1.函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)f(x)在上必有最大值與最小值．
(2)若函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；
若函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．
2.恒成立問題：
(1)恒成立；恒成立．
(2)恒成立；恒成立．
(3)恒成立；恒成立；
(4)，，．
3.常用結(jié)論
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn)．
考點(diǎn)一：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值
例1．函數(shù)的最小值是（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】C
【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性并求最值.
【詳解】由題意可得，
令，得，令，得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的最小值是．
故選:C.
例2．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.
【詳解】由題意得，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，故函數(shù)最大值為，
故選：B
考點(diǎn)二：利用導(dǎo)數(shù)解決恒能成立問題
例3．函數(shù)，若恒有，則a的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題可知的最小值大于等于0，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得.
【詳解】由題可得，
由，可得，此時(shí)單調(diào)遞減，
由，可得，此時(shí)單調(diào)遞增，
∴，
∴.
故選：C.
例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)，，都有成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先將題意轉(zhuǎn)化為對(duì)，，都有，構(gòu)造函數(shù)得到在為減函數(shù)，從而得到，恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得到答案.
【詳解】因?yàn)閷?duì)，，都有成立，
所以對(duì)，，都有.
設(shè)，則在為減函數(shù).
，
等價(jià)于，恒成立，
即，恒成立.
設(shè)，，
所以，，為減函數(shù)，
，，為增函數(shù)，
所以，所以，即.
故選：C
考點(diǎn)三：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足，則下列不等式一定成立的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，
在時(shí)恒成立，
所以在時(shí)單調(diào)遞增，
所以，即，所以，
故選:C.
例6．以下不等式在時(shí)不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】對(duì) 分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)一一研究其單調(diào)性和最值，即可判斷，對(duì)于取特值即可判斷.
【詳解】對(duì)于，令，則，當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，，即，因此正確.
對(duì)于，令，當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增，，即，因此正確.
對(duì)于，令，令，則，不滿足，因此不正確.
對(duì)于，令，當(dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增，，即，因此正確.
故選：C.
一、單選題
1．在區(qū)間上的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，然后比較極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值大小，即可得到本題答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>令，解得，或，
當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示，
因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為，
又由于，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值是-2.
故選：B
2．函數(shù)在上的最大值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到最值.
【詳解】，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
故.
故選：B
3．函數(shù)在上的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可求得最小值.
【詳解】∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，
∴函數(shù)在上的最小值為.
故選：A.
4．設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的有恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即可求解.
【詳解】，令，得或.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋?，所?br>因?yàn)閷?duì)任意的有恒成立，所以，即.
故選：C
5．已知函數(shù)，存在x0>0，使得f（x0）≤0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（2，＋∞）B．（－∞，－3）
C．（－∞，1]D．[3，＋∞）
【答案】C
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為有解，令利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可.
【詳解】存在x0>0，使得f（x0）≤0有解，
即有解，即，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
，
故選：C.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意時(shí)，求出可得答案.
【詳解】設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，，
不等式對(duì)任意恒成立可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意時(shí)，所以，解得.
故選：C.
7．已知命題；命題.則（ ）
A．是假命題B．是真命題
C．是假命題D．是真命題
【答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，證明對(duì)恒成立得命題為真命題，再根據(jù)命題為假命題，判斷各選項(xiàng)即可得答案.
【詳解】解：令，，
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以，，故對(duì)恒成立，
所以，命題為真命題；
由于，故命題為假命題.
所以，，，為真命題，為假命題.
故選：D
8．已知實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到，舉反例得到A錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到B錯(cuò)誤；計(jì)算得到C錯(cuò)誤；設(shè)，，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性計(jì)算最值得到D正確，得到答案.
【詳解】，故，
對(duì)選項(xiàng)A：取，，，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B：，故，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C：即，不成立，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：，設(shè)，，即，設(shè)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，，故，正確.
故選：D
二、解答題
9．已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)在上的最小值是，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系求解即可；
(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
所以切點(diǎn)為，
，則，
所以切線方程為，即.
（2），，
若，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，不滿足題意；
若，令，解得，令，解得，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以，解得，滿足題意；
若， 則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，解得，不滿足題意，
綜上，.
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上的最大值為20，求函數(shù)在上的最小值.
【答案】-7
【分析】對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，可求出函數(shù)在上的最大值為，可求出的值，進(jìn)而求出函數(shù)在上的最小值
【詳解】，則，
令，得，
和的變化情況如下表：
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在上的最大值為，
所以，解得，
所以，
由上面可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
又因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在上的最小值為.
11．已知函數(shù)在處取得極小值-2.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，求解即可.
（2）問題等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)法求得的最大值和最小值，從而可以求解.
【詳解】（1），
因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值-2，
所以，即，解得．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，在處取到極小值，
所以，.
（2）由（1）可知，，則
令，解得或，
而，所以當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
又
所以當(dāng)時(shí)，.
若，都有成立，
只需，所以.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
12．已知函數(shù).
(1)若，求的最值；
(2)若對(duì)任意，都有成立，求的取值范圍.
【答案】(1)最小值為，無最大值
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，在分析最值即可求解；
（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
在處取得極小值，也是最小值為，無最大值.
（2）由，
得，
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，
函數(shù)，
設(shè)，
則在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，
，
即的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.
13．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模），
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明；
(3)證明對(duì)于任意正整數(shù)，都有.
【答案】(1)，在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解單調(diào)區(qū)間即可.
（2）根據(jù)的單調(diào)性得到，即可證明.
（3）當(dāng)且時(shí)，有，從而得到，即可得到，再化簡(jiǎn)即可證明.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>①若，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
②若，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即證.
（3）由（2）知當(dāng)且時(shí)，，
對(duì)于任意正整數(shù)，令得，
所以
.
即證：.
14．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)討論最值即可求解.
【詳解】（1）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，
，
即，
(i)若，
則在定義域上恒成立，
此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；
(ii) 若，
令，即，解得,
令，即，解得,
所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.
綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，
要證明，只用證明，
令，，
令，即，可得方程有唯一解設(shè)為，且，
所以，
當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下，
所以，
因?yàn)椋驗(yàn)?，所以不取等?hào)，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
得證.
考點(diǎn)一
利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值
考點(diǎn)二
利用導(dǎo)數(shù)解決恒能成立問題
考點(diǎn)三
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
0
+
0
-
單調(diào)遞增
2
單調(diào)遞減
2
0
極小值
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增

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