1.基本事件的特點(diǎn)
(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
2.事件的關(guān)系與運(yùn)算
3.古典概型
具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
(1)所有的基本事件只有有限個(gè)；
(2)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的．
(3).
4.相互獨(dú)立事件
(1)概念：對(duì)任意兩個(gè)事件與，如果，則稱事件與事件相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立.
(2)性質(zhì)：若事件與相互獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立.
5.條件概率及其性質(zhì)
(1)定義：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率
(2)性質(zhì)：設(shè)，則
①；
②如果和是兩個(gè)互斥事件，則；
③設(shè)和互為對(duì)立事件，則；
④概率的乘法公式：由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件與，若，則.
6.全概率公式
一般地，設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對(duì)任意的事件，有.
7.常用結(jié)論
(1)已知和時(shí)，可直接利用概率的乘法公式求出.
(2)縮小樣本空間法：借助古典概型概率公式，先求事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)，再求事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)，利用，求出.
考點(diǎn)一：互斥事件、對(duì)立事件與獨(dú)立事件概率的求法
例1．甲、乙、丙三人各進(jìn)行一次打靶，三人打中的概率分別為，則三人中至少有一人打中的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】三人中至少有一人打中的對(duì)立事件是三人均打不中，運(yùn)用間接法解決即可.
【詳解】三人中至少有一人打中的對(duì)立事件是三人均打不中，
三人均打不中的概率為，
所以三人中至少有一人打中的概率為．
故選：A
考點(diǎn)二：古典概型問題
例2．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）田忌賽馬的故事每個(gè)人都耳熟能詳，眾所周知，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．假設(shè)田忌與齊王有上等、中等、下等馬各一匹，現(xiàn)從雙方的馬匹中各隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列出隨機(jī)試驗(yàn)從雙方的馬匹中各隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽的樣本空間，再確定事件田忌的馬獲勝所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式求概率.
【詳解】依題意，記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為，，，
齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為，，.
由題意可知，可能的比賽有方案有：
，，，，，，，，，共9種，
其中田忌可以獲勝的事件為，，，共3種，
則田忌的馬獲勝的概率為.
故選：A.
考點(diǎn)三：利用條件概率公式求解條件概率
例3．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）已經(jīng)連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，都出現(xiàn)了正面向上的結(jié)果，第3次隨機(jī)地拋擲這枚硬幣，則其正面向上的概率為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】記為3次拋擲的結(jié)果，.寫出所有的樣本點(diǎn)，設(shè)出事件，根據(jù)古典概型的概率公式，求出前兩次正面向上的概率以及三次正面向上的概率，然后即可根據(jù)條件概率的公式，求出答案.
【詳解】記拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上為1，反面向上為0，
記為3次拋擲的結(jié)果，.
則試驗(yàn)的所有結(jié)果可能為，，，，，，，，，共有8個(gè)樣本點(diǎn).
其中，前2次都出現(xiàn)了正面向上的結(jié)果，包含的樣本點(diǎn)有，，共2個(gè)；
3次都為正面向上，包含的樣本點(diǎn)有，共1個(gè).
設(shè)前2次都出現(xiàn)了正面向上為事件，3次都為正面向上為事件，
則，，
顯然，
所以，在前2次都出現(xiàn)了正面向上的結(jié)果下，第3次正面向上的概率.
故選：C.
例4．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）羽毛球單打?qū)嵭小叭謨蓜佟敝疲o平局）．甲乙兩人爭奪比賽的冠軍．甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進(jìn)行了三局的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出甲獲勝的概率、甲獲得冠軍且比賽進(jìn)行了三局的概率，利用條件概率公式求概率即可.
【詳解】由甲獲勝的概率為，
而甲獲得冠軍且比賽進(jìn)行了三局，對(duì)應(yīng)概率為，
所以在甲獲得冠軍的條件下，比賽進(jìn)行了三局的概率為.
故選：A
考點(diǎn)四：利用全概率公式求解概率問題
例5．已知P（B）=0.3，，，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知利用全概率公式得，即可求解.
【詳解】由全概率公式可得：
可得，解得：.
則.
故選：A.
1． A，B兩名學(xué)生均打算只去甲、乙兩個(gè)城市中的一個(gè)上大學(xué)，且兩人去哪個(gè)城市互不影響，若A去甲城市的概率為0.6，B去甲城市的概率為0.3，則A，B不去同一城市上大學(xué)的概率為（ ）
A．0.3B．0.46C．0.54D．0.7
【答案】C
【分析】設(shè)事件“A去甲城市”，事件“B去甲城市”，根據(jù)A，B不去同一城市上大學(xué)的概率為即可求解.
【詳解】設(shè)事件“A去甲城市”，事件“B去甲城市”，
則,,
則A，B不去同一城市上大學(xué)的概率為.
故選:C.
2．某地區(qū)一個(gè)家庭中孩子個(gè)數(shù)X的情況如下．
每個(gè)孩子的性別是男是女的概率均為，且相互獨(dú)立，則一個(gè)家庭中男孩比女孩多的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意分析男孩比女孩多的可能情況，結(jié)合互斥事件以及獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.
【詳解】一個(gè)家庭中男孩比女孩多有三種可能：“1個(gè)小孩，且為男孩”、“有2個(gè)小孩，且為男孩”、“3個(gè)小孩，3個(gè)男孩或2個(gè)男孩”，
所以概率
.
故選：A.
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）某老師為了獎(jiǎng)勵(lì)考試成績優(yōu)異的同學(xué)，在微信群里發(fā)了一個(gè)拼手氣紅包.已知甲、乙、丙三人搶到的紅包金額超過1元的概率分別為，則這三人中至少有兩人搶到的紅包超過1元的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式結(jié)合獨(dú)立事件的概率除法公式分析運(yùn)算.
【詳解】三人搶到的紅包都超過1元的概率為，
三人中僅有兩人搶到的紅包超過1元的概率為，
所以三人中至少有兩人搶到的紅包超過1元的概率為.
故選：A.
4．設(shè)甲、乙兩個(gè)廠家生產(chǎn)同一款產(chǎn)品的市場占有率分別為和，且甲、乙兩廠生產(chǎn)該款產(chǎn)品的合格率分別為和．則從市場上買到一個(gè)合格品的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用概率加法公式求解即可.
【詳解】買到一個(gè)合格品的概率.
故選：C
5．已知從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，現(xiàn)從兩袋中各模出一個(gè)球，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．兩個(gè)球都是紅球的概率為B．兩個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為
C．兩個(gè)球不都是紅球的概率為D．至少有1個(gè)紅球的概率為
【答案】C
【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式，結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件逐項(xiàng)分析運(yùn)算.
【詳解】對(duì)于A：兩個(gè)球都是紅球的概率為，故A正確；
對(duì)于B：兩個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為，故B正確；
對(duì)于C：兩個(gè)球不都是紅球的對(duì)立事件為兩個(gè)球都是紅球
所以概率為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：至少有1個(gè)紅球包含兩個(gè)球都是紅球、兩個(gè)球中恰有1個(gè)紅球，
所以概率為，故D正確；
故選：C.
6．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考三模）已知口袋內(nèi)有一些大小相同的紅球、白球和黃球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率為0.4，摸出的球是紅球或黃球的概率為0.9，則摸出的球是黃球或白球的概率為（ ）
A．0.7B．0.5C．0.3D．0.6
【答案】A
【分析】設(shè)摸出紅球的概率為，摸出黃球的概率是，摸出白球的概率為，求出、的值，相加即可求解．
【詳解】設(shè)摸出紅球的概率為，摸出黃球的概率是，摸出白球的概率為，
所以，且，
所以，，
所以
故選:A.
7．（2023·四川成都·三模）世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡稱大運(yùn)會(huì)）由國際大學(xué)生體育聯(lián)合會(huì)主辦，每兩年舉辦一屆，是規(guī)模僅次于奧運(yùn)會(huì)的世界綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，第31屆大運(yùn)會(huì)將于2023年7月28日至8月8日在成都召開．為辦好本屆大運(yùn)會(huì)，組委會(huì)精心招募了一批志愿者，現(xiàn)準(zhǔn)備將甲、乙兩名志愿者安排進(jìn)“東安湖體育公園”，“鳳凰山體育公園”，“四川省體育館”工作，每人只能在一個(gè)場館工作．若每位志愿者被分到各個(gè)場館的可能性相同，則甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由乘法原理求得安排的方法總數(shù)及甲、乙兩人被安排在同一個(gè)場館的方法數(shù)，再由概率公式計(jì)算概率．
【詳解】顯然甲，乙兩人被安排在同一個(gè)場館的方法數(shù)為3，
而甲、乙兩名志愿者可安排的總方法數(shù)為，
所以所求概率為，
故選：C．
8．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在區(qū)間與內(nèi)各隨機(jī)取1個(gè)整數(shù)，設(shè)兩數(shù)之和為，則成立的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列出隨機(jī)試驗(yàn)的所有樣本空間，確定滿足的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用古典概型公式進(jìn)行計(jì)算即可
【詳解】設(shè)從區(qū)間，中隨機(jī)取出的整數(shù)分別為x，y，
則樣本空間為
，共15種情況，
不等式等價(jià)于，
設(shè)事件A表示，
則，共種情況，
所以．
故選：A.
9．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）從長度為的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出從長度為的5條線段中任取3條，共有幾種取法,再求出取出的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的情況有幾種，根據(jù)古典概型的概率公式即可得答案.
【詳解】從長度為的5條線段中任取3條，共有種取法,
而取出的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的情況有和以及,共3種,
故這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為,
故選：B
10．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有5件，其中有2件次品；第二箱內(nèi)裝有10件，其中有3件次品.現(xiàn)從兩箱中隨機(jī)挑選1箱，然后從該箱中隨機(jī)取1個(gè)零件，若取到的是次品，則這件次品是從第一箱中取出的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式可算出答案.
【詳解】設(shè)事件表示從第一箱中取一個(gè)零件，事件表示取出的零件是次品，
則，
故選：D
11．（2023·安徽·校聯(lián)考三模）如圖，用，，三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)正常工作且，至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系統(tǒng)正常工作的前提下，則只有和正常工作的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式求得系統(tǒng)正常工作和只有M和正常工作的概率，再利用條件概率公式求解即可.
【詳解】設(shè)事件A為系統(tǒng)正常工作，事件B為只有M和正常工作，
因?yàn)椴⒙?lián)元件、能正常工作的概率為，
所以，又，
所以．
即只有M和正常工作的概率為.
故選：C．
12．現(xiàn)從3個(gè)男生2個(gè)女生共5人中任意選出3人參加某校高三年級(jí)的百日誓師大會(huì)，若選出的3人中，在有1人是女生的條件下，另2人是男生的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】合理設(shè)出事件，利用條件概率公式進(jìn)行求解.
【詳解】設(shè)選出的3人中，至少有1個(gè)女生為事件，則，
設(shè)選出的3人中，有1人是女生，2人是男生為事件，則，
則在有1人是女生的條件下，另2人是男生的概率為
故選：A
13．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考二模）先后擲兩次骰子（骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)），落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A=“為奇數(shù)”，事件B=“，滿足”，則概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用古典概率公式，求出，，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果.
【詳解】用表示第1次擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)為，第2次擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)為，擲兩次骰子，基本事件的個(gè)數(shù)為：，
因?yàn)槭录嗀=“為奇數(shù)”， 事件B=“，滿足”， 記事件“為奇數(shù)，且”，所以事件包含的基本事件個(gè)數(shù)為：，事件包含的基本事件個(gè)數(shù)為：，
根據(jù)古典概率公式知，
，，
由條件概率公式知，，
故選：B.
14．在單詞“warbarrier”中不放回地任取2個(gè)字母，則在第一次取到“a”的條件下，第二次取到“r”的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在第一次取到“a”的條件下，還剩余個(gè)字母，其中“r”有個(gè)，計(jì)算得到概率.
【詳解】在第一次取到“a”的條件下，還剩余個(gè)字母，其中“r”有個(gè)，故概率為.
故選：B
15．（2023·全國·校聯(lián)考三模）某社區(qū)舉行“喜迎五一”書畫作品比賽，參加比賽的老年人占，中年人占，小朋友占，經(jīng)評(píng)審，評(píng)出一、二、三等獎(jiǎng)作品若干，其中老年人、中年人、小朋友的作品獲獎(jiǎng)的概率分別為0.6，0.2，0.1．現(xiàn)從所有作品中任取一件，則取到獲獎(jiǎng)作品的概率為（ ）
A．0.21B．0.4C．0.42D．0.58
【答案】C
【分析】利用互斥事件和獨(dú)立事件的概率求解.
【詳解】解： 現(xiàn)從所有作品中任取一件，
則取到獲獎(jiǎng)作品的概率為．
故選：C
16．市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為，且三家工廠的次品率分別為，則市場上該品牌產(chǎn)品的次品率為（ ）
A．0.01B．0.02C．0.03D．0.05
【答案】B
【分析】利用全概率公式求解即可.
【詳解】設(shè)分別表示買到一件甲、乙、丙的產(chǎn)品；表示買到一件次品，
由題意有，
由全概率公式，得

.
故選：B.
17．有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有10件產(chǎn)品，其中有2件次品.第二箱內(nèi)裝有20件產(chǎn)品，其中有3件次品，現(xiàn)從兩箱產(chǎn)品中任意選一箱，然后從該箱中任意選取1個(gè)零件，則取出的零件是次品的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用條件概率和全概率公式即得.
【詳解】記事件A“被挑出的是第一箱”，事件B"被挑出的是第二箱”,事件C“被挑出的是次品”
，，，
由全概率公式得：
故選：C
18．（2023·陜西·統(tǒng)考二模），，，四人之間進(jìn)行投票，各人投自己以外的人票的概率都是（個(gè)人不投自己的票），則僅一人是最高得票者的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】確定的得票數(shù)，分情況計(jì)算概率，求和即可.
【詳解】若僅一人是最高得票者，
則的票數(shù)為，．
若的票數(shù)為，則；
若的票數(shù)為，則，，三人中有兩人投給，剩下的一人與不能投同一個(gè)人，．
所以僅一人是最高得票者的概率為，
故選：C.名稱
條件
結(jié)論
符號(hào)表示
并（和）事件
A發(fā)生或B發(fā)生
事件A與事件B的
并事件（或和事件）
（或）
交（積）事件
A發(fā)生且B發(fā)生
事件A與事件B的
交事件（或積事件）
（或）
互斥事件
為不可能事件
事件A與事件B互斥
對(duì)立事件
為不可能事件
為必然事件
事件A與事件B互為
對(duì)立事件
考點(diǎn)一
互斥事件、對(duì)立事件與獨(dú)立事件概率的求法
考點(diǎn)二
古典概型問題
考點(diǎn)三
利用條件概率公式求解條件概率
考點(diǎn)四
利用全概率公式求解概率問題
X
1
2
3
0
P

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