本卷：150分 考試時間：120分鐘
注意事項：
1.本試卷共6頁.本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.
2.答卷前，考生務必將自己的學校、姓名、考生號填涂在答題卡上指定的位置.
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.
1. 拋物線的焦點到其準線的距離是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
由拋物線焦點到準線的距離為求解即可.
【詳解】因為拋物線焦點到準線的距離為,故拋物線的焦點到其準線的距離是2.
故選：C
【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程中的幾何意義,屬于基礎題型.
2. 已知直線與直線互相平行，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. 2或C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行得到，求出的值，再代入檢驗即可.
【詳解】因為直線與直線互相平行，
所以，解得或，
當時，兩直線重合，不符合題意，故舍去；
當時，直線與直線互相平行，符合題意；
.
故選：D
3. 以點為圓心，兩平行線與之間的距離為半徑的圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行直線間距離公式可求得圓的半徑，由圓心和半徑可得圓的方程.
【詳解】直線方程可化為，
則兩條平行線之間距離，即圓的半徑，
所求圓的方程為：.
故選：B.
4. 已知曲線C：上一點，則曲線C在點P處的切線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線的傾斜角.
【詳解】因為，所以，則，
所以曲線C在點P處的切線的斜率為，則傾斜角為.
故選：B
5. 在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項之和為（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)下標和性質及等差數(shù)列求和公式計算可得.
【詳解】因為，所以，
所以數(shù)列的前6項之和為.
故選：C
6. 已知兩定點，，如果動點滿足，點是圓上的動點，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出動點軌跡方程（圓），再根據(jù)兩圓位置關系確定的最大值取法，計算即可得結果.
【詳解】設，因為，所以
因此最大值為兩圓心距離加上兩圓半徑，即為
故選：B
【點睛】本題考查動點軌跡方程、根據(jù)兩圓位置關系求最值，考查數(shù)形結合思想方法以及基本化簡能力，屬中檔題.
7. 斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如圖，一座斜拉橋共有10對拉索，在索塔兩側對稱排列，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距，均為，最短拉索滿足，，若建立如圖所示的平面直角坐標系，則最長拉索所在直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結合直線的斜率公式，計算即可得答案.
【詳解】解：，
故，，
則，
故選：D.
8. 古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設橢圓的左、右焦點分別為，，若從橢圓右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點A和點B反射后，滿足，且，則該橢圓的離心率為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意，作圖，利用三角函數(shù)的性質，可設線段的表示，根據(jù)齊次方程的思想，可得答案.
【詳解】由題意，可作圖如下：
則，，即，
可設，，，
由，則，即，
，在中，，
則.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列求導運算正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BD
【解析】
【分析】由導數(shù)的求導運算求解．
【詳解】對于A.，A錯誤；
對于B.，B正確；
對于C.，C錯誤；
對于D. ，D正確.
故選：BD.
10. 已知橢圓 為橢圓上任意一點， 分別為橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的是（ ）
A. 過點 的直線與橢圓交于 兩點，則 的周長為 8
B. 存在點 使得 的長度為 4
C. 橢圓上存在 4 個不同的點 ，使得
D. 內(nèi)切圓半徑的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對A，先根據(jù)橢圓的基本量關系求解方程，再根據(jù)橢圓的定義求解即可；對B，根據(jù)橢圓的性質判斷即可；對C，根據(jù)可得的軌跡，再分析與橢圓的交點個數(shù)即可；對D，根據(jù)的面積表達式分析即可.
【詳解】對A，橢圓，則過點的直線與橢圓交于，兩點，
則的周長為，故A正確；
對B，根據(jù)橢圓性質可得，即，故，
即不存在點，使得的長度為4，故B錯誤；
對C，根據(jù)可得的軌跡為以為直徑的圓，即，不包括兩點，
易得該圓與橢圓有四個交點，即橢圓上存在4個不同點，使得，故C正確；
對D，的周長為，設的內(nèi)切圓半徑為，
則，故當最大時最大，此時為上下頂點，
，則，解得，故D正確.
故選：ACD
11. 已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是公比為的正項等比數(shù)列.記，，，，則（ ）
參考公式：.
A. 當時，B. 當時，
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質及求和公式一一計算即可.
【詳解】A項，由為公比為的正項等比數(shù)列，
則當時，，
，顯然時，，故A錯誤；
B項，由數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，
則，
所以，
解得，
即，故B正確；
C項，由為公比為的正項等比數(shù)列，可得，
所以，
故，
所以，
，
故，當且僅當時取得等號；綜上可得，故C錯誤；
D項，由題意得，，
則，
故
，
故裂項可得：，
所以
，故D正確；
故選：BD
【點睛】關鍵點點睛：C項的關鍵在于化簡得，利用倒序相加法轉化為求解的最值，利用基本不等式求最值即可得；D項的關鍵在于利用條件化簡得，再用裂項相消求和判定不等式.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.
12. 已知數(shù)列滿足，若，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)遞推公式代入求，再代入求.
【詳解】因為，所以，，所以，．
故答案為：
13. 若圓上恰有兩個點到直線：的距離為1，則正實數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】首先得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離大于且小于，利用點到直線的距離公式得到不等式，解得即可.
【詳解】圓，圓心為，半徑為，
圓上恰有兩個點到直線距離為，
則使得圓心到直線的距離大于且小于，即，
解得或，
又，所以，
即正實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
14. 已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓及其蒙日圓的離心率為，點分別為蒙日圓與坐標軸的交點，分別與相切于點，則四邊形與四邊形EFGH的面積的比值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)蒙日圓的定義得到點的坐標，即可得到直線的方程，然后聯(lián)立直線和橢圓的方程得到點，最后計算面積求比值即可.
【詳解】由題意得蒙日圓為，則，，
直線的方程為：，
聯(lián)立得，
，
解得，，
所以.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知直線和圓．
（1）判斷直線與圓的位置關系；若相交，求直線被圓截得的弦長；
（2）求過點且與圓相切的直線方程．
【答案】（1）相交，截得的弦長為2.
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用點到直線的距離公式以及直線與圓的位置關系求解；
（2）利用直線與圓相切與點到直線的距離公式的關系求解.
【小問1詳解】
由圓可得，圓心,半徑，
圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相交，
直線被圓截得的弦長為.
【小問2詳解】
若過點的直線斜率不出在，則方程為，
此時圓心到直線的距離為，滿足題意；
若過點且與圓相切的直線斜率存在，
則設切線方程為，即，
則圓心到直線的距離為，解得，
所以切線方程，即，
綜上，過點且與圓相切的直線方程為或.
16. 已知函數(shù).
（1）求在區(qū)間上的平均變化率；
（2）求曲線在點處的切線方程；
（3）求曲線過點的切線方程.
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由平均變化率的公式即可求解；
（2）依次求出的值，利用導數(shù)的幾何意義即可求切線方程；
（3）首先設出切點坐標，利用可求出切點坐標，可得切線方程．
【小問1詳解】
因為，
所以在區(qū)間上的平均變化率為
．
【小問2詳解】
由，有，從而，，
則切點坐標為，切線斜率為，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
【小問3詳解】
易知直線x=2與曲線不相切，
故設切點為，
則由，可得，即，解得或，
當時，切點為，，
此時滿足題意的切線方程為，顯然它過點，
當時，切點為，，
此時滿足題意的切線方程為，即，顯然它過點，
綜上所述，滿足題意的切線方程為或．
17. 已知橢圓長軸長為4，且橢圓的離心率，其左右焦點分別為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設斜率為且過的直線與橢圓交于兩點，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由橢圓的基本性質得到橢圓的值，寫出橢圓方程.
（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組，由韋達定理得到和，用交點弦長公式得到線段長，由點到直線距離得到三角形高，從而算出三角形面積.
【小問1詳解】
由題意可知：，則，
∵，∴，
∴，
∴橢圓
【小問2詳解】
，∴直線：，
聯(lián)立方程組得,
設，
則，
點到直線的距離
∴

18. 已知等比數(shù)列的前項和為，且，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列及數(shù)列的前項和.
（3）設，求的前項和.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】(1)由及可得q的值，由可得的值，可得數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）可得，由可得，可得=，由列項相消法可得值；
（3）可得，可得的值.
【詳解】解：（1）由題意得：，可得，，
由，可得，由，可得，可得，
可得;
(2)由，可得，
由，可得，可得，
可得的通項公式：=，
可得：
① -②得：=，
可得;
(3)由 可得
，
可得：=
==
【點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質及數(shù)列的求和，綜合性大，難度中等.
19. 已知是雙曲線：的左焦點，且的離心率為2，焦距為4.過點分別作斜率存在且互相垂直的直線，.若交于，兩點，交于，兩點，，分別為與的中點，分別記與的面積為與.
（1）求的方程；
（2）當斜率為1時，求直線方程；
（3）求證：為定值.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）列出關于的方程，代入計算，即可得到結果；
（2）分別聯(lián)立直線，直線與雙曲線方程，結合韋達定理代入計算，即可得到結果；
（3）分別聯(lián)立直線，直線與雙曲線方程，表示出點坐標，即可得到直線的斜率以及直線的方程，再由點到直線的距離公式分別得到到的距離以及到的距離，即可得到結果.
【小問1詳解】
由，得，又因為，所以，
所以，所以：.
【小問2詳解】
由題知：，設Ax1,y1,Bx2,y2，則，
聯(lián)立，消去可得，
則，所以，
則，
又直線，互相垂直，則，設，
則，
聯(lián)立，消去可得，
則，所以，
則，所以：.
【小問3詳解】
由題意可知， 的斜率不為0，設 ： ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 .
由可得，.
所以，，，所以.
所以，所以.
同理可得：，.
令，得.
當，，時，
直線的斜率.
所以：，
化簡得：，即為：.
所以到的距離，
所以到的距離，
所以.
由（2）知，當時，，所以.

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