1．（廣東·高考真題（文））若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（ ）
A．與，都相交B．與，都不相交
C．至少與，中的一條相交D．至多與，中的一條相交
【答案】C
【解析】
【詳解】
l與l1，l2可以都相交，可可能和其中一條平行，和其中一條相交，如圖
所以至少與，中的一條相交.
故選:C．
2．（2019·全國·高考真題（理））如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點，則（ ）
A．，且直線是相交直線
B．，且直線是相交直線
C．，且直線是異面直線
D．，且直線是異面直線
【答案】B
【解析】
利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進而解決問題．
【詳解】
如圖所示， 作于，連接，過作于．
連，平面平面．
平面，平面，平面，
與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，易知，
．，故選B．
3．（安徽·高考真題（理））從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為的共有（ ）
A．24對B．30對C．48對D．60對
【答案】C
【解析】
【詳解】
試題分析：在正方體中，與上平面中一條對角線成的直線有，，，共八對直線，與上平面中另一條對角線的直線也有八對直線，所以一個平面中有16對直線，正方體6個面共有對直線，去掉重復(fù)，則有對.故選C.
4．（全國·高考真題（理））已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【詳解】
試題分析：設(shè)的交點為，連接，則為所成的角或其補角；設(shè)正四棱錐的棱長為，則，所以
，故C為正確答案．
5．（·廣東·高考真題（理））若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值（ ）
A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5
【答案】B
【解析】
【詳解】
試題分析：先考慮平面上的情況：只有三個點的情況成立；再考慮空間里，只有四個點的情況成立，注意運用外接球和三角形三邊的關(guān)系，即可判斷．
解：考慮平面上，3個點兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；
4個點兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；
n大于4，也不成立；
在空間中，4個點兩兩距離相等，構(gòu)成一個正四面體，成立；
若n＞4，由于任三點不共線，當n=5時，考慮四個點構(gòu)成的正四面體，
第五個點，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，
由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；
同理n＞5，不成立．
故選B．
6．（湖南·高考真題（文））如圖1，在正四棱柱中，分別是，的中點，則以下結(jié)論中不成立的是（ ）
A．與垂直B．與垂直
C．與異面D．與異面
【答案】D
【解析】
【詳解】
如圖所示，連結(jié)，由幾何關(guān)系可得點為的中點，且，
由三角形中位線的性質(zhì)可得：，即與不是異面直線，
很明顯，與異面，
由幾何關(guān)系可得：，則，
綜上可得，選項D中的結(jié)論不成立.
本題選擇D選項.
7．（2022·四川南充·高二期末（文））將邊長為1的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè)，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作出過點的圓柱的母線，連接，證明即可推理、計算作答.
【詳解】
作出過點的圓柱的母線，連接，如圖，
則有，而，即有，為正三角形，
，因此，，是異面直線與所成的角，
由平面得，而，從而有，，
所以異面直線與所成的角的余弦值為.
故選：C
8．（2017·全國·高考真題（理））已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【詳解】
如圖所示，補成直四棱柱，
則所求角為，
易得，因此，故選C．
平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：
①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
③計算：求該角的值，常利用解三角形；
④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．
二、多選題
9．（2022·全國·高一）下面四個條件中，能確定一個平面的是（ ）
A．空間中任意三點B．一條直線和一個點
C．兩條相交的直線D．兩條平行的直線
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用平面的基本性質(zhì)判斷選項的正誤即可作答.
【詳解】
空間中任意三點，當三點共線時，不能確定一個平面，A不正確；
一條直線和一個點，如果點在直線上，不能確定一個平面，B不正確；
由平面的基本性質(zhì)可知：兩條相交的直線，兩條平行的直線，都能確定一個平面，C，D正確.
故選：CD
10．（2022·遼寧·營口市第二高級中學(xué)高一階段練習(xí)）有下列命題：
①經(jīng)過三點確定一個平面；
②梯形可以確定一個平面；
③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；
④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．
其中正確命題是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)確定平面的條件，逐個分析可得答案.
【詳解】
對于①，經(jīng)過不共線的三點確定一個平面，故①不正確；
對于②，因為梯形的兩底邊平行，經(jīng)過兩條平行直線確定一個平面，故②正確；
對于③，當三條直線交于不同的三點時，三條直線只確定一個平面；當三條直線交于一點時，三條直線最多確定三個平面，故③正確；
對于④，當兩個平面的三個公共點在一條直線上時，這兩個平面相交于這條直線，不一定重合，故④不正確.
故選：BC
11．（2022·云南昆明·高一期末）如圖，在長方體中，E、F、G、H分別是、、AB、AD的中點，則下列說法正確的是（ ）
A．點A在平面內(nèi)B．
C．平面平面D．直線EH與直線FG相交
【答案】AD
【解析】
【分析】
連接、、、，若是的中點，連接、，利用中位線性質(zhì)有、都為平行四邊形，進而有判斷A；由過直線外一點有且僅有一條直線與該直線平行判斷B；根據(jù)平面中點、線、面的關(guān)系判斷C；連接，易證、即可判斷D.
【詳解】
連接、、、，若是的中點，連接、，

由題設(shè)，且，則為平行四邊形，
所以且，
又E是中點，故且，則為平行四邊形，
所以且，
綜上，且，故共面，A正確；
由過直線外一點有且僅有一條直線與該直線平行，且，不可能有，B錯誤；
由面，面，故面面，又面，而，故平面平面，C錯誤；
連接，又G、H分別是AB、AD的中點，則且，
E、F分別是、的中點，則且，
所以，即共面，且，故直線EH與直線FG相交，D正確.
故選：AD
12．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期末）正方體中，下列說法正確的是（ ）
A．在空間中，過作與夾角都為60°的直線可以作4條
B．在空間中，過作與夾角都為45°的直線可以作4條
C．棱的中點分別為E，F(xiàn)，在空間中，能且只能作一條直線與直線，，都相交
D．在空間中，過與直線，，夾角都相等的直線有4條
【答案】AD
【解析】
【分析】
對于選項A、B、D，通過直線在空間中的位置關(guān)系進行判斷；
對于選項C，可以找到不止一條直線與都相交.
【詳解】
記過且與夾角都相等的角為，則，夾角都為60°的直線有4條，A正確；夾角都為45°的直線有2條，所以B錯誤；
過與直線，CD，夾角都相等的直線有4條，所以D正確；
如圖所示，直線分別延長之后與，，都相交；事實上，可以在直線CD上任取一點，都可以作出一條直線與，EF都相交的直線，所以可以作無數(shù)條，故C錯誤．
故選：AD.
【點睛】
本題借助正方體考查空間中直線與直線所成的角和直線與直線的位置關(guān)系，解答此類題目時，可以從以下兩個角度思考：
(1)在正方體（或其它特殊幾何體）中，找到符合要求的直線，即可對選項作出判斷；
(2)空間中與兩條直線所形成的角度相等的直線，構(gòu)成兩個平面，在這兩個平面上尋找符合要求的直線即可.
三、填空題
13．（2021·四川宜賓·高一期末）若直線l與平面平行，直線，則直線l與直線a的位置關(guān)系是________．（填滿足條件的所有正確結(jié)論：平行、相交、異面）
【答案】平行或異面
【解析】
【分析】
直接根據(jù)空間中線線、線面間的位置關(guān)系判定即可.
【詳解】
在正方形中，
平面ABCD，平面ABCD，，
平面ABCD，平面ABCD，與AD是異面直線，
由此得到：直線l與平面平行，直線，
則直線l與直線a的位置關(guān)系是平行或異面．
故答案為：平行或異面．
14.（全國·高考真題（文））已知正方體中，E為的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為 .
【答案】
【解析】
【詳解】
連接DE，
設(shè)AD=2，易知AD∥BC，
∴∠DAE就是異面直線AE與BC所成角，
在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，
∴cs∠DAE==．
15．（2016·全國·高考真題（理））α、β是兩個平面，m、n是兩條直線，有下列四個命題：
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
（3）如果α∥β，mα，那么m∥β. （4）如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.
其中正確的命題有________.(填寫所有正確命題的編號）
【答案】②③④
【解析】
【詳解】
試題分析：：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故錯誤；
②如果n∥α，則存在直線l?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正確；
③如果α∥β，m?α，那么m與β無公共點，則m∥β．故正確
④如果m∥n，α∥β，那么m，n與α所成的角和m，n與β所成的角均相等．故正確
16．（浙江·高考真題（理））如圖，三棱錐中， ，點分別是的中點，則異面直線所成的角的余弦值是________．
【答案】
【解析】
【詳解】
如下圖，連結(jié)，取中點，連結(jié)，，則可知即為異面直
線，所成角（或其補角）易得，
，，
∴，即異面直線，所成角的余弦值為.
四、解答題
17．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正方體中，點分別是棱的中點，判斷下列直線的位置關(guān)系：
(1)與：
(2)與：
(3)與：
(4)與.
【答案】(1)異面
(2)異面
(3)共面
(4)共面
【解析】
【分析】
（1）（2）均可直接判斷出異面；（3）連接與，證明出四邊形為平行四邊形，得到共面；（4）連接，由中位線證明出線線平行，從而得到共面.
(1)
由圖易得與異面；
(2)
由圖易得與異面
(3)
連接與，
因為分別是棱的中點，
所以，由勾股定理得：，
故四邊形為平行四邊形，所以與共面；
(4)
連接，
因為分別是棱的中點，
所以∥，
又因為∥，
所以∥，
所以與共面
18.（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如圖，在長方體中，，，點，分別為棱，的中點．
(1)證明：，，，四點共面；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）連接，證明，即可證明結(jié)論；
（2）先求得，再根據(jù)，即可求得答案.
(1)
證明：連接 ,則由點，分別為棱，的中點．
知,
在長方體中， ,
則四邊形是平行四邊形，故 ,
所以 ,故四點共面；
(2)
連接,
則 ,故 ,
由于 ,設(shè)點到平面的距離為h,
故 ,即，
解得，即點到平面的距離為.
19．（2022·上海青浦·二模）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長為的正方形，是弧的中點．
(1)求該圓柱的表面積和體積；
(2)求異面直線與所成角的大?。?br>【答案】(1)表面積為，體積為.
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)圓柱的表面積公式和體積公式可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)，得到或其補角是直線與所成角，取弧的中點，連接、、，求出，進一步可得.
(1)
由已知可得圓柱的底面半徑，高，

，
(2)
，
∴或其補角是直線與所成角，
取弧的中點，連接、、，
，
在中，，
∴.
所以異面直線與所成角的大小為.
20．（2022·廣東韶關(guān)·高一期末）如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別是AB，的中點．
(1)求直線與直線所成角的正切值；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)2
(2)1
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)，可得即為直線與直線所成角，解即可得解；
（2）根據(jù)棱錐的體積公式即可得解.
(1)
解：在正方體中，有，
所以即為直線與直線所成角，
在中，易知，，
所以，
所以直線與直線所成角的正切值為2．
(2)
解：在正方形中，
有，
又平面．
所以，
即三棱錐的體積為1．
21．（2022·北京·高一期末）如圖，在正方體中，是棱上一點，且．
(1)試畫出過三點的平面截正方體所得截面；
(2)證明：平面與平面相交，并指出它們的交線．
【答案】(1)作圖見解析
(2)證明見解析；為面與面的交線
【解析】
【分析】
（1）在上取一點，使得，延長交于點，連結(jié)，即可得到截面；
（2）根據(jù)兩平面有公共點，可知兩面相交；延長，設(shè)它們交于點，可證得在兩面交線上，由此可知交線為.
(1)
在上取一點，使得，延長交于點，連結(jié)，
則平面就是過三點的平面截正方體所得截面．
(2)
平面，平面，
平面平面，即平面與平面相交．
延長，設(shè)它們交于點，
直線，直線平面，平面．
直線，直線平面，平面．
為面與面的交線．
22．（2022·上海虹口·二模）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點，，直線與平面所成的角為.
(1)求四棱錐的體積；
(2)求異面直線與所成的角的大小.
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)直線與平面所成的角可求出，從而得出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可解出；
（2）取中點，連接，（或其補角）即為異面直線與所成的角，解三角形即可求出．
(1)
因為底面，所以直線與平面所成的角為，在中，，，所以，而，所以，
因此四棱錐的體積．
(2)
如圖所示：
取中點，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，即有，所以（或其補角）即為異面直線與所成的角．
在中，，，所以，，所以，即異面直線與所成的角為．

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