【核心素養(yǎng)】
以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理，運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題，凸顯邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．
【知識點展示】
1．直線與平面垂直
(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.直線和平面所成的角
(1)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角．
(2)當直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.
(3)范圍：.
3．二面角的有關(guān)概念
(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．
(3)范圍：[0，π]．
4．平面與平面垂直
(1)定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(2)判定定理與性質(zhì)定理
5.直線與平面垂直的五個結(jié)論
(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.
(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．
(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．
(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．
【?？碱}型剖析】
題型一：與線、面垂直相關(guān)命題的判定
例1.（浙江·高考真題（理））下列命題中錯誤的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
例2.（2023·全國·高三專題練習）設(shè)，是不同的直線，，，是不同的平面，則下面說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
例3.（江蘇·高考真題）設(shè)和為不重合的兩個平面，給出下列命題：
（1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；
（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；
（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；
（4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直.
上面命題中，真命題的序號 （寫出所有真命題的序號）
例4.(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題： .
【方法技巧】
判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明垂直關(guān)系的基本思想；另外，在解題中要重視平面幾何知識，特別是正、余弦定理及勾股定理的應用．
題型二：直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
例5.（2021·浙江·高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
例6.【多選題】（2021·全國·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（ ）
A．B．
C．D．
【總結(jié)提升】
證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵
(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．
(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．
題型三：平面與平面垂直的判定與性質(zhì)
例8. （2022·江西·高三階段練習（理））如圖，在四面體中，，，，，則四面體中存在面面垂直關(guān)系的對數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
例9.（2021·全國·高考真題（文））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．
（1）證明：平面平面；
（2）若，求四棱錐的體積．
例10. （2020·全國·高考真題（文））如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．
【總結(jié)提升】
1.在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式(如勾股定理)證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直．
2.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：
3.判定面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
4．證面面垂直的思路
(1)關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個面．這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮．
(2)條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應的性質(zhì)定理，如已知兩平面互相垂直，我們就要聯(lián)系到兩平面互相垂直的性質(zhì)定理．
題型四：平行和垂直的綜合問題
例11.（2018·江蘇·高考真題）在平行六面體中，,．
求證：（1）；
（2）．
例12.（2019·北京·高考真題（文））如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.
例13．（2020·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點，，，.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)在棱上是否存在點N，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由.
例14.（2018·全國·高考真題（文））如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點到達點的位置，且．
（1）證明：平面平面；
（2）為線段上一點，為線段上一點，且，求三棱錐的體積．
【規(guī)律方法】
1.對命題條件的探索的三種途徑
途徑一：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明．
途徑二：先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性．
途徑三：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．
2．解決平面圖形翻折問題的關(guān)鍵是抓住“折痕”，準確把握平面圖形翻折前后的兩個“不變”．
(1)與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變；
(2)與折痕平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變．
3.探索性問題
(1)處理空間中平行或垂直的探索性問題，一般先根據(jù)條件猜測點的位置，再給出證明．探索點存在問題，點多為中點或n等分點中的某一個，需根據(jù)相關(guān)的知識確定點的位置．
(2)利用向量法，設(shè)出點的坐標，結(jié)論變條件，求出點的坐標，并指明點的位置．
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))?a∥b
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,l?β))?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α

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