一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知直線與垂直，則（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】因為直線與垂直，
所以，解得.
故選：C.
2. 雙曲線的焦點到漸近線的距離為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】中，，故，故焦點坐標為，
漸近線方程為，
故焦點到漸近線的距離為，
由對稱性可知，雙曲線的焦點到漸近線的距離為2.
故選：B
3. 已知數(shù)列1，，，，3，…，按此規(guī)律，是該數(shù)列（ ）
A. 第11項B. 第12項
C. 第13項D. 第14項
【答案】D
【解析】根據(jù)數(shù)列1，，，，3，…，
，
又，
,解得 ，
故選:D.
4. 以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因為點為圓心到直線的距離為，
所以圓的半徑為，圓的方程為.
故選：D.
5. 已知點，拋物線上有一點，則的最小值是（ ）
A. 10B. 8C. 5D. 4
【答案】B
【解析】已知拋物線上有一點Px0,y0，則，即．
又，故在拋物線的外部，
則，
因為拋物線的焦點為F1,0，準線方程為，則，故．

由于，當三點共線（在之間）時，取到最小值，
則的最小值為．
故選：B
6. “天問一號”是執(zhí)行中國首次火星探測任務(wù)的探測器，該名稱源于屈原長詩《天問》，寓意探求科學(xué)真理征途漫漫，追求科技創(chuàng)新永無止境．圖（1）是“天問一號”探測器環(huán)繞火星的橢圓軌道示意圖，火星的球心是橢圓的一個焦點．過橢圓上的點P向火星被橢圓軌道平面截得的大圓作兩條切線，則就是“天問一號”在點P時對火星的觀測角．圖（2）所示的Q，R，S，T四個點處，對火星的觀測角最大的是（ ）
A. QB. RC. SD. T
【答案】A
【解析】設(shè)火星半徑為R，橢圓左焦點為，連接，則，
因為，所以越小，越大，越大，
所以當點P位于條件中點Q處，對火星的觀測角最大.
故選：A.
7. 將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)、的積，即，當、兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當、是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前2024項的和為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】當，時，，所以；
當，時，，所以；
所以數(shù)列的前2024項和為：
，
故選：B.
8. 已知是圓的一條弦，，是的中點.當弦在圓上運動時，直線上總存在兩點，，使得為鈍角，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】圓的圓心，半徑，
因為為弦的中點，所以，
又因為，所以三角形為正三角形，所以，
即點在以為圓心，以為半徑的圓上，點所在圓的方程為，
要使得為鈍角恒成立，則點所在的圓在以為直徑的圓的內(nèi)部，而在直線上，
到直線的距離，
所以以為直徑的圓的半徑的最小值為，
所以的最小值為．
此時為直角，
所以的取值范圍是,．
故選：D．
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.全對得6分，部分對得部分分.
9. 已知曲線，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則曲線C為橢圓
B. 若，則曲線C為雙曲線
C. 若曲線C為橢圓，則其長軸長一定大于2
D. 若曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，則其離心率小于大于1
【答案】BCD
【解析】對于A選項，若為橢圓，則，A不正確；
對于B選項，若為雙曲線，等價于，即或，B正確；
對于C選項，當時，橢圓長軸長，
當時，橢圓長軸長，C正確；
對于D選項，若為焦點在軸上的雙曲線，則，解得，
雙曲線的離心率為，
且雙曲線的離心率，故D正確.
故選：BCD.
10. 已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列
C. 中存在連續(xù)三項成等比數(shù)列
D. 數(shù)列的前項和
【答案】ABD
【解析】數(shù)列中，由，得，
則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，即，
對于A，，A正確；
對于B，，，即成等差數(shù)列，B正確；
對于C，假定連續(xù)三項成等比數(shù)列，則，
整理得，此方程無解，即中不存在連續(xù)三項成等比數(shù)列，C錯誤；
對于D，，則，
兩式相減得，
因此，D正確.
故選：ABD
11. 已知橢圓的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，是橢圓上異于，的一點，且（為坐標原點），記，的斜率分別為，，設(shè)為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，則（ ）
A. B. 的離心率為
C. D.
【答案】ACD
【解析】由，所以為等邊三角形，且在以為直徑的圓上，
所以，即，A對；
若，則，B錯；
，C對；
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，，
，
，即，D對.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 下列條件中，哪兩個條件組合一定能得到拋物線的標準方程為的是______（填序號）（寫出一個正確答案即可）.
①焦點在軸上；②焦點在軸上；③拋物線上橫坐標為的點到焦點的距離為；④焦點到準線的距離為；⑤由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為.
【答案】①③（答案不唯一）
【解析】若要得到拋物線的方程為，則焦點一定在軸上，故①必選，②不選.
若選①③，由拋物線的定義可知，得，則拋物線的方程為.
若選①⑤，設(shè)焦點，，，，
由，得解得，故拋物線的方程為.
由④可知，故還可選擇①④.
故答案為：①③（答案不唯一）
13. 已知數(shù)列滿足，，且.若是數(shù)列的前項積，求的最大值為______.
【答案】
【解析】因為，且，所以，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列，
所以，
因為，
又因為，所以當或時，取最大值，
所以
故答案為:
14. 如圖所示，已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點F，過點F作直線l交雙曲線C于兩點，過點F作直線l的垂線交雙曲線C于點G，，且三點共線（其中O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為_________．

【答案】
【解析】設(shè)另一個焦點，連接，設(shè)則
再根據(jù)雙曲線的定義可知：
由雙曲線的對稱性可知，是的中點，也是的中點，
所以四邊形是平行四邊形，又因為，所以可得，
所以由勾股定理得：，
化簡得：，
再由勾股定理得：，
代入得：，
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知雙曲線的離心率，實軸長.
（1）求的方程；
（2）過右焦點且傾斜角為的直線交于，兩點，求；
解：（1）由題設(shè)，
又，
所以，則.
（2）由右焦點為，則，
聯(lián)立雙曲線方程，得，整理得，
顯然，則，，
所以
.
16. 在等比數(shù)列中，，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；
解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，
化簡可得，整理可得，
由，則，
由方程解得，
由，則.
由數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
則.
（2）由，
則，，
由數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
則.
17. 如圖，圓內(nèi)有一點，為過點且傾斜角為的弦.
（1）當時，求的長；
（2）是否存在弦被點平分？若存在，寫出直線的方程；若不存在，請說明理由.
（3）是過點的另一條弦，當與始終保持垂直時，求的最大值.
解：（1）當時，直線為，故，
由圓的圓心為原點且半徑為，則圓心到距離為，
所以.
（2）假設(shè)存在，當弦被點平分時，點是的中點，
連接，則，故，又，即，
所以直線為，
則.
（3）記點到的距離分別為，有，
又，
，
當且僅當時等號成立，
綜上，的最大值為.
18. 已知橢圓的一個焦點，兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.
（1）求橢圓的標準方程;
（2）過焦點作軸的垂線交橢圓上半部分于點,過點作橢圓的弦在橢圓上且直線的傾斜角互補，問直線MN的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.
（3）在第（2）問的條件下，當面積最大時，求直線MN的方程.
解：（1）由題意可知橢圓的半焦距，
由兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形得，
，
故橢圓的標準方程為.
（2）由已知得，
由圖知，直線的傾斜角互補，即直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，
可設(shè)直線的方程為，
代入，消去得.
設(shè)，
所以，可得，
因直線PM的斜率與PN的斜率互為相反數(shù)，
所以在上式中以代替，可得，
所以直線的斜率，
即直線的斜率為定值.
（3）由（1）已得， ,可設(shè)直線的方程為：，
代入，整理得：，
則，即，
設(shè)，則，
于是，，
點到直線的距離為，
則的面積為：
，
因，則，
故當時，取得最大值，
此時直線的方程為,
即和.
19. 若數(shù)列滿足（為正整數(shù)，為常數(shù)），則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，為公方差.
（1）已知數(shù)列，的通項公式分別為：，，判斷上述兩個數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說明理由；
（2）若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明：數(shù)列為常數(shù)列.
（3）若數(shù)列是首項為1，公方差為2的等方差數(shù)列，在（1）的條件下，在與之間依次插入數(shù)列中的項構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前30項的和.
解：（1）因為常數(shù))，
所以數(shù)列為等方差數(shù)列，1為公方差；
因，
所以數(shù)列不是等方差數(shù)列；
（2）因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
則，
又是等方差數(shù)列，所以，
故，
所以，
即，
所以，故是常數(shù)列；
（3）由題意知數(shù)列是首項為1，公方差為2的等方差數(shù)列，
故，而，所以，
是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
而新數(shù)列中項(含前共有項，
令，結(jié)合，解得，
故數(shù)列中前30項含有的前7項和數(shù)列的前23項，
所以數(shù)列中前30項的和.

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