等差數(shù)列
1．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知有100個(gè)半徑互不相等的同心圓，其中最小圓的半徑為1，在每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長(zhǎng)都為2，則這100個(gè)圓中最大圓的半徑是（ ）
A．8B．9C．10D．100
2．（2024·廣東深圳·?？家荒＃┮阎獮榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，，則（ ）
A．60B．120C．180D．240
3．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考一模）已知是公差不為0的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，若，則下列關(guān)系中一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃?shù)列中，，，則（ ）
A．210B．190C．170D．150
5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎炔顢?shù)列（公差不為0）和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，如果關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解，那么以下1003個(gè)方程中，有實(shí)數(shù)解的方程至少有（ ）個(gè).
A．499B．500C．501D．502
6．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）生命在于運(yùn)動(dòng)，某健身房為吸引會(huì)員來健身，推出打卡送積分活動(dòng)（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會(huì)比前一天多2分．若某天未打卡，則當(dāng)天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始．某會(huì)員參與打卡活動(dòng)，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日D．3月8日或3月13日
7．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）一個(gè)正方形網(wǎng)格由99條豎線和99條橫線組成，每個(gè)最小正方形格子邊長(zhǎng)都是1．現(xiàn)在網(wǎng)格中心點(diǎn)處放置一棋子，棋子將按如下規(guī)則沿線移動(dòng)：．，點(diǎn)到的長(zhǎng)度為1，點(diǎn)到的長(zhǎng)度為2，點(diǎn)到的長(zhǎng)度為3，點(diǎn)到的長(zhǎng)度為4，……，每次換方向后的直線移動(dòng)長(zhǎng)度均比前一次多1，變換方向均為向右轉(zhuǎn)．按此規(guī)則一直移動(dòng)直到移出網(wǎng)格為止，則棋子在網(wǎng)格上移動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度是（ ）
A．4752B．4753C．4850D．4851
8．（2024·河北·校聯(lián)考一模）蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”. 畫法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段，作一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)B為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（第一段圓弧），再以點(diǎn)C為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為（ ）

A．B．C．D．
9．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
等比數(shù)列
10．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，均為正整數(shù)，設(shè)甲：；乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分不必要條件
B．甲是乙的必要不充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲是乙的既不充分也不必要條件
11．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．36B．54C．28D．42
12．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考一模）謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形是一種分形，它的構(gòu)造方法如下：取一個(gè)實(shí)心等邊三角形（如圖1），沿三邊中點(diǎn)的連線，將它分成四個(gè)小三角形，挖去中間小三角形（如圖2），對(duì)剩下的三個(gè)小三角形繼續(xù)以上操作（如圖3），按照這樣的方法得到的三角形就是謝爾賓斯基三角形．如果圖1三角形的邊長(zhǎng)為2，則圖4被挖去的三角形面積之和是（ ）

A．B．C．D．
13．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求證：.
14．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．
15．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)，且時(shí)，．
(1)證明：為等比數(shù)列；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求正整數(shù)的最小值．
16．（2024·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┘s數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個(gè)正約數(shù)，即為.
(1)當(dāng)時(shí)，若正整數(shù)的個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫出一個(gè)的值；
(2)當(dāng)時(shí)，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；
(3)記，求證：.
數(shù)列綜合
17．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖所示的1，5，12，22被稱為五邊形數(shù)，將所有的五邊形數(shù)從小到大依次排列，則其第8個(gè)數(shù)為（ ）
A．51B．70C．92D．117
18．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考一模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 （ ）
A．B．C．D．
19．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．3B．2或C．3或D．2
20．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）函數(shù)的定義域?yàn)?，?shù)列滿足，則“函數(shù)為減函數(shù)”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
21．（2024·江西吉安·吉安一中?？家荒＃┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和分別為，記，則數(shù)列的前2021項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，則 ．
23．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，記，則 ；若數(shù)列滿足，則的最小值是 ．
24．（2024·廣東深圳·校考一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足對(duì)任意都成立，則能使成立的正整數(shù)的最小值為 .
25．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
26．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┰O(shè)，有三個(gè)條件：①是2與的等差中項(xiàng)；②，；③．在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題的橫線上，再作答．（如果選擇多個(gè)條件分別作答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分）
若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且______．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
27．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，求使得成立的的最小值．
28．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
29．（2024·河北·校聯(lián)考一模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)令，為數(shù)列的前項(xiàng)積，證明：.
30．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．
(1)求；
(2)已知且，若數(shù)列是等比數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求使得成立的的取值范圍．
31．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．
數(shù)列新定義
32．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的和除以與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做“和差等比數(shù)列”．已知是“和差等比數(shù)列”，，則滿足使不等式的的最小值是（ ）
A．8B．7C．6D．5
33．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程．已知大衍數(shù)列滿足，，則 ，數(shù)列的前50項(xiàng)和為 ．
34．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，再接下來的三項(xiàng)是，依此類推，若該數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則稱為“好數(shù)對(duì)”，如，，則都是“好數(shù)對(duì)”，當(dāng)時(shí)，第一次出現(xiàn)的“好數(shù)對(duì)”是 ．
35．（2024·江西吉安·吉安一中?？家荒＃?duì)于無窮數(shù)列，“若存在，必有”，則稱數(shù)列具有性質(zhì).
（1）若數(shù)列滿足，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？是否具有性質(zhì)？
（2）對(duì)于無窮數(shù)列，設(shè)，求證：若數(shù)列具有性質(zhì)，則必為有限集；
（3）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，且既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，是否存在正整數(shù)，，使得，，，…，，…成等差數(shù)列.若存在，請(qǐng)加以證明；若不存在，說明理由.

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