1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由可得或，
所以，
故選：D
2. 已知命題，則（ ）
A. B.
C. D. 時(shí)，為真命題
【正確答案】B
【分析】根據(jù)全稱命題的否定求解即可.
【詳解】命題，
故，所以A選項(xiàng)和C選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，方程 的，所以方程有解，
為假命題，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B
3. （ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則化簡求值.
【詳解】.
故選：C
4. 函數(shù) 的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】本題首先根據(jù)判斷函數(shù)的奇偶性排除,再根據(jù),對應(yīng),排除,進(jìn)而選出正確答案.
【詳解】由函數(shù) ， 可得，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又 ， 所以是偶函數(shù)，
其圖象關(guān)于軸對稱， 因此 錯(cuò)誤；
當(dāng) 0時(shí)，， 所以錯(cuò)誤．
故選:
5. 若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.
【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，，而，
故，
故選：D
6. 已知函數(shù)，若，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由，可求的值.
【詳解】函數(shù)，，
，
所以.
故選：C
7. “”是“滿足對任意都有成立”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求得，利用包含關(guān)系分析充分、必要條件.
【詳解】若，不妨令，則，
則，即，可知函數(shù)單調(diào)遞減，
可得，解得，
因?yàn)槭堑恼孀蛹?br>所以“”是“滿足對任意都有成立”的充分不必要條件.
故選：A.
8. 已知是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞增，，且函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，則不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】由平移知識得出是奇函數(shù)，進(jìn)而由單調(diào)性畫出函數(shù)，的簡圖，結(jié)合圖像解不等式即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，是奇函數(shù)，
則等價(jià)于.
函數(shù)簡圖如下圖所示：

由平移變換可知，函數(shù)的簡圖如下圖所示：

等價(jià)于或.
由圖可知，的解集為.
故選：D
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說法正確是（ ）
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 對任意實(shí)數(shù)，都有
D. 若二次函數(shù)，實(shí)數(shù)，則
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)作差法，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對于A，，由于，，所以，故，故A錯(cuò)誤，
對于B, ，由于，，所以，故，B正確，
對于C，，故C正確，
對于D,
，
故，D正確，
故選：BCD
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 在上單調(diào)遞增
B. 的值域?yàn)?br>C. 不等式的解集為
D. 若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
【正確答案】ACD
【分析】探討指數(shù)位置的函數(shù)性質(zhì)，再利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)AB條件分析判斷AB；解指數(shù)不等式判斷C；利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷D.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上的值域?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，A正確，B錯(cuò)誤；
不等式，解得，C正確；
依題意，函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞減，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確.
故選：ACD
11. 設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 函數(shù)為偶函數(shù)
C. 函數(shù)的最小值為0
D. 當(dāng)時(shí)，，則a的取值范圍為
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)函數(shù)新定義結(jié)合函數(shù)解析式，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷A，B，C；由圖象得出時(shí)函數(shù)的最大值，結(jié)合不等式恒成立即可求得a的范圍，判斷D.
【詳解】在同一坐標(biāo)系作出和的圖象如圖所示，

聯(lián)立可得，即得圖中，由對稱性可得，
則，其圖象是圖中實(shí)線部分．
則，故A錯(cuò)誤；
由圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)的最小值為0，無最大值，B，C正確；
當(dāng)時(shí)，，由于，所以，D錯(cuò)誤，
故選：BC
12. 已知不等式對恒成立，則的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ABC
【分析】由題意先對不等式左邊變形并不斷利用基本不等式求出它的最小值，注意取等條件是否成立，然后將恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)換，即可求出參數(shù)的范圍，最后對比選項(xiàng)即可求解.
【詳解】由題意
，
第一個(gè)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，第二個(gè)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，
綜上所述：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；
又不等式對恒成立，等價(jià)于，
解得，對比選項(xiàng)可知的值可以是或或.
故選：ABC.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決問題的關(guān)鍵是將不等式左邊變形，利用基本不等式求最小值，從而可將恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)換，進(jìn)而順利求解，靈活的變形技巧是必不可少的，當(dāng)然利用基本不等式求最小值時(shí)，要注意驗(yàn)證取等條件.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，則的值為______.
【正確答案】34
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算，平方即可求解.
【詳解】由可得，
進(jìn)而，
故34
14. 已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則a的取值范圍為________.
【正確答案】
【分析】利用冪函數(shù)的定義及單調(diào)性，求出參數(shù)，再借助單調(diào)性解不等式即得.
【詳解】冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，
不等式化為，顯然函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
因此，解得，
所以a的取值范圍為.
故
15. 已知函數(shù)在上的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為_____.
【正確答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性討論最值取值情況即可得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】函數(shù)的對稱軸為直線，因?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，，得（舍去），
當(dāng)時(shí)，，得，
綜上，實(shí)數(shù)的值是.
故答案為.
16. 已知圖象連續(xù)不斷函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，若對任意的，，當(dāng)時(shí)，總有，則滿足不等式的a的取值范圍為_______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性以及奇偶性，即可根據(jù)單調(diào)性求解.
【詳解】由，，當(dāng)時(shí)，可得，
故函數(shù)在單調(diào)遞減，
令，由于在單調(diào)遞減，由于在單調(diào)遞減，
又，所以為奇函數(shù)，故在單調(diào)遞減，
所以可得，即，
所以，解得，
故
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知集合，集合.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）設(shè)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)不等式化簡集合，由一元二次的解化簡集合，即可根據(jù)并集運(yùn)算求解，
（2）根據(jù)子集的包含關(guān)系，即可求解.
【小問1詳解】
,
當(dāng)時(shí),,
.
小問2詳解】
，,又，，
，，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為
18. 若關(guān)于的不等式的解集是.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值.
【正確答案】（1）1 （2）4
【分析】（1）利用不等式解集就是方程等于零的兩根求出即可；
（2）利用基本不等式求解即可.
【小問1詳解】
不等式的解集是，
和是方程的兩個(gè)根， ,.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即（舍），時(shí)取等號，故.
19. 已知函數(shù)增函數(shù)，且.
（1）若，，求的最小值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值恰為，而最大值恰為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【正確答案】（1）16 （2）存在，，
【分析】（1）根據(jù)以及函數(shù)單調(diào)性可求解，進(jìn)而又基本不等式乘“1”法即可求解，
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，化簡可得，是方程的兩個(gè)根，即可一元二次方程的根求解.
【小問1詳解】
，
，
，
或，
又函數(shù)是增函數(shù)，
，
，.
由，得，
，又，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故的最小值為.
【小問2詳解】
為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，
由，得 ，即，
，是方程的兩個(gè)根，
，
，，
存在， 滿足要求.
20. 已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)和.
（1）求證：是奇函數(shù)，并判斷的單調(diào)性（不需要證明）；
（2）若，使得不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）證明見解析，增函數(shù)
（2）
【分析】（1）把圖象上的點(diǎn)代入函數(shù)解析式，求得，得到解析式，由定義法證明函數(shù)是奇函數(shù)，由解析式判斷的單調(diào)性；
（2）由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，，使得不等式都成立，等價(jià)于在上恒成立，設(shè)，由單調(diào)性求 最小值即可.
【小問1詳解】
函數(shù)的圖象過點(diǎn)和，
則有，解得，所以，
函數(shù)定義域?yàn)镽，，
所以函數(shù)是奇函數(shù).
由函數(shù)和都是R上的增函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，
不等式等價(jià)，
可得，
若，使得不等式都成立，
等價(jià)于，恒成立，即，在上恒成立，
設(shè)，，且，
有，
由，則，，，
則，即，故在上單調(diào)遞減，
，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
21. 先看下面的閱讀材料：已知三次函數(shù)（）， 稱相應(yīng)的二次函數(shù)為的“導(dǎo)函數(shù)”，研究發(fā)現(xiàn)，若導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；若導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞減.例如：函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)，由，得， 由，得或，所以三次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減. 結(jié)合閱讀材料解答下面的問題：

（1）求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）某市政府欲在文旅區(qū)內(nèi)如圖所示的矩形地塊中規(guī)劃出一個(gè)兒童樂園（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形（線段和為兩條底邊，），已知，，，其中曲線是以為頂點(diǎn)、為對稱軸的拋物線的一部分.
①設(shè)，求出梯形的面積與的解析式；
②求該公園的最大面積.
【正確答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減
（2）①（）；②
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)區(qū)間；
（2）由導(dǎo)數(shù)研究最值.
【小問1詳解】
的導(dǎo)函數(shù)為,
由，得， 由，得或，
所以三次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】

①以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線所在拋物線的方程為（），
拋物線過，，得，曲線所在拋物線的方程為，
又，，則所在直線為，（），
則，，
公園的面積（），
②由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取得最大值．
故該公園的最大面積為．
22. 已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)解，，，求的取值范圍.
【正確答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
【分析】（1）直接由分段函數(shù)定義、二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
（2）首先分類討論求出滿足題意的參數(shù)的取值范圍，然后再根據(jù)求根公式、韋達(dá)定理將表示成的函數(shù)，從而即可得解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，方程的判別式，
可知方程無解，所以此時(shí)不符合題意；
當(dāng)時(shí)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且在上遞增，
所以時(shí)，有個(gè)根，且時(shí)，有個(gè)根，
所以只需滿足，解得，綜上：取值范圍是.
不妨設(shè)，則，
所以
，
因?yàn)?，則，可得，
所以.
故的取值范圍為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問比較常規(guī)，直接結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分區(qū)間討論即可，第二問的關(guān)鍵是首先要求出的范圍，以及將所求表示成的函數(shù)，在計(jì)算過程中，靈活的變形技巧是必不可少的，這一點(diǎn)平時(shí)練習(xí)多加注意.

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