1.雙曲線定義
平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
3.常用結(jié)論
(1)過雙曲線的一個焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為，也叫通徑．
(2)與雙曲線有共同漸近線的方程可表示為．
(3)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
(4)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
考點(diǎn)一：待定系數(shù)法求雙曲線方程
例1．已知雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的3倍，則實(shí)數(shù)a的值為______.
【答案】/
【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)得到，再解方程即可.
【詳解】因?yàn)殡p曲線的虛軸長是實(shí)軸長的3倍，
所以，解得.
故答案為：
例2．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過和兩點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則該雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由雙曲線方程可得其漸近線為，再求得直線的斜率，由垂直可求得，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)得，從而求得，即可得雙曲線的方程.
【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以它的漸近線為，
又因?yàn)椋灾本€的斜率為，
因?yàn)橹本€與雙曲線的一條漸近線垂直，所以，故，
又因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為，所以，故，
所以該雙曲線的方程為.
故選：C.
考點(diǎn)二：相同漸近線雙曲線方程的求法
例3．已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)共漸近線雙曲線系的形式可假設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為：，
雙曲線過點(diǎn)，，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故選：A.
考點(diǎn)三：直接法解決離心率問題
例4．如圖，、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)若，，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】利用雙曲線的定義及線段的關(guān)系建立方程，解出再利用雙曲線離心率公式計(jì)算即可
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，所以．
由雙曲線的定義得：，
所以，
所以
在中，
所以．
故雙曲線的離心率為.
故選：D.
考點(diǎn)四：構(gòu)造齊次方程法求離心率的值或范圍
例5．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）設(shè)、分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過左焦點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)E，與雙曲線右支交于點(diǎn)P，且為等腰三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，確定，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及雙曲線定義列式計(jì)算作答.
【詳解】因?yàn)橹本€與圓切于點(diǎn)E，則，而為等腰三角形，
必有，E為的中點(diǎn)，而O為中點(diǎn)，于是，有，
且，令雙曲線焦距為2c，由，
得，即，有，
所以雙曲線的離心率.
故選：A
考點(diǎn)五：漸近線問題
例6．2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線分別與雙曲線的漸近線平行，與漸近線的交點(diǎn)記為，若 為等邊三角形，且面積為，則（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】C
【分析】作圖，分析幾何關(guān)系得到四邊形OABF是菱形，利用條件即可求出 .
【詳解】
由題意作上圖，顯然四邊形 是平行四邊形，又 是等邊三角形， 是菱形，
由于 ， 的AB邊上的高 ，即 ，
的方程為： ，A在上， ， ；
故選：C.
例7．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，則雙曲線的漸近線方程式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由雙曲線的定義與性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】由題意可得，故由題意可得，
漸近線方程為.
故選：D
一、單選題
1．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義得出對應(yīng)點(diǎn)的軌跡，設(shè)，即可計(jì)算的最小值．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)是以，為焦點(diǎn)，半實(shí)軸長為1的雙曲線，則，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，
設(shè)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值為．
故選：B．
2．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，則（ ）
A．－8B．8C．10D．－10
【答案】A
【分析】先由雙曲線的方程求出其實(shí)半軸長，然后利用雙曲線的定義可求得答案.
【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為，
則，所以，
因?yàn)殡p曲線C的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，
所以，
故選：A
3．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為為右半支上一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．4C．6D．9
【答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，進(jìn)而求解，由余弦定理即可求解.
【詳解】可得.
又，兩式聯(lián)立可得，
，整理可得，
.
故選：.
4．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）
A．5B．6C．8D．12
【答案】C
【分析】由雙曲線的定義知，，則，即可得出答案.
【詳解】雙曲線C：，則，，
由雙曲線的定義知：，，
，
所以
.
故選：C.
5．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，得到，，結(jié)合勾股定理表示出和 的關(guān)系即可.
【詳解】利用雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，得到,
又，
因?yàn)?，所以；故，?br>故答案為：
6．一動圓過定點(diǎn)，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由兩圓相切分析可知，符合雙曲線的定義，可得，，根據(jù)雙曲線中a，b，c的關(guān)系，即可求出動圓圓心的軌跡方程.
【詳解】解：已知圓：圓心，半徑為4，
動圓圓心為，半徑為，
當(dāng)兩圓外切時：，所以；
當(dāng)兩圓內(nèi)切時：，所以；
即，表示動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)4，符合雙曲線的定義，
所以P在以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線上，且，，
，
所以動圓圓心的軌跡方程為：，
故選：C.
7．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考二模）若雙曲線C：的焦距大于6，C上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為d，則d的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的方程求出焦距，再由雙曲線的定義求解.
【詳解】因?yàn)殡p曲線C：，
所以，
由題意可知，則，
由雙曲線的定義知，.
故選：A
8．（2023·河南開封·統(tǒng)考二模）已知圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線C的焦距為（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】由題意求得雙曲線的漸近線方程，根據(jù)圓與雙曲線的漸近線相切，得到圓心到直線的距離等于半徑，列出相應(yīng)的等量關(guān)系式，從而求得，進(jìn)一步求得雙曲線的焦距.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
根據(jù)圓的圓心到切線的距離等于半徑，可得，解得，
從而求得雙曲線的方程為，所以，即，故此雙曲線的焦距為，
故選：D
9．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）實(shí)軸在軸上的雙曲線的離心率為，則該雙曲線漸近線的傾斜角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意求得，得到漸近線的斜率為，即，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.
【詳解】由題意知，可得，
因?yàn)閷?shí)軸在軸上，所以雙曲線漸近線的斜率為，
設(shè)雙曲線的漸近線的傾斜角為，則，
因?yàn)?，所?
故選：A.
10．（2023·天津河?xùn)|·一模）已知雙曲線的實(shí)軸為4，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點(diǎn)，拋物線與雙曲線的一個交點(diǎn)為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出，，將代入雙曲線和拋物線，求出，，進(jìn)而求出漸近線方程.
【詳解】由題意得，，故雙曲線左頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
拋物線的準(zhǔn)線為，故，解得，
點(diǎn)為拋物線與雙曲線的一個交點(diǎn)，故，，
即，解得，解得，
故雙曲線的漸近線方程為.
故選：A
11．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考二模）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過作傾斜角為45°的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若軸，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由列出方程，得到，求出離心率.
【詳解】由題意得，
中，令得，解得，
故，
因?yàn)?，所以，結(jié)合可得，
方程兩邊同時除以得，，
解得，負(fù)值舍去，故離心率為.
故選：D
12．（2023·湖南常德·二模）某人同時擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為，，則焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓的離心率，有，解得，再利用列舉法和古典概型概率計(jì)算公式，求得相應(yīng)的概率.
【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，
而，解得，
投擲骰子得到點(diǎn)數(shù)共有種，
其中滿足的有：
共種，
所以所求概率為.
故選：C.
13．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，一條漸近線的傾斜角是另一條漸近線的傾斜角的5倍，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】由題意求出雙曲線的一條漸近線的傾斜角，可得漸近線的斜率，根據(jù)離心率的計(jì)算公式可得答案.
【詳解】由題意設(shè)一條漸近線的傾斜角為，
則另一條漸近線的傾斜角為，由雙曲對稱性可得，
則一條漸近線的斜率為，
設(shè)雙曲線的長半軸長為a，短半軸長為b，則，
故離心率為，
故選：A
14．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考一模）設(shè)分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合解方程組、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可,
【詳解】由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)在右支，
則有，而，
代入
，或舍去，
由，或舍去，
故選：C
二、填空題
15．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）設(shè)為雙曲線:左、右焦點(diǎn)，且的離心率為，若點(diǎn)M在的右支上，直線與的左支相交于點(diǎn)N，且，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)雙曲線的離心率公式求出，再根據(jù)雙曲線的定義即可得解.
【詳解】由的離心率為，
得，解得，
由點(diǎn)M在的右支上，得，
又因，
所以，即.
故答案為：.
16．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）已知直線：過雙曲線：的一個焦點(diǎn)，且與的一條漸近線平行，則的實(shí)軸長為______．
【答案】2
【分析】求出直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，然后列方程組求得得實(shí)軸長．
【詳解】直線與軸交點(diǎn)為，斜率為，
由題意，解得，
所以雙曲線的實(shí)軸長為．
故答案為：2.
17．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的焦距為4，焦點(diǎn)到C的一條漸近線的距離為1，則C的漸近線方程為______
【答案】
【分析】由雙曲線對稱性得一個焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離相等，不妨設(shè)漸近線為，由點(diǎn)線距離及的關(guān)系可得方程組求解.
【詳解】由雙曲線對稱性得，一個焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離相等，不妨取漸近線為，即，焦點(diǎn)為，
則焦點(diǎn)到漸近線的距離，
由焦距為4得，故，
故C的漸近線方程為.
故答案為：.
18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，拋物線Ｍ與雙曲線交于，兩點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為______．
【答案】
【分析】由拋物線和雙曲線的對稱性可以確定兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)既在拋物線又在雙曲線上，可建立的關(guān)系，從而求出離心率.
【詳解】解：由拋物線和雙曲線的對稱性可知，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且，
因?yàn)?，所以，代入雙曲線方程有，
所以，
即，解得．
故答案為：.
19．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，漸近線方程為，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________．
【答案】
【分析】由已知可設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知，解出雙曲線的漸近線方程為，結(jié)合已知，即可得出答案.
【詳解】由已知可得，雙曲線的焦點(diǎn)位于軸上， 設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
因?yàn)殡p曲線C經(jīng)過點(diǎn)，所以，
則雙曲線的漸近線方程為，所以，
所以，C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
20．若雙曲線C的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，且焦點(diǎn)到該漸近線的距離為2，則該雙曲線的方程為______．
【答案】或
【分析】根據(jù)題意分焦點(diǎn)在軸與焦點(diǎn)在軸分別討論，結(jié)合雙曲線的漸近線方程，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.
【詳解】雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為（，），∴該雙曲線的漸近線方程為，又∵一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，∴，得．由焦點(diǎn)到該漸近線的距離為2，可得，得，則雙曲線的方程為；
當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為（，），∴該雙曲線的漸近線方程為，又∵一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，∴，得，由焦點(diǎn)到該漸近線的距離為2，可得，得，則雙曲線的方程為．
故答案為:或．標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性
質(zhì)
范圍
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
對稱性
對稱軸:坐標(biāo)軸 對稱中心:原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
漸近線
離心率
實(shí)虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸,它的長|A1A2|=2a,線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=2b;a叫做雙曲線的實(shí)半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長
a,b,c的關(guān)系
c2=a2+b2
考點(diǎn)一
待定系數(shù)法求雙曲線方程
考點(diǎn)二
相同漸近線雙曲線方程的求法
考點(diǎn)三
直接法解決離心率問題
考點(diǎn)四
構(gòu)造齊次方程法求離心率的值或范圍
考點(diǎn)五
漸近線問題

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第18講 導(dǎo)數(shù)的最值（講義）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第18講 導(dǎo)數(shù)的最值（講義）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升第18講導(dǎo)數(shù)的最值講義原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升第18講導(dǎo)數(shù)的最值講義解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共21頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第17講 導(dǎo)數(shù)的極值（講義）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第17講 導(dǎo)數(shù)的極值（講義）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升第17講導(dǎo)數(shù)的極值講義原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升第17講導(dǎo)數(shù)的極值講義解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共19頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第16講 導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性（講義）（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第16講 導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性（講義）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升第16講導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性講義原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升第16講導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性講義解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共21頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第12講 函數(shù)的圖象（講義）（2份，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第12講 函數(shù)的圖象（講義）（2份，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第08講 分段函數(shù)求法（講義）（2份，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第08講 分段函數(shù)求法（講義）（2份，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第05講 函數(shù)的解析式求法（講義)（2份，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第05講 函數(shù)的解析式求法（講義)（2份，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第01講 集合（講義）（2份，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)分類提升 第01講 集合（講義）（2份，原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部