專題04 推理論證與立體幾何--2024年高考數(shù)學(xué)一模試題分類匯編（北京專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型01
推理論證
1．（2024?海淀區(qū)一模）某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1．通過觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會(huì)以該直線為對稱軸分叉（分叉的角度約為，再沿直線繁殖，；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半．于是，該組同學(xué)將整個(gè)繁殖過程抽象為如圖2所示的一個(gè)數(shù)學(xué)模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心開始，沿直線繁殖到，然后分叉向與方向繼續(xù)繁殖，其中，且與關(guān)于所在直線對稱，，．若，為保證黏菌在繁殖過程中不會(huì)碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑，單位：至少為
A．6B．7C．8D．9
2．（2024?順義區(qū)一模）地鐵某換乘站設(shè)有編號為，，，，的五個(gè)安全出口．若同時(shí)開放其中的兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客所需的時(shí)間如下：
用表示安全出口的疏散效率（疏散時(shí)間越短，疏散效率越高），給出下列四個(gè)說法：
①；
②；
③；
④．
其中，正確說法的個(gè)數(shù)有
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
3．（2024?朝陽區(qū)一模）設(shè)，為兩個(gè)非空有限集合，定義其中表示集合的元素個(gè)數(shù)．某學(xué)校甲、乙、丙、丁四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為，，，．已知物理，化學(xué)，生物，地理，物理，化學(xué)，思想政治，歷史，地理，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，，則思想政治，歷史，生物；
②若，，，則地理，物理，化學(xué)；
③若思想政治，物理，生物，則，，，；
④若，，，，則思想政治，地理，化學(xué)．
其中所有正確結(jié)論的序號是．
題型02
立體幾何
1．（2024?東城區(qū)一模）《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法．某校高一年級計(jì)劃實(shí)踐這種方法，為同學(xué)們準(zhǔn)備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為，高為．首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同學(xué)制作四片瓦，全年級共500人，需要準(zhǔn)備的粘土量（不計(jì)損耗）與下列哪個(gè)數(shù)字最接近．（參考數(shù)據(jù)：
A．B．C．D．
2．（2024?延慶區(qū)一模）已知在正方體中，，是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，則滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積等于
A．B．C．D．
3．（2024?朝陽區(qū)一模）在棱長為1的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，且．則下列說法正確的是
A．存在點(diǎn)，使得直線與直線相交
B．存在點(diǎn)，使得直線平面
C．直線與平面所成角的大小為
D．平面被正方體所截得的截面面積為
4．（2024?東城區(qū)一模）如圖1，正三角形與以為直徑的半圓拼在一起，是的中點(diǎn)，為的中心．現(xiàn)將沿翻折為△，記△的中心為，如圖2．設(shè)直線與平面所成的角為，則的最大值為
A．B．C．D．
5．（2024?豐臺區(qū)一模）正月十五元宵節(jié)，中國民間有觀賞花燈的習(xí)俗．在2024年元宵節(jié)，小明制作了一個(gè)“半正多面體”形狀的花燈（圖．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為2．關(guān)于該半正多面體的四個(gè)結(jié)論：
①棱長為；
②兩條棱所在直線異面時(shí)，這兩條異面直線所成角的大小是；
③表面積為；
④外接球的體積為．
其中所有正確結(jié)論的序號是
A．①②B．①③C．②④D．③④
6．（2024?西城區(qū)一模）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在點(diǎn)，，使；
②存在點(diǎn)，，使；
③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)；
④若，則四面體體積的最大值為；
其中所有正確結(jié)論的序號是．
7．（2024?房山區(qū)一模）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)是對角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合）．給出下列結(jié)論：
①存在點(diǎn)，使得平面平面；
②對任意點(diǎn)，都有；
③△面積的最小值為；
④若是平面與平面的夾角，是平面與平面的夾角，則對任意點(diǎn)，都有．其中所有正確結(jié)論的序號是．
8．（2024?海淀區(qū)一模）如圖，在四棱錐中，，為的中點(diǎn)，平面．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使四棱錐存在且唯一確定．
求證：平面；
（ⅱ）設(shè)平面平面，求二面角的余弦值．
條件①：；
條件②：；
條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
9．（2024?西城區(qū)一模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．
10．（2024?朝陽區(qū)一模）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）已知，，，是線段上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．
11．（2024?房山區(qū)一模）如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面，是正三角形，，，．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
12．（2024?豐臺區(qū)一模）如圖，在直三棱柱中，，為中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
13．（2024?石景山區(qū)一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面所成銳二面角的大?。?br>條件①：；
條件②：平面．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
14．（2024?延慶區(qū)一模）如圖，四棱柱的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面底面，，是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，使二面角唯一確定，并求二面角的余弦值．
條件①：；
條件②：；
條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
15．（2024?順義區(qū)一模）如圖，在三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若，平面平面，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求與平面所成角的正弦值．
條件①：；
條件②：；
條件③：．
注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答記分．
16．（2024?東城區(qū)一模）如圖，在五面體中，底面為正方形，，．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分，
安全出口編號
，
，
，
，
，
疏散乘客時(shí)間
120
220
160
140
200

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