客觀題部分
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1. 如圖，中，、是邊上的點(diǎn)，，在邊上，，交、于、，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】連接，根據(jù)已知可得，根據(jù)相似比從而不難得到答案．
【詳解】連接，
，
平行于.
.
.
，，
，
，
.
故選：D
2. 已知是的內(nèi)接正三角形，的面積等于，是半圓的內(nèi)接正方形，面積等于，的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)分別用圓的半徑表示出兩圖形面積，即可得出答案.
【詳解】如圖所示，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)的半徑為，
是的內(nèi)接正三角形，
，
，，
的高的長度為，
且，
，
設(shè)正方形的邊長為，
則，
，
解得：，
，
.
故選：D.
3. 拋物線與直線x=1，x=2，，圍成的正方形有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，畫出四條直線圍成的正方形，進(jìn)一步判定其開口方向，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可解答．
【詳解】由下圖可知：，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)，越大開口越小，
把點(diǎn)代入得，把點(diǎn)代入得，
則的范圍介于兩者之間，故 ．
故選：D.
4. 在等邊所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，使得都是等腰三角形，則具有該性質(zhì)的點(diǎn)有（ ）
A. 1個(gè)B. 7個(gè)C. 10個(gè)D. 無數(shù)個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】過點(diǎn)作的中垂線，可知在三角形內(nèi)有一點(diǎn)滿足、、都是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以做兩個(gè)圓，圓和圓，從而可以得出一條中垂線上有四個(gè)點(diǎn)滿足、、都是等腰三角形，而三角形內(nèi)部的一點(diǎn)是重合的，所以可以得出共有10個(gè)點(diǎn).
【詳解】作三邊的中垂線，交點(diǎn)肯定是其中之一，以為圓心，為半徑畫圓，交的中垂線于、兩點(diǎn)，作、、，如圖，

則、、都是等腰三角形，同理具有題目所說的性質(zhì)的點(diǎn)，
以為圓心，為半徑畫圓，交的中垂線于點(diǎn)，該點(diǎn)也必具有題目所說的性質(zhì).
依此類推，在的其余兩條中垂線上也存在這樣性質(zhì)的點(diǎn)，所以這些點(diǎn)一共有：個(gè).
故選：C
5. 設(shè)，則的整數(shù)部分等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，由此可以得到，然后即可求出的整數(shù)部分.
【詳解】當(dāng)，
因，
所以，
即，
故的整數(shù)部分等于
故選：A.
6. 已知關(guān)于的方程的兩根分別是，且滿足，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系及，根據(jù)已知等量關(guān)系即可求值.
詳解】由題設(shè)，
又，
所以，可得.
故選：A
7. 我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形和中間的1小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)的成就．如圖，已知大正方形ABCD的面積是100，小正方形EFGH的面積是4，那么（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意求出圖中直角三角形的直角邊長，即可求得答案.
【詳解】由題意知圖中四個(gè)直角三角形全等，設(shè)其較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，
因?yàn)榇笳叫蜛BCD面積是100，小正方形EFGH的面積是4，
所以大正方形邊長為10，小正方形邊長為2，
故，解得（負(fù)值舍去），
故，
故選：A
8. 如圖，四邊形的對(duì)角線相交于，，，則這個(gè)四邊形的面積是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】過作于，于，在和中，利用條件得到，，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖分別過作于，于，則，又，
在中，，
在中，，
又四邊形的面積
又，所以，

故選：C.
二、填空題（每題3分，共15分）
9. 若對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式都成立，那么、的取值范圍為__________.
【答案】，
【解析】
【分析】分情況討論不等式恒成立的條件.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，若，則；
若，則，不能恒成立；
若，則，不能恒成立；
即當(dāng)時(shí)，若，可使不等式恒成立，
綜上所述，若使不等式恒成立，則，.
10. 設(shè)，則的最大值與最小值之差為__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)自變量的范圍先去絕對(duì)值再求出最大值及最小值即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最大值為4，
當(dāng)時(shí)，取最小值3，
所以的最大值與最小值之差為.
故答案為：1.
11. 對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)，定義一種運(yùn)算※如下：，如，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】利用定義及根式的運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知：.
故答案為：
12. 一次函數(shù)與的圖象如圖，則的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用圖形直接計(jì)算即可.
【詳解】由兩個(gè)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)有，所以的解是.
故答案為：.
13. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交雙曲線于點(diǎn)，連接并延長與軸交于點(diǎn)，則的值為______．
【答案】##
【解析】
【分析】由條件先求的解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用相似的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件列方程求即可.
【詳解】由已知直線的解析式為，
因?yàn)?，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以的解析式為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因，
所以，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)都在雙曲線上，
所以，，
所以，，
所以，
故答案為：.
主觀題部分
三、解答題（共61分）
14. 第二十四屆冬奧會(huì)于2022年2月20日在北京圓滿閉幕．某校七、八年級(jí)各有500名學(xué)生，為了解這兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生對(duì)本次冬奧會(huì)的關(guān)注程度，現(xiàn)從這兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取n名學(xué)生進(jìn)行冬奧會(huì)知識(shí)測(cè)試，將測(cè)試成績按以下六組進(jìn)行整理（得分用x表示）：
A：，B：，
C：，D：，
E：，F(xiàn)：，
并繪制了七年級(jí)測(cè)試成績的頻數(shù)分布直方圖和八年級(jí)測(cè)試成績的扇形統(tǒng)計(jì)圖，部分信息如下：

已知八年級(jí)測(cè)試成績中D組的全部數(shù)據(jù)如下：86，85，87，86，85，89，88．請(qǐng)根據(jù)以上信息，完成下列問題：
（1）求n，a的值；
（2）求八年級(jí)測(cè)試成績的中位數(shù)；
（3）若測(cè)試成績不低于90分，則認(rèn)定該學(xué)生對(duì)冬奧會(huì)的關(guān)注程度高，請(qǐng)估計(jì)該校七、八兩個(gè)年級(jí)對(duì)冬奧會(huì)關(guān)注程度高的學(xué)生一共有多少人，并說明理由．
【答案】（1），
（2）86.5分 （3）人，理由見解析
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)扇形圖得D組占比，結(jié)合條件得，再由頻數(shù)分布直方圖可得；
（2）先求出中位數(shù)所在范圍，再根據(jù)D組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)即可；
（3）根據(jù)兩圖計(jì)算出兩個(gè)年級(jí)E、F組的人數(shù)占比估計(jì)總體即可.
【小問1詳解】
由已知得八年級(jí)測(cè)試成績D組：的頻數(shù)為7，
又由扇形統(tǒng)計(jì)圖知D組占35%，
所以進(jìn)行冬奧會(huì)知識(shí)測(cè)試學(xué)生數(shù)，
所以．
【小問2詳解】
A，B，C三組的頻率之和為，
A，B，C，D四組的頻率之和為，
所以中位數(shù)在D組，將D組數(shù)據(jù)按從小到大排序?yàn)?5，85，86，86，87，88，89．
因?yàn)椋?0個(gè)與第11個(gè)兩個(gè)數(shù)據(jù)分別為86，87，
所以中位數(shù)為（分）．
故答案為86.5分．
【小問3詳解】
八年級(jí)E：，F(xiàn)：兩組占，共有（人），
七年級(jí)E：，F(xiàn)：兩組人數(shù)共有（人），
兩年級(jí)共有（人），占樣本的，
所以該校七、八兩個(gè)年級(jí)對(duì)冬奧會(huì)關(guān)注程度高的學(xué)生一共有（人）．
15. 為了深入貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記關(guān)于疫情防控的重要指示要求，某校組織開展“戰(zhàn)役有我，青春同行”防控疫情知識(shí)競賽活動(dòng)，經(jīng)過層層篩選后剩下甲、乙兩名同學(xué)爭奪一個(gè)參賽名額，該班設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲方案決定誰去參加，規(guī)則如下：一個(gè)袋中裝有6個(gè)大小相同的小球，其中標(biāo)號(hào)為的球有個(gè)，甲、乙兩名同學(xué)需從6個(gè)球中隨機(jī)摸取3個(gè)球，所取球的標(biāo)號(hào)之和多者獲勝.
（Ⅰ）求甲所取球的標(biāo)號(hào)之和為7的概率；
（Ⅱ）求甲獲勝概率.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）列出每位同學(xué)取球標(biāo)號(hào)之和的所有情況，得出所取球的標(biāo)號(hào)之和為7的情況，由古典概率公式得出答案.
（Ⅱ）先分別求出每人得分5,6,7,8,9分的概率，甲要獲勝分為：甲得6分乙得5分，甲得7分乙得5或6分；甲得8分乙得5或6或7分；甲得9分乙得5或6或7或8分，由互斥事件的加法公式和獨(dú)立事件的乘法公式可得答案.
【詳解】解：（Ⅰ）假設(shè)標(biāo)號(hào)為1的球?yàn)?，?biāo)號(hào)為2的球?yàn)?，，?biāo)號(hào)為3的球?yàn)椋?，，則每位同學(xué)取球標(biāo)號(hào)之和的所有情況為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 共20種，
甲所取球的標(biāo)號(hào)之和為7的情況為：，，，，，共6種，
所以甲所取球的標(biāo)號(hào)之和為7的概率.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，每人標(biāo)號(hào)之和為5的情況只有，故其概率，
標(biāo)號(hào)之和為6的情況有，，，，，，故其概率，
標(biāo)號(hào)之和為7的情況為：，，，，，，故其概率，
標(biāo)號(hào)之和為8的情況有，，，，，，故其概率，
標(biāo)號(hào)之和為9的情況有，故其概率為，
甲要獲勝分為：甲得6分乙得5分，
甲得7分乙得5或6分；
甲得8分乙得5或6或7分
甲得9分乙得5或6或7或8分
所以甲獲勝的概率為：.
16. 如圖，AB，CD為圓的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線與AB的延長線交于點(diǎn)P，，點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)，弦CE，BD相交于點(diǎn)F．

（1）求的度數(shù)；
（2）若，求圓O直徑的長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由，可得，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，連接DE，由條件可得，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
∵PC與相切于點(diǎn)C，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴．
【小問2詳解】

連接DE，∵CD是直徑，∴，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，
∴，
∵，，，∴，
∵，，∴，
∴的直徑的長為．
17. 我們把能被13整除的數(shù)稱為“超越數(shù)”，已知一個(gè)正整數(shù)，把其個(gè)位數(shù)字去掉，再將余下的數(shù)加上個(gè)位的4倍，如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)一定是“超越數(shù)”.如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)上述過程，直到清晰判斷為止.如：1131：，所以1131是“超越數(shù)”；又如：3292；，因?yàn)?1不能被13整除，所以3292不是“超越數(shù)”.
（1）請(qǐng)判斷42356是否為“超越數(shù)”
（2）若（為整數(shù)），化簡除以13的商（，用含字母的代數(shù)式表示）.
【答案】（1）42356不是“超越數(shù)”.
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“超越數(shù)”的定義即可求解，
（2）根據(jù)所給定義即可化簡求解.
【小問1詳解】
由于，
因?yàn)?0不能被13整除，所以42356不是“超越數(shù)”.
【小問2詳解】
由于，又，
所以
故
18. 一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件，當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天有最大銷售利潤為多少元？
【答案】每件商品降價(jià)元時(shí)，該商店每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為元.
【解析】
【分析】先設(shè)每件商品降價(jià)元，每天獲利元，得到，化簡解析式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最大值.
【詳解】設(shè)每件商品降價(jià)元，每天獲利元，
則每件盈利元，每天銷量為件，且.
∴．
，
∴當(dāng)時(shí)，元．
答：每件商品降價(jià)元時(shí)，該商店每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為元.
19. 在金融危機(jī)中，某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有根.現(xiàn)將它們堆放在一起.

（1）若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多根)，并使剩余的圓鋼盡可能地少，則剩余了多少根圓鋼?
（2）若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多根)，且不少于七層，
（Ⅰ）共有幾種不同的方案?
（Ⅱ）已知每根圓鋼的直徑為，為考慮安全隱患，堆放高度不得高于，則選擇哪個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場(chǎng)地？
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，能使剩余的圓鋼盡可能地少，此時(shí)剩余56根圓鋼；（2）（Ⅰ）共有4中方案；（Ⅱ）選擇堆放41層這個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場(chǎng)地.
【解析】
【分析】（1）n層一共放了根圓鋼，需滿足條件，求解不等式使剩余圓鋼盡可能少；（2）分析出從上到下每層圓鋼根數(shù)是以x為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式列出圓鋼總數(shù)，根據(jù)與n的奇偶性不同來確定方案；（3）層數(shù)越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，所以討論當(dāng)與兩種情況是否符合題意即可.
【詳解】（1）由題意可知：第一層放1根，第二層放2根，第3層放3根，，第n層放n根，
所以n層一共放了根圓鋼，由題意可知，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，能使剩余的圓鋼盡可能地少，此時(shí)剩余56根圓鋼；
（2）（Ⅰ）當(dāng)縱截面為等腰梯形時(shí)，設(shè)共堆放n層，則從上到下每層圓鋼根數(shù)是以x為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，從而，即，
因與n的奇偶性不同，所以與n的奇偶性也不同，且，
從而由上述等式得：
或或或，
共有4中方案可供選擇；
（Ⅱ）因?yàn)閷訑?shù)越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，所以由（2）可知：
若，則，說明最上層有29根圓鋼，最下層有69根圓鋼，此時(shí)，兩腰之長為400cm，上下底之長為280cm和680cm，從而梯形的高為，
且，所以符合條件；
若，則，說明最上層有17根圓鋼，最下層有65根圓鋼，此時(shí)兩腰之長為480cm，上下底之長為160cm和640cm，從而梯形的高為，顯然大于4m，不合條件，舍去.
綜上所述，選擇堆放41層這個(gè)方案，最能節(jié)省堆放場(chǎng)地.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題.
20. 如圖，已知和相交于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交點(diǎn)，過點(diǎn)作兩圓的割線分別交、于、，與相交于點(diǎn)，
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）當(dāng)與為等圓時(shí)，且時(shí)，求與的面積的比值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用切線角與同弧所對(duì)角的性質(zhì)得到，從而得到，由此得證；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用切割線定理即可得證；
（3）利用三角形相似與勾股定理證得，從而得到的比值，再利用面積比與相似比的關(guān)系即可得解.
【小問1詳解】
連接，
切于，，
又，，
，，
.
【小問2詳解】
由（1）得，則，
再根據(jù)切割線定理，得，.
【小問3詳解】
連接，由（1）知，易得，
而，，
不妨設(shè)，，則，，
，，
為的直徑，為的直徑，
因?yàn)榕c為等圓，，
，，，
，.
21. 如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)和B，交y軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)E在第一象限內(nèi)對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)F是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)H是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)G，使以E，F(xiàn)，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或
【解析】
【分析】（1）把點(diǎn)和點(diǎn)代入拋物線的表達(dá)式求得，得解；
（2）將四邊形分割，，并利用，建立方程求得點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由圖形分析，對(duì)，，，四個(gè)點(diǎn)按順時(shí)針和逆時(shí)針排成菱形，分別求出直線的表達(dá)式與拋物線聯(lián)立的點(diǎn)坐標(biāo).
【小問1詳解】
拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，
，，
拋物線表達(dá)式為：.
【小問2詳解】

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖，
設(shè)，對(duì)稱軸為，，
，，
，
四邊形的面積為，
，解得，
.
【小問3詳解】
存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且，
滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或，理由如下：
如圖，當(dāng)，，，按逆時(shí)針順序構(gòu)成的四邊形是菱形時(shí)，連接，，

四邊形是菱形，且，
是等邊三角形，又是等邊三角形，
易證，
，
直線的表達(dá)式為，
與拋物線表達(dá)式聯(lián)立，解得；
如圖，當(dāng)，，，按順時(shí)針順序構(gòu)成的四邊形是菱形時(shí)，連接，，，

四邊形是菱形，且，
是等邊三角形，又是等邊三角形，
易證，
，又，，
，
，
，
直線的表達(dá)式為，
與拋物線表達(dá)式聯(lián)立，，解得；
綜上，或.

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這是一份山西省太原市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版），文件包含山西省太原市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題原卷版docx、山西省太原市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共26頁， 歡迎下載使用。

河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共15頁。試卷主要包含了已知是復(fù)數(shù)，滿足，，，則，設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

山西省太原市尖草坪區(qū)第一中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題：

這是一份山西省太原市尖草坪區(qū)第一中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題，共10頁。

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