廣西壯族自治區(qū)玉林市北流市2024-2025學(xué)年上學(xué)期八年級期末考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

這是一份廣西壯族自治區(qū)玉林市北流市2024-2025學(xué)年上學(xué)期八年級期末考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版），共26頁。試卷主要包含了本考卷分試題卷和答題卡兩部分等內(nèi)容，歡迎下載使用。
注意事項：
1．本考卷分試題卷和答題卡兩部分．請將答案填寫在答題卡上，在試題卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
2．選擇題每小題選出答案后，考生用2B鉛筆把答案卡上對應(yīng)題目的選項標號涂黑．
3．非選擇題，考生用直徑0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答．
一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．）
1. 下列四個圖標中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如圖，木工師傅制作門框時，常用木條固定長方形門框，使其不變形，這樣做的幾何原理是（ ）
A. 兩點確定一條直線B. 兩點之間線段最短
C. 三角形穩(wěn)定性D. 垂線段最短
3. 下列長度的三根木棒能組成三角形的是（ ）
A. 1，2，4B. 2，3，4C. 2，2，4D. 2，3，6
4. 已知某細菌直徑長約米，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A. B. C. D.
5. 下列運算正確的是（ ）
A. （a+1）＝a+1B. a÷a＝a
C 3a?（﹣a）＝﹣3aD. x?x＝x
6. 如圖，中，，是中點，下列結(jié)論中不一定正確的是（ ）
A. B.
C. 平分D.
7. 如果（x+m）與（x﹣4）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（ ）
A. 4B. ﹣4C. 0D. 1
8. 工人師傅常用直角尺平分一個角，做法如下：如圖所示，在的邊，上分別取，移動直角尺，使直角尺兩邊相同的刻度分別與，重合（即）．此時過直角尺頂點的射線即是的平分線．這種做法的道理是（ ）
A. B. C. D.
9. 分式中的m、n的值同時擴大到原來的5倍，則此分式的值（ ）
A. 不變B. 是原來的
C. 是原來的5倍D. 是原來的10倍
10. 如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數(shù)是（ ）
A. 80°B. 90°C. 100°D. 108°
11. 如果關(guān)于的方程的解是正數(shù)，那么的取值范圍是（ ）
A. B. 且C. D. 且
12. 我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項式乘法的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”．根據(jù)“楊輝三角”系數(shù)的規(guī)律，請計算展開式的系數(shù)和是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．）
13. 若分式有意義，則x的取值范圍是__________．
14. 分解因式：=______．
15. 如圖，都是的中線，連接的面積是，則的面積是___________．
16. 如圖，點A坐標為，點B坐標為，若在y軸右側(cè)有一點C使得與全等，則點C的坐標為_______．

三、解答題（本大題共7小題，共72分．解答題應(yīng)在答題卡上寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 計算：．
18. 人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第頁第7題：已知，，求的值．張老師講解了這道題的兩種方法：
根據(jù)你的觀察，請你參照上面兩種解法中的一種，解答以下問題．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
19. 如圖，在四邊形中，，，分別是，的平分線．
（1）若，求的度數(shù)：
（2）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
20. 在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別是．
（1）在圖中作，使和關(guān)于軸對稱；
（2）請直接寫出的坐標；
（3）連接，請求出的面積．
21. 廣西“十四五”重點工程南珠高鐵南玉段于年月日正式開通營運，圓了玉林廣大人民群眾的高鐵夢，現(xiàn)還需對玉林北站站前的部分道路進行美化．甲、乙兩支工程隊各接到了米美化道路的任務(wù)，已知甲工程隊的工作效率是乙工程隊的2倍．完成任務(wù)時，甲工程隊比乙工程隊少用了2天，設(shè)乙工程隊每天完成道路美化米．
（1）填空：甲工程隊每天完成道路美化___________米，若兩支工程隊各完成米的道路美化，則甲工程隊需要用___________天，乙工程隊需要用___________天；（用含的代數(shù)式表示）
（2）求甲乙兩支工程隊每天完成道路美化各多少米；
（3）若甲乙兩支工程隊每天美化道路所需費用分別是元和元，站前道路還需美化米，由甲乙兩支工程隊共同完成一段時間后，甲工程隊另有任務(wù)，剩下的任務(wù)只能由乙工程隊單獨完成，如果總費用不超過元，那么甲工程隊至少要工作多少天？
22 閱讀下面材料并解決有關(guān)問題：
材料一：由于，所以，即，并且當(dāng)時，；對于兩個非負實數(shù)，，由于，所以，即，所以，并且當(dāng)時，；
材料二：分式和分數(shù)有著很多的相似點，如類比分數(shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)．小學(xué)里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分數(shù)，類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如：；
（1）比較大?。篲__________（其中），___________2（其中）（填“”“”或“”）；
（2）在①、②、③、④這些分式中，屬于假分式是___________（填序號）；
（3）把以下假分式化成整式與真分式的和的形式，并求當(dāng)時，分式的值．
23. 已知和都是等邊三角形．
【模型感知】（1）如圖1，求證：；
【模型應(yīng)用】（2）如圖2，當(dāng)點在的延長線上時，求證：；
【類比探究】（3）如圖3，當(dāng)點在射線上時，過點作于點．猜想線段與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

2024年秋季期期末適應(yīng)性訓(xùn)練八年級數(shù)學(xué)
（全卷滿分120分，考試時間120分鐘）
注意事項：
1．本考卷分試題卷和答題卡兩部分．請將答案填寫在答題卡上，在試題卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
2．選擇題每小題選出答案后，考生用2B鉛筆把答案卡上對應(yīng)題目的選項標號涂黑．
3．非選擇題，考生用直徑0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答．
一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．）
1. 下列四個圖標中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸．
根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【詳解】解：A、C、D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
B選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：B．
2. 如圖，木工師傅制作門框時，常用木條固定長方形門框，使其不變形，這樣做的幾何原理是（ ）
A. 兩點確定一條直線B. 兩點之間線段最短
C. 三角形的穩(wěn)定性D. 垂線段最短
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了三角形穩(wěn)定性的實際應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識．
根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可．
【詳解】解：用木條固定長方形門框，使其不變形，這樣做的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性．
故選：C．
3. 下列長度的三根木棒能組成三角形的是（ ）
A. 1，2，4B. 2，3，4C. 2，2，4D. 2，3，6
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了構(gòu)成三角形的條件，三角形三邊的關(guān)系應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系在三角形中，任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：A、，不能構(gòu)成三角形，故A不符合題意；
B、，能構(gòu)成三角形，故B符合題意；
C、，不能構(gòu)成三角形，故C不符合題意；
D 、不能構(gòu)成三角形，故D不符合題意；
故選：B．
4. 已知某細菌直徑長約米，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式是解題的關(guān)鍵．
科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于時，是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時，是負數(shù)；由此進行求解即可得解．
【詳解】解：．
故選：B．
5. 下列運算正確的是（ ）
A. （a+1）＝a+1B. a÷a＝a
C. 3a?（﹣a）＝﹣3aD. x?x＝x
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)多項式的乘法法則和冪的運算法則逐項判斷.
【詳解】A、（a+1）2＝a2+2a+1≠a2+1，故選項A錯誤；
B、a8÷a2＝a6≠a4，故選項B錯誤；
C、3a?（﹣a）2＝3a?a2＝3a3≠﹣3a3，故選項C錯誤；
D、x3?x4＝x3+4＝x7，故選項D正確．
故選：D．
【點睛】本題考查冪的運算和完全平方公式，掌握法則和公式是解答此題的關(guān)鍵.
6. 如圖，中，，是中點，下列結(jié)論中不一定正確的是（ ）
A. B.
C. 平分D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角、三線合一的性質(zhì)逐項判斷即可．
【詳解】解：∵中，，是中點，
∴，，平分，，
故選項B、C、D正確，不符合題意，
不能證明，故選項A不一定正確，符合題意，
故選：A．
7. 如果（x+m）與（x﹣4）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（ ）
A. 4B. ﹣4C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)已知式子,可找出所有含x的項,合并系數(shù),令含x項的系數(shù)等于0,即可求m的值.
【詳解】解:(x+m)(x-4)=x+(m-4)x+4m,乘積中不含x的一次項,
m-4=0,
m=4.
所以A選項是正確的.
【點睛】本題主要考查多項式乘多項式，注意運算的準確性.
8. 工人師傅常用直角尺平分一個角，做法如下：如圖所示，在的邊，上分別取，移動直角尺，使直角尺兩邊相同的刻度分別與，重合（即）．此時過直角尺頂點的射線即是的平分線．這種做法的道理是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查作圖復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
根據(jù)全等三角形的判定方法即可解決問題．
【詳解】解：由題意：，，，
，
．
故選：B．
9. 分式中的m、n的值同時擴大到原來的5倍，則此分式的值（ ）
A. 不變B. 是原來的
C. 是原來的5倍D. 是原來的10倍
【答案】C
【解析】
【分析】分式的分子擴大到原來的25倍, 而分m+n母擴大到原來的5倍, 利用分式的基本性質(zhì), 此分式的值擴大到原來的5倍.
【詳解】解：分式中的m、n的值同時擴大到原來的5倍，則分子擴大到原來的25倍, 而分m+n母擴大到原來的5倍，利用分式的基本性質(zhì), 此分式的值擴大到原來的5倍.
故選:C.
【點睛】本題主要考查分式的基本性質(zhì).
10. 如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數(shù)是（ ）
A. 80°B. 90°C. 100°D. 108°
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和為180°逐步算出答案．
【詳解】解：∵AB=BC，
∴∠ACB=∠A=18°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD=36°，
∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°，
∵CD=DE，
∴∠CED=∠DCE=54°，
∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°，
∵DE=EF，
∴∠EFD=∠EDF=72°，
∴∠GEF=∠A+∠AFE=18°+72°=90°．
【點睛】熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11. 如果關(guān)于的方程的解是正數(shù)，那么的取值范圍是（ ）
A B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】此題主要考查了分式方程的解，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【詳解】解：∵有正數(shù)解，
∴，則，
，
去分母，得，，
移項合并，得，，
∵方程的解是正數(shù)，
∴，
解得：且，
故選：B．
12. 我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項式乘法的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”．根據(jù)“楊輝三角”系數(shù)的規(guī)律，請計算展開式的系數(shù)和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是認真觀察楊輝三角，找到系數(shù)和的規(guī)律．
【詳解】解：由楊輝三角得：
的展開式各項的系數(shù)和為：，
的展開式各項的系數(shù)和為：，
的展開式各項的系數(shù)和為：，
的展開式各項的系數(shù)和為：，
展開式各項的系數(shù)和為：，
……
根據(jù)以上規(guī)律得：的展開式各項的系數(shù)和為，
當(dāng)時，的展開式各項的系數(shù)和為：．
故選：A．
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．）
13. 若分式有意義，則x的取值范圍是__________．
【答案】；
【解析】
【分析】根據(jù)分母不等于0，即可求出答案．
【詳解】解：∵分式有意義，
∴，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于0．
14. 分解因式：=______．
【答案】x（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提取公因式，再根據(jù)平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：
=
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案為：x（x+2）（x﹣2）．
【點睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，都是的中線，連接的面積是，則的面積是___________．
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查了利用三角形的中線求三角形的面積．根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，可得，．
【詳解】解：∵是的中線，的面積是，
∴，
∵是的中線，
∴為的中線，
即，
故答案為：4．
16. 如圖，點A坐標為，點B坐標為，若在y軸右側(cè)有一點C使得與全等，則點C的坐標為_______．

【答案】或
【解析】
【分析】本題主要考查了坐標與圖形，全等三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意可得，，然后分兩種情況討論：若，若，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵點A坐標為，點B坐標為，
∴，，
如圖，若，
∴，
∴點C的坐標為；
如圖，若，

∴，，
∴點C的坐標為；
故答案為：或
三、解答題（本大題共7小題，共72分．解答題應(yīng)在答題卡上寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 計算：．
【答案】．
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
先計算乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、零次冪，最后相加減．
【詳解】解： ，
，
．
18. 人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第頁的第7題：已知，，求的值．張老師講解了這道題的兩種方法：
根據(jù)你的觀察，請你參照上面兩種解法中的一種，解答以下問題．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】此題考查了完全平方公式，熟練掌握運算法則及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
（1）把兩邊平方，利用完全平方公式化簡后，將代入，計算即可求出的值；（2）把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡，化簡后即可求出值．
【小問1詳解】
解：，
，
，
，
；
【小問2詳解】
解： ，
，
，
．
19. 如圖，在四邊形中，，，分別是，的平分線．
（1）若，求的度數(shù)：
（2）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）
（2），理由見解析
【解析】
【分析】本題考查了平行線的判定，多邊形的內(nèi)角和，直角三角形兩銳角互余，關(guān)鍵是掌握四邊形內(nèi)角和為、同位角相等，兩直線平行．
（1）由角平分線的定義得，，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，從而推出，進而可求出答案；
（2）由互余的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的判定即可得出．
【小問1詳解】
解：∵，分別是，的平分線
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問2詳解】
解：，理由如下：
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別是．
（1）在圖中作，使和關(guān)于軸對稱；
（2）請直接寫出的坐標；
（3）連接，請求出的面積．
【答案】（1）見解析 （2），，
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出關(guān)于軸對稱的即可；
（2）根據(jù)坐標系寫出點坐標即可；
（3）根據(jù)長方形減去三個三角形的面積即可求解．
【小問1詳解】
如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
，，；
【小問3詳解】
．
【點睛】本題考查了畫軸對稱圖形，寫出坐標系中點的坐標，坐標與圖形，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21. 廣西“十四五”重點工程南珠高鐵南玉段于年月日正式開通營運，圓了玉林廣大人民群眾的高鐵夢，現(xiàn)還需對玉林北站站前的部分道路進行美化．甲、乙兩支工程隊各接到了米美化道路的任務(wù)，已知甲工程隊的工作效率是乙工程隊的2倍．完成任務(wù)時，甲工程隊比乙工程隊少用了2天，設(shè)乙工程隊每天完成道路美化米．
（1）填空：甲工程隊每天完成道路美化___________米，若兩支工程隊各完成米的道路美化，則甲工程隊需要用___________天，乙工程隊需要用___________天；（用含的代數(shù)式表示）
（2）求甲乙兩支工程隊每天完成道路美化各多少米；
（3）若甲乙兩支工程隊每天美化道路所需費用分別是元和元，站前道路還需美化米，由甲乙兩支工程隊共同完成一段時間后，甲工程隊另有任務(wù)，剩下的任務(wù)只能由乙工程隊單獨完成，如果總費用不超過元，那么甲工程隊至少要工作多少天？
【答案】（1）；；；
（2）甲工程隊每天完成道路美化米，乙工程隊每天完成道路美化米．
（3）4天
【解析】
【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式．
（1）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；
（2）根據(jù)完成任務(wù)時，甲工程隊比乙工程隊少用了2天，列出方程，解方程即可；
（3）設(shè)甲工程隊至少需要工作天，則乙工程隊需要工作天，根據(jù)總費用不超過元，列出不等式，解不等式即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)乙工程隊每天完成道路美化米，則甲工程隊每天完成道路美化米，
若兩支工程隊各完成米的道路美化，
則甲工程隊需要用天，
乙工程隊需要用天；
故答案為：；；；
【小問2詳解】
解：依題意有：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的根且符合題意，
，
答：甲工程隊每天完成道路美化米，乙工程隊每天完成道路美化米．
【小問3詳解】
解：設(shè)甲工程隊至少需要工作天，則乙工程隊需要工作天，即天，
依題意得：，
解得：，
為整數(shù)，
的最小值為天，
答：甲工程隊至少需要工作天．
22. 閱讀下面材料并解決有關(guān)問題：
材料一：由于，所以，即，并且當(dāng)時，；對于兩個非負實數(shù)，，由于，所以，即，所以，并且當(dāng)時，；
材料二：分式和分數(shù)有著很多的相似點，如類比分數(shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)．小學(xué)里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分數(shù)，類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如：；
（1）比較大?。篲__________（其中），___________2（其中）（填“”“”或“”）；
（2）在①、②、③、④這些分式中，屬于假分式的是___________（填序號）；
（3）把以下假分式化成整式與真分式的和的形式，并求當(dāng)時，分式的值．
【答案】（1），
（2）①②④ （3），
【解析】
【分析】本題考查了分式的混合運算，完全平方公式，利用做差法比較代數(shù)式的大小等知識點，能正確根據(jù)完全平方公式進行變形是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)完全平方公式即可求出答案；
（2）根據(jù)題意給出的定義即可求出答案；
（3）根據(jù)題意給出的定義即可求出答案．
【小問1詳解】
解：，
，
，
，
，
，
故答案為：，；
【小問2詳解】
解：
，
，
，
故答案為：；
【小問3詳解】
解：
，
當(dāng)時，原式．
23. 已知和都是等邊三角形．
【模型感知】（1）如圖1，求證：；
【模型應(yīng)用】（2）如圖2，當(dāng)點在的延長線上時，求證：；
【類比探究】（3）如圖3，當(dāng)點在射線上時，過點作于點．猜想線段與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）或，證明見解析
【解析】
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明即可得到結(jié)論；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)證明，結(jié)合可得結(jié)論；
（3）如圖，當(dāng)在線段上時，如圖，當(dāng)在線段延長線上時，證明， 可得； 再證明，從而可得結(jié)論．
【詳解】證明：（1）∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴ ；
（2）∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴ ；
∵，
∴；
（3）或，
理由如下：如圖，當(dāng)在線段上時，

∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ；，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如圖，當(dāng)在線段的延長線上時，

同理可得：，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．
方法一
方法二
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方法一
方法二
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