1．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)集合，集合，則或（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·一模）人們把蜂房譽(yù)為自然界最奇異的建筑，蜂房是由許許多多的正六棱柱組成，一個挨著一個，緊密地排列，沒有一點空隙.人們一直疑問，蜜蜂為什么不讓其巢室呈三角形、正方形或其他形狀呢？雖然蜂窩是一個三維體建筑，但每一個蜂巢都是六面柱體，而蜂蠟墻的總面積僅與蜂巢的截面有關(guān).由此引出一個數(shù)學(xué)問題，即尋找面積最大、周長最小的平面圖形.1943年，匈牙利數(shù)學(xué)家陶斯（Laszl Fejes Tth）證明了，在所有首尾相連的正多邊形中，正六邊形的周長是最小的.1999年，黑爾斯證明了周邊是曲線時，無論曲線是向外凸還是向內(nèi)凹，由正六邊形組成的圖形周長都是最小的.如圖是一個邊長為2的正六邊形ABCDEF，則（ ）
A．4B．C．D．
4．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量滿足，，若與的方差相同且，則（ ）.
A．B．C．D．
5．（2024·浙江金華·一模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中關(guān)于“芻童”（上、下底面均為矩形的棱臺）體積近似計算的注釋：將上底面的長乘以二與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘以二與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一，現(xiàn)有“芻童”，其上、下底面均為正方形，若，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為，則按《九章算術(shù)》的注釋，該“芻童”的體積為（ ）
A．8B．24C．D．112
8．（2023·河南開封·一模）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動點定理的基石．簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)．若函數(shù)為“不動點”函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，點是正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中滿足平面的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·湖南永州·模擬預(yù)測）已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（ ）
A．的圖象關(guān)于點2,1對稱
B．是以4為周期的周期函數(shù)
C．
D．存在函數(shù)?x，使得對，都有
11．（2021·福建三明·三模）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線與軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點構(gòu)成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2024·江西景德鎮(zhèn)·一模）已知公比不為1的等比數(shù)列，且，，成等差，則 .
13．（2024·浙江·一模）已知橢圓：，過左焦點作直線與圓：相切于點，與橢圓在第一象限的交點為，且，則橢圓離心率為 .
14．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近碼頭：卸貨后，在落潮時返回海洋．下表是某港口某天的時刻與水深關(guān)系的預(yù)報，我們想選用一個函數(shù)來近似描述這一天港口的水深與時間之間的關(guān)系，該函數(shù)的表達(dá)式為 ．已知一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有2.25米的安全間隙（船底與洋底的距離），則該船可以在此港口停留卸貨的時間最長為 小時（保留整數(shù)）．
時刻
水深m
時刻
水深m
時刻
水深m
0：00
5.0
9：18
2.5
18：36
5.0
3：06
7.5
12：24
5.0
21：42
2.5
6：12
5.0
15：30
7.5
24：00
4.0
2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)小題基礎(chǔ)練08
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)集合，集合，則或（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·一模）人們把蜂房譽(yù)為自然界最奇異的建筑，蜂房是由許許多多的正六棱柱組成，一個挨著一個，緊密地排列，沒有一點空隙.人們一直疑問，蜜蜂為什么不讓其巢室呈三角形、正方形或其他形狀呢？雖然蜂窩是一個三維體建筑，但每一個蜂巢都是六面柱體，而蜂蠟墻的總面積僅與蜂巢的截面有關(guān).由此引出一個數(shù)學(xué)問題，即尋找面積最大、周長最小的平面圖形.1943年，匈牙利數(shù)學(xué)家陶斯（Laszl Fejes Tth）證明了，在所有首尾相連的正多邊形中，正六邊形的周長是最小的.1999年，黑爾斯證明了周邊是曲線時，無論曲線是向外凸還是向內(nèi)凹，由正六邊形組成的圖形周長都是最小的.如圖是一個邊長為2的正六邊形ABCDEF，則（ ）
A．4B．C．D．
4．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量滿足，，若與的方差相同且，則（ ）.
A．B．C．D．
5．（2024·浙江金華·一模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中關(guān)于“芻童”（上、下底面均為矩形的棱臺）體積近似計算的注釋：將上底面的長乘以二與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘以二與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一，現(xiàn)有“芻童”，其上、下底面均為正方形，若，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為，則按《九章算術(shù)》的注釋，該“芻童”的體積為（ ）
A．8B．24C．D．112
8．（2023·河南開封·一模）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動點定理的基石．簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)．若函數(shù)為“不動點”函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，點是正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中滿足平面的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·湖南永州·模擬預(yù)測）已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（ ）
A．的圖象關(guān)于點2,1對稱
B．是以4為周期的周期函數(shù)
C．
D．存在函數(shù)?x，使得對，都有
11．（2021·福建三明·三模）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線與軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點構(gòu)成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2024·江西景德鎮(zhèn)·一模）已知公比不為1的等比數(shù)列，且，，成等差，則 .
13．（2024·浙江·一模）已知橢圓：，過左焦點作直線與圓：相切于點，與橢圓在第一象限的交點為，且，則橢圓離心率為 .
14．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近碼頭：卸貨后，在落潮時返回海洋．下表是某港口某天的時刻與水深關(guān)系的預(yù)報，我們想選用一個函數(shù)來近似描述這一天港口的水深與時間之間的關(guān)系，該函數(shù)的表達(dá)式為 ．已知一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有2.25米的安全間隙（船底與洋底的距離），則該船可以在此港口停留卸貨的時間最長為 小時（保留整數(shù)）．
參考答案：
1．A
【分析】化簡兩集合，再研究集合間的運算即可.
【詳解】解：因為，
所以，所以或，
故選：A．
2．C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則計算．
【詳解】因為，所以，所以．
故選：C．
3．A
【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的定義，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為是邊長為的正六邊形，所以，，，
則.
故選：A
4．A
【分析】由正態(tài)分布和二項分布的性質(zhì)可得結(jié)果.
【詳解】，，，
，由對稱性：，
故.
故選：A.
5．B
【分析】根據(jù)兩角和的正切公式可得的值，再將弦化切，即可求解.
【詳解】由得，即，解得，
所以，
故選：B.
6．C
【分析】先化簡得出，再應(yīng)用基本不等式常值代換計算即可.
【詳解】因為，所以,
又因為，
當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值9，
所以的最小值為5.
故選：C.
7．C
【分析】先畫出圖形，連接，交于點，連接，交于點，連接，過作，如圖，根據(jù)題意結(jié)合圖形得到是“芻童”其中一條側(cè)棱與與底面所成角的平面角，從而求得該芻童的高，進(jìn)而根據(jù)芻童的體積公式即可求得結(jié)果．
【詳解】連接，交于點，連接，交于點，連接，過作，如圖，
.
因為“芻童”上、下底面均為正方形，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均相等，所以底面，又，所以底面，
所以是“芻童”其中一條側(cè)棱與底面所成角的平面角，則，
因為，所以，
易知四邊形是等腰梯形，則，
所以在中，，則，即“芻童”的高為，
則該芻童的體積.
故選:C.
8．B
【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于和的等式，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有交點.
【詳解】由題意得若函數(shù)為不動點函數(shù)則滿足
，即，即
設(shè)，
設(shè)
所以在單調(diào)遞減，且
所以在上單調(diào)遞增，
，所以在上單調(diào)遞減，
所以
當(dāng)則
當(dāng)則
所以的圖像為：
要想成立，則與有交點，所以
故選：B
9．ACD
【分析】結(jié)合題目條件，根據(jù)線面平行的判斷定理，構(gòu)造線線平行，證明線面平行.
【詳解】對A：如圖：

連接，因為為正方體棱的中點，所以，又，所以，
平面，平面，所以平面.故A正確；
對B：如圖：

因為是正方體棱的中點，所以，，，
所以，
同理：，.
所以5點共面，所以平面不成立.故B錯誤；
對C：如圖：

因為是正方體棱的中點，所以，，所以.
平面，平面，所以平面.故C正確；
對D：如圖：

因為為正方體棱的中點，連接交于，連接，
則為的中位線，所以，
平面，平面，所以平面.故D正確.
故選：ACD
10．AC
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合已知得出對稱中心判斷A,計算得出周期判斷B,應(yīng)用周期性求函數(shù)值判斷C,反證法判斷D.
【詳解】對于A，根據(jù)題意由可得；又為奇函數(shù)，
聯(lián)立，兩式相加可得，因此的圖象關(guān)于點對稱，即A正確；
對于B，由A選項可知，又為偶函數(shù)，所以，可得，
即，所以，即是以8為周期的周期函數(shù)，可知B錯誤；
對于C，易知，由可得，又，所以；
所以，即C正確；
對于D，假設(shè)存在，使得對，都有，由可得，
可得；因此，又，
即的函數(shù)值不唯一，構(gòu)不成函數(shù)關(guān)系，假設(shè)不成立，即D錯誤.
故選：AC.
11．ABD
【分析】設(shè)，分別與兩條漸近線和軸聯(lián)立求出的坐標(biāo)，求出、、，再分類討論重心、垂心和外心，并根據(jù)重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半列式求出的關(guān)系，再根據(jù)離心率公式可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
由，得，得，
由，得，得，
由，得，得，
，
，
，
若為重心、為外心、為垂心，則，
所以，化簡得，此時雙曲線的離心率，
若為重心、為垂心、為外心，則，
所以，化簡得不成立；
若為重心、為垂心、為外心，則，
所以，化簡得，此時雙曲線的離心率，
若為重心，為垂心、為外心，則，
，化簡得，此時雙曲線的離心率；
若為重心、為垂心、為外心，則，
所以，化簡得或，
此時雙曲線的離心率或，
若為重心，為垂心、為外心，則，
所以，化簡得或都不成立.
綜上所述：或或或.
故選：ABD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求雙曲線離心率的關(guān)鍵是得到的等量關(guān)系，求出三個交點坐標(biāo)后，分類討論重心、垂心和外心，根據(jù)重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半可得所要的等量關(guān)系..
12．
【分析】由等差中項求得等比數(shù)列公比，再結(jié)合等比數(shù)列通項公式即可求解.
【詳解】由題知：∵成等差，∴，又是公比不為1的等比數(shù)列，
∴，∴，．
故答案為：．
13．
【分析】由題意利用直線與圓相切可得，再由余弦定理計算得出，利用橢圓定義即可得出離心率.
【詳解】設(shè)橢圓右焦點為，連接，如下圖所示：
由圓：可知圓心，半徑；
顯然，且，
因此可得，所以，可得；
即可得，又易知；
由余弦定理可得，
解得，
再由橢圓定義可得，即，
因此離心率.
故答案為：
14． 4
【分析】第一空根據(jù)表中數(shù)據(jù)的周期性規(guī)律判斷為正弦型函數(shù)，先由周期計算出，再由最值計算出A和b，最后由最大值處的數(shù)據(jù)計算出，即可得到函數(shù)的表達(dá)式；第二空先判斷出水深的最小值，再由前面求得的函數(shù)列不等式，求出解集的寬度即為安全停留時長.
【詳解】觀察表中數(shù)據(jù)可知，水深與時間近似為正弦型函數(shù).
設(shè)該函數(shù)表達(dá)式為，
由表中數(shù)據(jù)可知，一個周期為12小時24分，即744分鐘，
所以，
，，
則該函數(shù)的表達(dá)式為：.
由題可知，水深為米以上時安全，
令，
解得，
即安全時間為分鐘，約4小時.
故答案為：；4.

時刻
水深m
時刻
水深m
時刻
水深m
0：00
5.0
9：18
2.5
18：36
5.0
3：06
7.5
12：24
5.0
21：42
2.5
6：12
5.0
15：30
7.5
24：00
4.0
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
A
B
C
C
B
ACD
AC
題號
11









答案
ABD









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