1．下列命題中，是假命題的是
A．兩點(diǎn)之間，線段最短B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)
C．等角的補(bǔ)角相等D．垂線段最短
2．華為手機(jī)鎖屏密碼是6位數(shù)，若密碼的前5位數(shù)字已經(jīng)知道，則一次解鎖該手機(jī)密碼的概率是
A．B．C．D．
3．已知二元一次方程組，則的值是
A．9B．3C．D．
4．如圖，一次函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)，則關(guān)于，的方程組的解為
A．B．C．D．
5．將含角的直角三角板按如圖所示擺放，直角頂點(diǎn)在直線上，其中一個(gè)銳角頂點(diǎn)在直線上．若，，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
6．在一個(gè)不透明的盒子中裝有個(gè)球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，這個(gè)球中只有3個(gè)紅球，若每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個(gè)球記下顏色再放回盒子，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則的值約為
A．12B．15C．18D．20
7．如圖，函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于，的二元一次方程組的解是
A．B．C．D．
8．如圖，，的直角頂點(diǎn)在直線上．若，，則等于
A．B．C．D．
9．我國(guó)古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《增刪算法統(tǒng)宗六均輸》中有一個(gè)“隔溝計(jì)算”的問(wèn)題：“甲乙隔溝牧放，二人暗里參詳．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙說(shuō)得甲九只，兩家之?dāng)?shù)相當(dāng)，二人閑坐惱心腸，畫(huà)地算了半晌”其大意為：甲，乙兩人一起放牧，兩人心里暗中數(shù)羊．如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍；如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同．請(qǐng)問(wèn)甲，乙各有多少只羊？設(shè)甲有羊只，乙有羊只，根據(jù)題意列方程組正確的為
A．B．
C．D．
10．如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，下面說(shuō)法正確的是
①的面積的面積；②；③；④．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）
11．已知二元一次方程組，則的值為 ．
12．如圖，在中，是的平分線，過(guò)點(diǎn)的射線與平行，若，，則 ．
13．已知一組數(shù)據(jù)有50個(gè)，把它分成六組，第一組到第四組的頻數(shù)分別是10，5，7，6，第五組的頻率是0.2，則第六組的頻率是 ．
14．如圖所示的折線圖形中， ．
15．在如圖所示的長(zhǎng)方形中放置了8個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形，則圖中陰影部分的面積為 ．
三、解答題（共8小題，共90分）
16．解方程：
（1）
（2）
17．如圖，中，是上一點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接．若．
（1）求證：．
（2）若，平分，求的度數(shù)．
18．在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個(gè)，白球5個(gè)，黑球若干個(gè)，若從中任意摸出一個(gè)白球的概率是．
（1）求任意摸出一個(gè)球是黑球的概率；
（2）小明從盒子里取出個(gè)白球（其他顏色球的數(shù)量沒(méi)有改變），使得從盒子里任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為，請(qǐng)求出的值．
19．為拓展學(xué)生視野，某中學(xué)組織八年級(jí)師生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，原計(jì)劃租用45座客車若干輛，但有15人沒(méi)有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿．現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：
（1）參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是多少？原計(jì)劃租用多少輛45座客車？
（2）若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？
20．定義：二元一次方程與二元一次方程互為“反對(duì)稱二元一次方程”，如二元一次方程與二元一次方程互為“反對(duì)稱二元一次方程”．
（1）直接寫出二元一次方程的“反對(duì)稱二元一次方程”： ．
（2）二元一次方程的解，又是它的“反對(duì)稱二元一次方程”的解，求出，的值．
21．閱讀并填空．將三角尺放置在上（點(diǎn)在內(nèi)），如圖①所示，三角尺的兩邊，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．我們來(lái)探究：與是否存在某種數(shù)量關(guān)系．
（1）特例探索：若，則 度； 度；
（2）類比探索：求，，的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）變式探索：如圖②所示，改變?nèi)浅叩奈恢茫裹c(diǎn)在外，三角尺的兩邊，仍恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，求，，的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
22．小明受《烏鴉喝水》故事的啟發(fā)，利用水杯、大球和小球進(jìn)行了如下操作．請(qǐng)根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問(wèn)題：
（1）放入1個(gè)小球水面升高 ，放入1個(gè)大球水面升高 ；
（2）如果小明想在水杯中放入大球、小球共10個(gè)，并限定水面高不超過(guò)，則至少放入多少個(gè)小球？
23．【問(wèn)題情境】已知，，平分交于點(diǎn)．
【問(wèn)題探究】（1）如圖1，，，，試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【問(wèn)題解決】（2）如圖2，，，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
【問(wèn)題拓展】（3）如圖2，若，試說(shuō)明．
參考答案
一、選擇題（有10小題，每小題4分，共40分）
1．下列命題中，是假命題的是
A．兩點(diǎn)之間，線段最短B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)
C．等角的補(bǔ)角相等D．垂線段最短
解：、兩點(diǎn)之間，線段最短，是真命題；
、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，原命題是假命題；
、等角的補(bǔ)角相等，是真命題；
、垂線段最短，是真命題；
故選：．
2．華為手機(jī)鎖屏密碼是6位數(shù)，若密碼的前5位數(shù)字已經(jīng)知道，則一次解鎖該手機(jī)密碼的概率是
A．B．C．D．
解：一次解鎖該手機(jī)密碼的概率是．
故選：．
3．已知二元一次方程組，則的值是
A．9B．3C．D．
解：，
②①得：．
故選：．
4．如圖，一次函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)，則關(guān)于，的方程組的解為
A．B．C．D．
解：把代入得：，
解得：，
，，
則關(guān)于，的方程組的解為．
故選：．
5．將含角的直角三角板按如圖所示擺放，直角頂點(diǎn)在直線上，其中一個(gè)銳角頂點(diǎn)在直線上．若，，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
解：如圖：
，
，
，
，
，
，
故選：．
6．在一個(gè)不透明的盒子中裝有個(gè)球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，這個(gè)球中只有3個(gè)紅球，若每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個(gè)球記下顏色再放回盒子，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則的值約為
A．12B．15C．18D．20
解：根據(jù)題意得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，
答：的值約為15；
故選：．
7．如圖，函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于，的二元一次方程組的解是
A．B．C．D．
解：當(dāng)時(shí)，，
解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以關(guān)于，的二元一次方程組中的解為．
故選：．
8．如圖，，的直角頂點(diǎn)在直線上．若，，則等于
A．B．C．D．
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，
，
，
在中，．
，
，
．
，
．
故選：．
9．我國(guó)古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《增刪算法統(tǒng)宗六均輸》中有一個(gè)“隔溝計(jì)算”的問(wèn)題：“甲乙隔溝牧放，二人暗里參詳．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙說(shuō)得甲九只，兩家之?dāng)?shù)相當(dāng)，二人閑坐惱心腸，畫(huà)地算了半晌”其大意為：甲，乙兩人一起放牧，兩人心里暗中數(shù)羊．如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍；如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同．請(qǐng)問(wèn)甲，乙各有多少只羊？設(shè)甲有羊只，乙有羊只，根據(jù)題意列方程組正確的為
A．B．
C．D．
解：如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍，
；
如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同，
．
根據(jù)題意可列方程組．
故選：．
10．如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，下面說(shuō)法正確的是
①的面積的面積；②；③；④．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
解：是中線，
，
的面積的面積（等底等高的三角形的面積相等），故①正確；
是角平分線，
，
為高，
，
，
，，
，
，，
，故②正確；
為高，
，
，
，，
，
是的平分線，
，
，
即，故③正確；
根據(jù)已知條件不能推出，即不能推出，故④錯(cuò)誤；
故選：．
二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）
11．已知二元一次方程組，則的值為 1 ．
解：解法一：由可得：
，
代入第二個(gè)方程中，可得：
，
解得：，
將代入第一個(gè)方程中，可得
，
解得：，
，
故答案為：1；
解法二：，
由②①可得：
，
故答案為：1．
12．如圖，在中，是的平分線，過(guò)點(diǎn)的射線與平行，若，，則 45 ．
解：，，
，
是的平分線，
，
，
．
故答案為：45．
13．已知一組數(shù)據(jù)有50個(gè)，把它分成六組，第一組到第四組的頻數(shù)分別是10，5，7，6，第五組的頻率是0.2，則第六組的頻率是 0.24 ．
解：第五組的頻數(shù)為，
第六組的頻數(shù)為，
第六組的頻率是；
故答案為：0.24．
14．如圖所示的折線圖形中， ．
解：如圖，連接．
在中，，
在四邊形中，，
，
，
故答案為．
15．在如圖所示的長(zhǎng)方形中放置了8個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形，則圖中陰影部分的面積為 79 ．
解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)題意得
，
解得，
．
故答案為：79．
三、解答題（共8小題，共90分）
16．解方程：
（1）
（2）
解：（1），
②①，得：，
解得：，
將代入①，得：，
解得：，
所以方程組的解為；
（2），
①②，得：，
解得：，
將代入①，得：，
解得：，
所以方程組的解為．
17．如圖，中，是上一點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接．若．
（1）求證：．
（2）若，平分，求的度數(shù)．
解：（1）證明：，
，
又，
，
；
（2），
，
平分，
，
在中，
，
．
答：的度數(shù)為．
18．在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個(gè)，白球5個(gè)，黑球若干個(gè)，若從中任意摸出一個(gè)白球的概率是．
（1）求任意摸出一個(gè)球是黑球的概率；
（2）小明從盒子里取出個(gè)白球（其他顏色球的數(shù)量沒(méi)有改變），使得從盒子里任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為，請(qǐng)求出的值．
解：（1）紅球3個(gè)，白球5個(gè)，黑球若干個(gè)，從中任意摸出一個(gè)白球的概率是，
盒子中球的總數(shù)為：（個(gè)，
故盒子中黑球的個(gè)數(shù)為：（個(gè)；
任意摸出一個(gè)球是黑球的概率為：；
（2）任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為，
盒子中球的總量為：，
可以將盒子中的白球拿出3個(gè)，
．
19．為拓展學(xué)生視野，某中學(xué)組織八年級(jí)師生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，原計(jì)劃租用45座客車若干輛，但有15人沒(méi)有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿．現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：
（1）參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是多少？原計(jì)劃租用多少輛45座客車？
（2）若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？
解：（1）設(shè)參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是人，原計(jì)劃租用輛45座客車．
根據(jù)題意，得，
解得．
答：參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是600人，原計(jì)劃租用13輛45座客車；
（2）租45座客車：（輛，所以需租14輛，租金為（元，
租60座客車：（輛，所以需租10輛，租金為（元，
，
租用14輛45座客車更合算．
20．定義：二元一次方程與二元一次方程互為“反對(duì)稱二元一次方程”，如二元一次方程與二元一次方程互為“反對(duì)稱二元一次方程”．
（1）直接寫出二元一次方程的“反對(duì)稱二元一次方程”： ．
（2）二元一次方程的解，又是它的“反對(duì)稱二元一次方程”的解，求出，的值．
解：（1）由題知，二元一次方程的“反對(duì)稱二元一次方程”是，
故答案為：．
（2）二元一次方程的“反對(duì)稱二元一次方程”是，
又二元一次方程的解，又是它的“反對(duì)稱二元一次方程”的解，
，
解得，
，．
21．閱讀并填空．將三角尺放置在上（點(diǎn)在內(nèi)），如圖①所示，三角尺的兩邊，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．我們來(lái)探究：與是否存在某種數(shù)量關(guān)系．
（1）特例探索：若，則 90 度； 度；
（2）類比探索：求，，的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）變式探索：如圖②所示，改變?nèi)浅叩奈恢?，使點(diǎn)在外，三角尺的兩邊，仍恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，求，，的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
解：（1），
，
，
，
，
故答案為：90，40；
（2）結(jié)論：．
證明：，
，
，
．
故答案為：；
（3）結(jié)論：，
理由是：設(shè)交于，如圖
，
，即，
，
故答案為：．
22．小明受《烏鴉喝水》故事的啟發(fā)，利用水杯、大球和小球進(jìn)行了如下操作．請(qǐng)根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問(wèn)題：
（1）放入1個(gè)小球水面升高 2 ，放入1個(gè)大球水面升高 ；
（2）如果小明想在水杯中放入大球、小球共10個(gè)，并限定水面高不超過(guò)，則至少放入多少個(gè)小球？
解：（1）
；
．
故答案為：2；3．
（2）設(shè)放入大球個(gè)，
由題意得：，
解得．
答：至少放入6個(gè)小球，
23．【問(wèn)題情境】已知，，平分交于點(diǎn)．
【問(wèn)題探究】（1）如圖1，，，，試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【問(wèn)題解決】（2）如圖2，，，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
【問(wèn)題拓展】（3）如圖2，若，試說(shuō)明．
【解答】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
．
（2）解：，
，
，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
（3）證明：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
，
，
即．
甲型客車
乙型客車
載客量（人輛）
45
60
租金（元輛）
200
300
甲型客車
乙型客車
載客量（人輛）
45
60
租金（元輛）
200
300

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