1．（全國(guó)·高考真題（理））已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為（ ）
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
【答案】D
【詳解】設(shè)、，所以，運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因?yàn)椋獾?
2．（全國(guó)·高考真題（文））設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線過F且與C交于A, B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|，則的方程為（ ）
A．y=x-1或y=-x+1
B．y=（X-1）或y=（x-1）
C．y=（x-1）或y=（x-1）
D．y=（x-1）或y=（x-1）
【答案】C
【詳解】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
又F(1,0),
則=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),
由題意知=3,
因此
即
又由A、B均在拋物線上知
解得
直線l的斜率為=±,
因此直線l的方程為y=(x-1)或y=-(x-1).
故選C.
3．（2022·全國(guó)·高考真題（理））橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】解：，
設(shè)，則，
則，
故，
又，則，
所以，即，
所以橢圓的離心率.
故選：A.
4．（2022·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)（文））已知拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合．斜率為直線l經(jīng)過點(diǎn)F，且與C的交點(diǎn)為A，B．若，則直線l的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)橢圓方程求得，寫出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得直線的方程.
【詳解】橢圓，，所以，，所以拋物線:.
設(shè)，直線的方程為.
聯(lián)立 消去，化簡(jiǎn)整理得，
則.

因此直線的方程是.
故選：A.
5．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，則的傾斜角（ ）
A．B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】設(shè)，令，代入拋物線的方程，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由，得，解出的值，即可求出的傾斜角.
【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)，設(shè)，令，
由，消可得
，，所以，
所以所以，解得：
所以的斜率為，則的傾斜角或
故選：D.
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斜率為1的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得弦長(zhǎng)，即可得到最大值.
【詳解】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線l的方程為，
由消去y得，
則，.
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，
故選:D.
7．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的斜率的乘積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)出，，的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法，結(jié)合為線段的中點(diǎn)，以及兩點(diǎn)之間的斜率公式，通過恒等變換，得到與的斜率的乘積與的關(guān)系，根據(jù)化簡(jiǎn)可得答案.
【詳解】設(shè)，，，
則，兩式作差，并化簡(jiǎn)得，
，
所以，
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，即
所以，
即，由，得.
故選：B.
8．（2020·全國(guó)·高考真題（理））已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)共圓，且，根據(jù) 可知，當(dāng)直線時(shí)，最小，求出以 為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識(shí)即可求出直線的方程．
【詳解】圓的方程可化為，點(diǎn) 到直線的距離為，所以直線 與圓相離．
依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而 ，
當(dāng)直線時(shí)，， ，此時(shí)最?。?br>∴即 ，由解得， ．
所以以為直徑的圓的方程為，即 ，
兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．
故選：D.
二、多選題
9．（2022·湖南湘潭·高三開學(xué)考試）已知直線 與拋物線 交于 兩點(diǎn)， 點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 若線段的中點(diǎn)是 ， 則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】聯(lián)立拋物線與直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，然后對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】設(shè)，由得，所以，所以，
又點(diǎn)在直線l上，所以，所以A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)橹本€l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，所以，所以C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所?br>，所以，所以D錯(cuò)誤，
故選:AC．
10．（2022·云南昆明·高三開學(xué)考試）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，與C的另一交點(diǎn)為M，與C的另一交點(diǎn)為N，若直線與直線的斜率之積為，則（ ）
A．C的離心率為
B．
C．的周長(zhǎng)為18
D．設(shè)的面積為，的面積為，則
【答案】ABCD
【分析】設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線與直線的斜率之積為，求得a，b，c，再逐項(xiàng)求解判斷.
【詳解】解：如圖所示：
設(shè)，聯(lián)立，
得，
解得，，則，
所以，
因?yàn)橹本€與直線的斜率之積為，
所以，即，
則，
所以，，
則，
，，
所以，，
則，
故選：ABCD
11．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的離心率為，且雙曲線的右焦點(diǎn)在直線上，、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，記、的斜率分別為、，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的方程為
C．為定值D．存在點(diǎn)，使得
【答案】ABD
【分析】對(duì)于AB，利用雙曲線的概念及幾何性質(zhì)可以容易判斷；對(duì)于C，利用點(diǎn)在雙曲線上得到，進(jìn)而直接化簡(jiǎn)即可；對(duì)于D，利用的范圍可以判斷得范圍，進(jìn)而可以判斷存在點(diǎn)與否.
【詳解】因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)在直線上，易得右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，
由于離心率為，則，所以，所以雙曲線方程為，故B正確；
易得雙曲線漸近線方程為，故A正確；
設(shè)點(diǎn)，又、，則，即，故，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)樵诘谝幌笙?，則，即，即，，所以，故存在點(diǎn)，使得，故D正確.
故選：ABD.
12．（2022·全國(guó)·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（ ）
A．直線的斜率為B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】
對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；
對(duì)于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.
三、填空題
13．（2022·廣東佛山·高三階段練習(xí)）已知圓的方程為，拋物線的方程為，則兩曲線的公共切線的其中一條方程為_____________．
【答案】
【分析】設(shè)切線方程，分別與圓的方程以及拋物線方程進(jìn)行聯(lián)立，利用各自的，即可求解.
【詳解】設(shè)切線方程為：，分別聯(lián)立方程得到和，
得和，
得和，
解得和，解得或，
所以，兩曲線的公共切線的其中一條方程可為：
故答案為：
14．（2021·全國(guó)·高考真題（文））已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________．
【答案】
【分析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.
【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，
且，所以四邊形為矩形，
設(shè)，則，
所以，
，即四邊形面積等于.
故答案為：.
15．（2020·海南·高考真題）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=________．
【答案】
【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關(guān)于x的二次方程，接下來(lái)可以利用弦長(zhǎng)公式或者利用拋物線定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化求得結(jié)果.
【詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，
又∵直線AB過焦點(diǎn)F且斜率為，∴直線AB的方程為：
代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得，
解法一：解得
所以
解法二：
設(shè)，則,
過分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.
故答案為：
16．（2022·全國(guó)·高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為___________．
【答案】
【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；
【詳解】解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)椋裕?br>設(shè)，，則，，
所以，即
所以，即，設(shè)直線，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；
故答案為：
四、解答題
17．（2022·北京·高考真題）已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依題意可得，即可求出，從而求出橢圓方程；
（2）首先表示出直線方程，設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由直線、的方程，表示出、，根據(jù)得到方程，解得即可；
（1）
解：依題意可得，，又，
所以，所以橢圓方程為；
（2）
解：依題意過點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直線的方程為，令，解得，
直線的方程為，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
18．（2021·全國(guó)·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1) 利用雙曲線的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；
(2)方法一：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線的斜率，最后化簡(jiǎn)計(jì)算可得的值.
【詳解】(1) 因?yàn)椋?br>所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為.
（2）[方法一] 【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立
如圖所示，設(shè),
設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立,
化簡(jiǎn)得.
則．
故．
則．
設(shè)的方程為，同理．
因?yàn)?，所以?br>化簡(jiǎn)得，
所以，即．
因?yàn)椋裕?br>[方法二] ：參數(shù)方程法
設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，
則其參數(shù)方程為，
聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，
可得，
整理得．
設(shè)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得．
設(shè)直線的傾斜角為，，
同理可得
由，得．
因?yàn)?，所以?br>由題意分析知．所以，
故直線的斜率與直線的斜率之和為0．
[方法三]：利用圓冪定理
因?yàn)?，由圓冪定理知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．
設(shè),直線的方程為，
直線的方程為,
則二次曲線．
又由，得過A，B，P，Q四點(diǎn)的二次曲線系方程為：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，則xy項(xiàng)的系數(shù)為0，即.
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；
方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過程中對(duì)參數(shù)有深刻的理解，并能夠靈活的應(yīng)用到題目中.
方法三：圓冪定理的應(yīng)用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計(jì)算更為簡(jiǎn)單.
19．（2020·北京·高考真題）已知橢圓過點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；
(Ⅱ)首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)，將線段長(zhǎng)度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長(zhǎng)度的比值.
【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：
，解得：，
故橢圓方程為：.
(Ⅱ)[方法一]：
設(shè)，，直線的方程為：，
與橢圓方程聯(lián)立可得：，
即：，
則：.
直線MA的方程為：，
令可得：，
同理可得：.
很明顯，且，注意到，
，
而
，
故.
從而.
[方法二]【最優(yōu)解】：幾何含義法
①當(dāng)直線l與x軸重合，不妨設(shè)，由平面幾何知識(shí)得，所以．
②當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線，由題意，直線l不過和點(diǎn)，所以．設(shè)，聯(lián)立得．由題意知，所以．且．
由題意知直線的斜率存在．．
當(dāng)時(shí)，
．
同理，．所以．
因?yàn)?，所以?br>【整體點(diǎn)評(píng)】方法一直接設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程消去y，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求解；方法二先對(duì)斜率為零的情況進(jìn)行特例研究，在斜率不為零的情況下設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程消去x，直接利用韋達(dá)定理求得P,Q的縱坐標(biāo)，運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔，應(yīng)為最優(yōu)解法.
20.（2021·全國(guó)高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；
（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；
充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.
【詳解】
（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，
又，所以橢圓方程為；
（2）由（1）得，曲線為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，
必要性：
若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，
由直線與曲線相切可得，解得，
聯(lián)立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：設(shè)直線即，
由直線與曲線相切可得，所以，
聯(lián)立可得，
所以，
所以
，
化簡(jiǎn)得，所以，
所以或，所以直線或，
所以直線過點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；
所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．
21．（2020·山東·高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的頂點(diǎn)分別為，，，，其中點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，如圖所示.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線方程；（2）首先設(shè)出直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，并利用韋達(dá)定理表示，并利用，求直線的斜率，驗(yàn)證后，即可得到直線方程.
【詳解】解：（1）由橢圓可知，，
所以，，則，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，可設(shè)拋物線方程為，
所以，即.
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由橢圓可知，，
若直線無(wú)斜率，則其方程為，經(jīng)檢驗(yàn)，不符合要求.
所以直線的斜率存在，設(shè)為，直線過點(diǎn)，
則直線的方程為，
設(shè)點(diǎn)，，
聯(lián)立方程組，
消去，得.①
因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
則，
因?yàn)椋遥?br>所以，
解得或，
因?yàn)?，且?br>所以不符合題意，舍去，
所以直線的方程為，
即.
22．（2022·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上可求出，易知直線l的斜率存在，設(shè)，，再根據(jù)，即可解出l的斜率；
（2）根據(jù)直線的斜率之和為0可知直線的傾斜角互補(bǔ)，再根據(jù)即可求出直線的斜率，再分別聯(lián)立直線與雙曲線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程以及的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線的距離，即可得出的面積．
（1）
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線
易知直線l的斜率存在，設(shè)，，
聯(lián)立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化簡(jiǎn)得，，即，
所以或，
當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，
故．
（2）
不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以?br>由（1）知，，
當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，
即，解得（負(fù)值舍去）
此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無(wú)交點(diǎn)，舍去；
當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，
因?yàn)椋?，即?br>即，解得（負(fù)值舍去），
于是，直線，直線，
聯(lián)立可得，，
因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，
同理可得，，．
所以，，
點(diǎn)到直線的距離，
故的面積為．

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