數(shù)列的概念與簡單表示方法
1．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．若，則是等差數(shù)列
B．若，則是等差數(shù)列
C．若，則是等比數(shù)列
D．若，則是等比數(shù)列
【答案】B
【分析】根據(jù)題意給出的條件進(jìn)行化簡，并結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列知識進(jìn)行逐項求解判斷.
【詳解】對于A項：，得：，
因為：，所以得：，
所以：為等差數(shù)列，故A項正確；
對于B項：，，所以：，，
不滿足等差數(shù)列，故B項錯誤；
對于C項：，，所以：，故：，
數(shù)列為等比數(shù)列，故C項正確
對于D項：，得：，
因為：，所以：，即：，
所以：為等比數(shù)列，故D項正確.
故選：B.
2．（2024·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選題）對于給定的數(shù)列，如果存在實數(shù)，使得對任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，數(shù)列滿足，則（ ）
A．等差數(shù)列是“線性數(shù)列”B．等比數(shù)列是“線性數(shù)列”
C．若是等差數(shù)列，則是“線性數(shù)列”D．若是等比數(shù)列，則是“線性數(shù)列”
【答案】ABD
【分析】對A,B根據(jù)“線性數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷，C，找特例，代入即可判斷；D，結(jié)合定義，設(shè)出等比數(shù)列，代入求的，再結(jié)合線性數(shù)列的定義，看是否存在實數(shù)即可.
【詳解】對A，數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，
滿足“線性數(shù)列”的定義，A正確；
對B，數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，
滿足“線性數(shù)列”的定義，B正確；
對C，是等差數(shù)列，設(shè)，
則，若是“線性數(shù)列”，
則，則應(yīng)有，
故不是“線性數(shù)列”，C錯誤；
對D，是等比數(shù)列，設(shè)首項為，公比為，
若時，，則，滿足“線性數(shù)列”的定義；
若時，由，得，
，
累加的，
則，
經(jīng)驗證當(dāng)時，滿足，則，
若是“線性數(shù)列”，則存在實數(shù)，使得成立，
則，
，
，
則，則，
則是“線性數(shù)列”，D正確.
故選：ABD
等差數(shù)列
3．（2024·浙江臺州·統(tǒng)考一模）（多選題）已知等差數(shù)列中，，公差為，，記為數(shù)列的前n項和，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．若，則
D．若，則
【答案】BCD
【分析】由為等差數(shù)列，先求出，由可判斷選項A；對于選項B，分為奇數(shù)和偶數(shù)分別求的前項和，從而可判斷; 選項C，先得出，從而得出，，再分為奇數(shù)和偶數(shù)分別求的前項和；對于選項D，由，求出，從而可求出的前項的和.
【詳解】由為等差數(shù)列，，公差為，則
當(dāng)時，，則選項A不正確.
當(dāng)為偶數(shù)時，
當(dāng)為奇數(shù)時，
故，所以選項B正確.
當(dāng)為偶數(shù)時，
當(dāng)為奇數(shù)時，
所以， 故選項C正確.
所以
，所以選項D正確
故選：BCD
4．（2024·衢州、麗水、湖州·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列滿足.
(1)若，求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，，且是等差數(shù)列，記是數(shù)列的前項和.對任意，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）設(shè)出公差，得到方程，求出公差，得到通項公式；
（2）法一：設(shè)，的公差為，代入題目條件變形后對照系數(shù)得到方程組，求出，得到，，利用放縮法和裂項相消求和得到，得到整數(shù)的最小值；
法二：記的公差為，由，，結(jié)合求出，進(jìn)而得到，進(jìn)而求出，進(jìn)而得到，利用放縮法和裂項相消求和得到，得到整數(shù)的最小值.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，得，
故或.
（2）法一：由為等差數(shù)列，可設(shè)，記的公差為，
故.
所以，顯然，，
平方得，該式對任意成立，
故，解得.
故.
因此，
一方面，，
，
故，
另一方面，
.
故整數(shù)的最小值為3.
法二：記的公差為，
則，，，
上式平方后消去可得，
因為是等差數(shù)列，所以，故，
將其代入中，得，
解得或，
當(dāng)時，，解得，
故，
，故，
當(dāng)時，，此時無意義，舍去，
因此，
一方面，，
，
故，
另一方面，
.
故整數(shù)的最小值為3.
【點睛】數(shù)列不等式問題，常常需要進(jìn)行放縮，放縮后變形為等差數(shù)列或等比數(shù)列，在結(jié)合公式進(jìn)行證明，又或者放縮后可使用裂項相消法進(jìn)行求和，常常使用作差法和數(shù)學(xué)歸納法，技巧性較強(qiáng).
5．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)記為數(shù)列前項的乘積，若，求的最大值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用，和成等比數(shù)列結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列知識，從而求出首項和公差，從而求解.
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果并結(jié)合題意進(jìn)行分情況討論，從而求解.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，由，得：；
由成等比數(shù)列，得：，即：，整理得：.
由，解得：或.
所以：的通項公式為或.
（2）因為，所以：，
得：當(dāng)時，；當(dāng)時，.
從而，
又因為：，所以：的最大值為.
故的最大值為.
6．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考一模）等差數(shù)列的前項和為，，.
(1)求；
(2)記為數(shù)列的前項和，若，且是以2為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可得公差，進(jìn)而可求解，
（2）方法一根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列方程即可求解，進(jìn)而可求解，進(jìn)而根據(jù)的關(guān)系即可求解，方法二，利用待定系數(shù)法，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)的運算即可得，即可利用根據(jù)的關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）解一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
由可得，即，
解得，，故.
解二：由得，故，則
故，則.
（2）解一：由題意知，
則，移項平方得，則
可得是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，則，
可得，則，
當(dāng)時，，故
，
故.
解二：由題意可設(shè)（是常數(shù)），
則，平方相減可得，
則，可得，
則，
當(dāng)時，，故
，
故.
等比數(shù)列
7．（2023上·浙江杭州·高三統(tǒng)考期中）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，則“”是“為等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】應(yīng)用等比中項的性質(zhì)，由為等比數(shù)列，解出值，即可判斷.
【詳解】依題，“為等比數(shù)列”，所以，
得，化簡得，
解得，則“”是“為等比數(shù)列”的充要條件.
故選：C
8．（2024·浙江寧波·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（ ）
A．的最小值為50B．的最大值為50
C．的最小值為10D．的最大值為10
【答案】C
【分析】寫出的表達(dá)式，利用基本不等式即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，
在等比數(shù)列中，，
設(shè)公比為，則，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
∴的最小值為10，
故選：C.
9．（2024·衢州、麗水、湖州·統(tǒng)考一模）已知是等比數(shù)列的前項和，且，，則（ ）
A．11B．13C．15D．17
【答案】C
【分析】由是等比數(shù)列的前項和得成等比數(shù)列，結(jié)合，列方程求解即可．
【詳解】因為是等比數(shù)列，是等比數(shù)列的前項和，
所以成等比數(shù)列，且，
所以，
又因為，，
所以，即，解得或，
因為，
所以，
故選：C．
10．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列滿足且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】利用等比數(shù)列，將各項均用表示，然后構(gòu)造函數(shù)，分類討論和兩種情況下的單調(diào)性，進(jìn)而確定為使方程有解，的取值范圍.
【詳解】因為為等比數(shù)列，所以.
令，
則.
因為，所以.
當(dāng)時，，此時恒成立，在上單調(diào)遞增，
，所以一定有解，即，使得成立.
當(dāng)時，，則，此時單調(diào)遞增；，則，此時單調(diào)遞減.
為使有解，則，
整理得，解得.
又，所以.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：
11．（2024·浙江臺州·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和為，若，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式求，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）由（1）可得：，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.
【詳解】（1）設(shè)的公比為，
因為，即，
且，可得，解得或（舍去）．
又因為，解得，
所以.
（2）由（1）可得：，
所以
，
所以.
數(shù)列求和
12．（2023上·浙江杭州·高三統(tǒng)考期中）設(shè)數(shù)列的首項，前項和滿足：．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足：，．求．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義證明等比數(shù)列即可；
（2）分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)，分別應(yīng)用裂項相消求和即可.
【詳解】（1）由；令，得，
故，；
因為，其中，，．
所以當(dāng)時，，
兩式相減得：，
整理得：，．
綜上，數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
（2）由題意得：，，
，，
故．
當(dāng)為偶數(shù)時，
當(dāng)為奇數(shù)時，
綜上：
13．（2024·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)正項數(shù)列的前項和為，若．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若不等式對任意正整數(shù)均成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 應(yīng)用得出等差數(shù)列再求數(shù)列通項公式即可;
（2）應(yīng)用裂項相消求和結(jié)合不等式恒成立求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，，所以；
當(dāng)時，且，兩式相減并整理可得．
因為為正項數(shù)列，所以，所以．
（2）有（1）可知，
，
，
故，可化為，
因為恒成立，所以．
14．（2024·浙江寧波·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)m，n都有
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，可得，用累加法即可求出數(shù)列的通項公式.
（2）由題意分是偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，當(dāng)為偶數(shù)時，可用分組求和以及等差數(shù)列前項和公式，當(dāng)為奇數(shù)時，利用n為偶數(shù)的結(jié)論即可求解.
【詳解】（1）由對任意整數(shù)均有，取，得，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，符合上式，所以.
（2）當(dāng)為偶數(shù)時，
，
當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，
若，則，
且當(dāng)時，滿足.
綜上所述：.

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