一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的.
1. 已知集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集的運算求解即可；
【詳解】由題意可得 .
故選：C.
2. 函數(shù) 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù) 的周期概念求解．
【詳解】由已知最小正周期 ，
故選：C．
3. 已知命題 ，命題 ，則命題 是命題 的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指對函數(shù)的性質，結合充分，必要條件，即可判斷選項.
【詳解】因為函數(shù) 和 都是增函數(shù)，
若命題 成立，則 ，則 ，
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所以命題 是命題 的充分條件，
反之，若命題 成立，則 ，但當 是非正數(shù)時，不等式?jīng)]有意義 ，
所以命題 不是命題 的必要條件，
所以命題 是命題 的充分不必要條件.
故選：A
4. 已知 ， ， ，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù) 與 的大小關系比較即可
【詳解】依題意得， ，
，
，所以 ，
故 ，
故選：B.
5. 已知函數(shù) 是定義在 上的偶函數(shù)，且 在 上單調遞減，若 ，則
實數(shù) 的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函數(shù)的單調性可得 在 上單調遞增，然后將不等式化簡，結合對數(shù)函數(shù)的單調性
求解，即可得到結果.
【詳解】因為定義在 R 上的偶函數(shù) 在 上單調遞減，則 在 上單調遞增，
所以不等式 即 ，即 ，解得 ，
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所以實數(shù) 的取值范圍為 ．
故選：C
6. 已知 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用兩角和差公式可得 ，再利用倍角公式結合齊次化問題分析求解.
【詳解】因為 ，則 ，可得 ，
所以 .
故選：B.
7. 設函數(shù) ，若 的圖象經(jīng)過點 ，且 在 上恰有
2 個零點，則實數(shù)ω的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù) 的圖象經(jīng)過的點及 范圍求出 ，再根據(jù) x 的范圍得 ，結
合正弦函數(shù)的性質，列出相應不等式，即可求得 范圍，即可得答案.
【詳解】因為 的圖象經(jīng)過點 ，所以 ，又 ，所以 ，
則函數(shù) ，當 時， ，
因為 在 上恰有 2 個零點，
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所以 ，所以 ，即實數(shù)ω的取值范圍是 .
故選：B.
8. 已知 對 恒成立，則 的最小值為（ ）
A. 4 B. 6 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先分析函數(shù) 在區(qū)間 的零點和正負區(qū)間，再根據(jù)不等式分析函數(shù)
的零點，利用韋達定理表示 關系，再結合基本不等式，即可求解.
【詳解】當 ， ，則 ，
當 ， ，
當 ， ， ，
當 ， ，
當 ， ， ，
若 對 恒成立，
則 ，并且函數(shù) 的兩個零點分別是 1 和 7，
則 ，則 ， ， ，
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所以 ，
當 ， ，即 時，等號成立，
所以 的最小值為 6.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是轉化為分析兩個函數(shù) 和 的零點.
二、選擇題：本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的四個選項中，有多項符
合題目要求，全部選對的得 6 分，選對但不全的得部分分，有選錯的得 0 分.
9. 下列選項中正確 是（ ）
A. 若 ，則 B. 若 ，則
C. 若 ，則 D. 若 ，則
【答案】AD
【解析】
【分析】由不等式性質判斷 A，取特殊值判斷 BC，利用作差法判斷 D.
【詳解】由不等式的性質知， ，則 ，故 A 正確；
當 時， ，但 ，故 B 錯誤；
當 時， ，但 ，故 C 錯誤；
因為 ， ，
所以 ， ，所以 ，即 ，
故 D 正確.
故選：AD
10. 下列各式中，計算結果為 的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用兩角和的正弦公式可判斷 A 選項；利用二倍角的余弦公式可判斷 B 選項；利用兩角差的正切
公式可判斷 C 選項；利用二倍角的正切公式可判斷 D 選項.
【詳解】對于 A 選項， ；
對于 B 選項， ；
對于 C 選項， ；
對于 D 選項， .
故選：AC.
11. 在人工神經(jīng)網(wǎng)絡中，單個神經(jīng)元輸入與輸出的函數(shù)關系可以稱為激勵函數(shù)．雙曲正切函數(shù)是一種激勵函
數(shù)．定義雙曲正弦函數(shù) ，雙曲余弦函數(shù) ，雙曲正切函數(shù) ．則
（ ）
A. 雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù) B. 雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)
C. 雙曲正切函數(shù)是增函數(shù) D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】對 A、B：借助導數(shù)求導后即可得；對 C：借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)將雙曲正切函數(shù)化簡
后，結合指數(shù)函數(shù)性質即可得；對 D：借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，分別將等式左右兩邊化簡即可
得.
【詳解】對 A：令 ，
則 恒成立，故雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)，故 A 正確；
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對 B：令 ，
則 ，由 A 知， 為增函數(shù)，又 ，
故當 時， ，當 時， ，
故 在 上單調遞減，在 上單調遞增，故 B 錯誤；
對 C： ，
由 在 上單調遞增，且 ，
故 是增函數(shù)，故 C 正確；
對 D：由 C 知 ，則 ，
，
故 ，故 D 正確.
故選：ACD.
三、填空題：本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，則 __________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù) ，表示出 ，根據(jù)對數(shù)的運算即可求解.
【詳解】因為 ，所以 ，
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所以 .
故答案為：2.
13. 已知函數(shù) ，則函數(shù) 的值域為___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方關系降冪，再利用二倍角公式化簡后，結合正弦函數(shù)值域與二次函數(shù)性質得值域．
【詳解】
，
又 ，
所以 ，
故答案為： ．
14. 設函數(shù) ，若 恒成立，求 的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】設 ， ，問題轉化為這兩個函數(shù)在定義域內同正同負或同為 0，結
合函數(shù)圖象得出它們的圖象與 軸交點重合，從而得出 關系，代入 ，再由基本不等式得最小值．
【詳解】由已知 的定義域是 ，
設 ， ，顯然它們在定義域內都是增函數(shù)，
因此 恒成立，則 與 在定義域內同正同負或同為 0，
作出 的圖象，要求 ，只要它們的圖象與 軸的交點重合，如圖所示，
由 ，由 ，
所以 ， ，
所以 ，當且僅當 ，即 時等號成立，
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故答案為：
四、解答題：本大題共 5 小題，共 77 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知 ，求下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助誘導公式可得 ，再借助弦化切后計算即可得；
（2）結合三角函數(shù)基本關系，將弦化切后計算即可得.
【小問 1 詳解】
，即 ，
則 ；
【小問 2 詳解】
.
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16. 已知函數(shù) ， ．
（1）求函數(shù) 的最小正周期和單調遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值和最大值，并求出取得最值時 的值；
（3）求不等式 的解集．
【答案】（1） ；單調遞減區(qū)間是 ，
（2） ， ； ，
（3）
【解析】
【分析】（1）由 的性質求周期，結合余弦函數(shù)單調性得減區(qū)間；
（2）求出 的范圍，再結合余弦函數(shù)的性質得最值；
（3）由余弦函數(shù)的性質解不等式．
【小問 1 詳解】
的最小正周期 ，
當 ，即 ， 時， 單調遞減，
∴ 的單調遞減區(qū)間是 ， .
【小問 2 詳解】
∵ ，則 ，
故 ，
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∴ ，此時 ，即 ，
，此時 ，即 ．
【小問 3 詳解】
，即 ，
所以 或 ， ，
即 或 ， ，
所以不等式的解集為 ．
17. 已知函數(shù)
（1）求關于 的不等式 的解集；
（2）若函數(shù) 在 時存在零點，求實數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）原不等式等價于 ，分 ， 與 三種情況解不等式即可.
（2）原命題等價于 有實根，令 ，令 ，
， ，利用對勾函數(shù)的性質求得 在 上的值域即可得到 a 的取值范圍.
【小問 1 詳解】
由 得 ，即 ，
①當 時，不等式的解集為 ；
②當 時，不等式的解集為 ；
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③當 時，不等式的解集為
【小問 2 詳解】
因為 在 時存在零點，
在 時存在實根，
即方程 有實根，
令 ，
令 ， ， ，
由對對勾函數(shù)性質知， 上單調遞減，在 單調遞增.
， ， ，
所以 .
18. 已知函數(shù) （ ， ， ）是定義在 上的奇函數(shù).
（1）求 和實數(shù) b 的值；
（2）當 時，若 滿足 ，求實數(shù) t 的取值范圍；
（3）若 ，問是否存在實數(shù) m，使得對定義域內的一切 t，都有 恒成立？
【答案】（1） ，
（2）
（3）存在
【解析】
【分析】（1）直接代入計算出 ，由奇函數(shù)的定義求出 值；
（2）利用奇函數(shù)的性質變形不等式，再由單調性化簡后求解；
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（3）假定存在實數(shù) m，對定義域內的一切 ，都有 恒成立，利用奇偶性單調性變
形化簡不等式轉化為二次不等式恒成立（注意定義域），分別求解后求交集得出．
【小問 1 詳解】
依題意， ，
又 是 上的奇函數(shù)，則 ，即 ，
亦即 ，整理得 ，于是 ，而 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
由（1）知， ，
顯然函數(shù) 在 上單調遞減，
由奇函數(shù)性質及 ，得 ，
當 時，函數(shù) 在 上單調遞增，則 在 上單調遞減，
不等式化 ，解得 ，
【小問 3 詳解】
假定存在實數(shù) m，對定義域內的一切 ，都有 恒成立，
即 恒成立，
當 時，由（2）知函數(shù) 在 上單調遞增，
不等式化為 ，整理得 ，
于是有 對任意 恒成立，則 ，
當 時， ，因此 ；
有 對任意 恒成立，設 ，
①當 時，函數(shù) 的圖象開口向上，對稱軸 ，
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（i）當 ，即 時，必有 ，則 ；
（ii）當 ，即 時， 在 上恒成立，則
；
（iii）當 ，即 時， 上恒成立，則 ；
②當 時， ，不滿足 在 上恒成立，
綜上得 且 ，
所以存在 使得對定義域內的一切 ，都有 恒成立.
19. 已知函數(shù) ，其中 t 為常數(shù).
（1）當 時，若 ，求 x 的值；
（2）設函數(shù) 在 上有兩個零點 m，n，
①求 t 的取值范圍；
②證明： .
【答案】（1）答案見解析
（2）① ；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）將 代入后可得 ，結合 范圍計算即可得解；
（2）①借助換元法，結合二次函數(shù)的性質計算即可得；②由韋達定理可得 ，
，結合三角函數(shù)在 上的單調性與①中所得計算有 ，即可得
，即可得證.
【小問 1 詳解】
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時， 即為 ， ，
或
所以 或 ， ，
【小問 2 詳解】
①令 ，因為 ，所以 ，則 ，
則 ，
由 在 上單調遞增，
故關于 的方程 在 上有兩個不相等實數(shù)根，
即有 ，
解得 ，即 的取值范圍為 ；
②令 ， ，
則 ， 為關于 的方程 的兩根，
則有 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
即 ，
即有 ，由①知 ，
故 ，又 ，故 ，
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由于 ，則 ，故 ，
又 在 上單調遞增，故 ，
即 .
【點睛】方法點睛：與 有關的零點問題，可能通過換元法轉化為一元二次方程的根的分布問題，
而要證明零點滿足的不等式，需要找出兩個零點之間的關系及其中一個零點的范圍，然后利用函數(shù)的性質
如單調性證明出結論．
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