一、單選題（8小題，共32分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的）．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得，
故.
故選：C.
2. 已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則的值為（ ）
A. -2B. -1C. 0D. 1
【答案】D
【解析】因為為定義在上的奇函數(shù)，
所以，解得，則，
因為，
所以為奇函數(shù)，
所以符合題意.
故選：D.
3. 已知向量，，若，則（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】由題得，，
由得，，解得．
故選：B.
4. 已知向量，，且，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，且，
∵，
∴，，
∴在方向上的投影向量為.
故選：D．
5. 若，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為，則，①
又因為，則，
故①式整理可得，，解得或（舍去），
故，所以．
故選：．
6. 把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】向右平移個單位長度得到，
然后所有點的橫坐標縮短到原來的倍得到，
所以.
故選：D.
7. 已知△ABC是邊長為1的正三角形，是BN上一點且，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由，得，且，
而三點共線，則，即，
所以，
所以.
故選：A.
8. “奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，的面積分別為，且．以下命題錯誤的是（ ）
A. 若，則為的重心
B. 若為的內(nèi)心，則
C. 若，為的外心，則
D. 若為的垂心，，則
【答案】C
【解析】對于A：取的中點D，連接，
由，則，
所以，
所以A，M，D三點共線，且，
設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，同理可得，，
所以為的重心，故A正確；
對于B：由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
則有，
所以，
即，故B正確；
對于C：由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，
又，
則有，
所以，
，
，
所以，故C錯誤；
對于D：如圖，延長交于點D，延長交于點F，延長交于點E，
由為的垂心，，則，
又，則，，
設(shè)，則，
所以，即，
所以，所以，故D正確．
故選：C．
二、多選題（多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分． 全部選對的得6分，部分選對的得2，3，4分，有選錯的得0分，每題有兩個或兩個以上是符合題目要求）．
9. 設(shè)向量，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 若與的夾角為鈍角，則
B. 的最小值為9
C. 與共線的單位向量只有一個，為
D. 若，則
【答案】BC
【解析】A選項，與的夾角為鈍角，故且不反向共線，
則且，解得且，
綜上，，A正確；
B選項，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為3，B錯誤；
C選項，，與共線的單位向量有2個，
為，C錯誤；
D選項，若，則，解得，D正確.
故選：BC.
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 命題“，都有”的否定為“，使得”
B. 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是
C. “”是“函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增”的充分不必要條件
D. 不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】AC
【解析】對于A選項，命題“，都有”的否定為“，使得”，故A正確；
對于B選項，函數(shù)是由函數(shù)和復合而成，
由于函數(shù)單調(diào)遞增，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是，故B錯誤；
對于C選項，因為，
所以，函數(shù)的增區(qū)間為，
若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則，可得，
因為?，
所以，“”是“函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增”的充分不必要條件，故C正確；
對于D選項，不等式對任意恒成立，
當時恒成立，合乎題意，
當時，則有，解得，
因此，不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是，故D錯誤，
故選：AC.
11. 窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為是正八邊形邊上任意一點，則（ ）
A. 與能構(gòu)成一組基底
B.
C. 在向量上的投影向量為
D. 若在線段（包括端點）上，且，則取值范圍
【答案】BCD
【解析】連接AF，因為°，，
因為，現(xiàn)，
故.
以AB所在直線為x軸，AF所在直線為y軸，建立平面直角坐標系.
則，
，且，
故，
故，
所以與平行，不能構(gòu)成一組基底，錯誤；
，
，故，B正確；
又，所以，
即在向量上的投影向量為，C正確；
若在線段（包括端點）上，設(shè)，
所以，
，，
由，可得，則，
所以，D正確.
故選：BCD.
三、填空題（共3小題，每小題4分，共12分）．
12. 已知函數(shù)的圖象恒過定點．若點在冪函數(shù)的圖象上，則______．
【答案】
【解析】令，解得，此時，
所以指數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點；
因為點在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，
所以，所以．
13. 已知，，點在線段的延長線上，且，則點的坐標是_______．
【答案】
【解析】設(shè)點為坐標原點，
點在線段的延長線上，且，，
即，．
點的坐標為．
14. 已知函數(shù)，則不等式的解集是___________．
【答案】
【解析】由，得，顯然上式都成立，
所以函數(shù)定義域為．
由，
得
，
所以，所以是奇函數(shù)，
當時，，和在上是增函數(shù)，
所以在上是增函數(shù)，
又因為是奇函數(shù)，所以可得是上的增函數(shù)．
所以可轉(zhuǎn)化為，即，
所以，解得．故原不等式的解集是．
四、解答題（共4小題，共38分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．
15. 已知，，且．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
解：（1）由，得，當且僅當時，等號成立．
故的最大值是3．
（2）由，得，即．
，
當且僅當，即，時，等號成立．
故的最小值為．
16. 已知為坐標原點，，，.
（1）若三點共線，求實數(shù)的值；
（2）若點滿足，求的最小值.
解：（1）因為，，，
所以，，
又三點共線，所以，
所以，解得.
（2）因為，，
所以，，
所以，
所以，
所以當時.
17. 已知向量，，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當時，求函數(shù)值域．
解：（1）因為，，
所以
，
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）當時，，
所以，則，
所以函數(shù)在上的值域為.
18. 已知函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）求的最小值；
（3）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）函數(shù)的定義域為，
因為偶函數(shù)，所以，
即，解得，
此時函數(shù)的定義域為，
且，
所以為偶函數(shù)，符合題意，
所以.
（2）由（1）可得，
因為，，所以，
當且僅當，即時等號成立；
所以，
即的最小值為，當時取得最小值.
（3）由（1）可得，
則，
由不等式對任意恒成立，
即不等式對任意恒成立，
令，則，，
所以不等式對任意恒成立，
所以對任意恒成立，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時取得最小值，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.

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