的分布列及數(shù)學(xué)期望．
32.（2023春·廣東省高三一模）某商場為了回饋廣大顧客，設(shè)計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放10個大小相同的小球，其中5個為紅色，5個為白色.抽獎方式為：每名顧客進(jìn)行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球.如果每次抽獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎.
（1）若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進(jìn)行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
（2）若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進(jìn)行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
（3）如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進(jìn)行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由.
33.（2023春·廣東省茂名市高三二模）馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.
（1）求的分布列；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）求的期望.
34.（2024春·廣東省廣州市高三模擬）杭州亞運(yùn)會的三個吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運(yùn)河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時代精神和精致和諧的人文精神．甲同學(xué)可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個，只有打開才會知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個30元．
（1）甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個盲盒并打開．當(dāng)甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；
（2）為了集齊三款吉祥物，甲計劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個，若未集齊再直接購買吉祥物，以所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購買多少個盲盒？
35.（2024春·廣東省韶關(guān)市高三模擬）有一個質(zhì)地均勻的正方體骰子與一個有61個格子的矩形方格圖，矩形方格圖上從0，1，2，…，60依次標(biāo)號.一個質(zhì)點位于第0個方格中，現(xiàn)有如下游戲規(guī)則：先投擲骰子，若出現(xiàn)1點或2點，則質(zhì)點前進(jìn)1格，否則質(zhì)點前進(jìn)2格，每次投擲的結(jié)果互不影響.
（1）求經(jīng)過兩次投擲后，質(zhì)點位于第4個格子的概率；
（2）若質(zhì)點移動到第59個格子或第60個格子時，游戲結(jié)束，設(shè)質(zhì)點移動到第個格子的概率為，求和的值.
選擇物理
選擇歷史
合計
男生
a
10
女生
30
d
合計
30
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
從處購買（臺）
從處購買（臺）
運(yùn)行良好（臺）
46
14
出現(xiàn)故障（臺）
14
6
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
重量范圍（單位：）
個數(shù)
性別
科目
男生
女生
合計
物理
300
歷史
150
合計
400
800
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10828