1．（2020·天津·高考真題）若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出正方體的體對角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.
【詳解】
這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，
即，
所以，這個球的表面積為.
故選：C.
2．（2020·北京·高考真題）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.
【詳解】
由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形，側(cè)面為三個邊長為2的正方形，
則其表面積為：.
故選：D.
【點睛】
(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．
(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．
(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．
3．（2022·浙江·高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)三視圖還原幾何體可知，原幾何體是一個半球，一個圓柱，一個圓臺組合成的幾何體，即可根據(jù)球，圓柱，圓臺的體積公式求出．
【詳解】
由三視圖可知，該幾何體是一個半球，一個圓柱，一個圓臺組合成的幾何體，球的半徑，圓柱的底面半徑，圓臺的上底面半徑都為，圓臺的下底面半徑為，所以該幾何體的體積．
故選：C．
4．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．
【詳解】
設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．
5．（2021·浙江·高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.
【詳解】
幾何體為如圖所示的四棱柱，其高為1，底面為等腰梯形，
該等腰梯形的上底為，下底為，腰長為1，故梯形的高為，
故，
故選：A.
6．（2021·全國·高考真題（理））已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進而求得體積.
【詳解】
，為等腰直角三角形，，
則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，
設(shè)到平面的距離為，
則，
所以.
故選：A.
7．（2022·全國·高考真題（文））已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.
【詳解】
設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，
設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為，
則
（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）
即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為
又
則
當且僅當即時等號成立，
故選：C
8．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】
∵ 球的體積為，所以球的半徑,
設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當時，，當時，，
所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
二、多選題
9．（2022·廣東茂名·二模）某一時段內(nèi)，從天空降落到地面上的液態(tài)或固態(tài)的水，未經(jīng)蒸發(fā)，而在水平面上積聚的深度稱為這段時間的降雨量．24h降雨量的等級劃分如下：
在一次暴雨降雨過程中，小明用一個大容量燒杯（如圖，瓶身直徑大于瓶口直徑，瓶身高度為50cm，瓶口高度為3cm）收集雨水，容器內(nèi)雨水的高度可能是（ ）
A．20cmB．22cmC．25cmD．29cm
【答案】CD
【解析】
【分析】
設(shè)降雨量為x，容器內(nèi)雨水高度為h,根據(jù)雨水的體積相等關(guān)系可得到h,x之間的關(guān)系，結(jié)合題意可得，由此判斷出答案.
【詳解】
設(shè)降雨量為x，容器內(nèi)雨水高度為h,
根據(jù)體積相等關(guān)系可得：，
解得 ，
由于 ，故，
故
故選：CD．
10．（2023·湖北·高三階段練習(xí)）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧所在圓的半徑分別是3和9，且，則該圓臺的（ ）
A．高為B．體積為
C．表面積為D．上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為
【答案】AC
【解析】
【分析】
設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，求出，即可判斷選項A正確；利用公式計算即可判斷選項BCD的真假得解.
【詳解】
解：設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則，解得．圓臺的母線長，圓臺的高為，則選項正確；
圓臺的體積，則選項錯誤；
圓臺的上底面積為，下底面積為，側(cè)面積為，則圓臺的表面積為，則正確；
由前面可知上底面積?下底面積和側(cè)面積之比為，則選項D錯誤．
故選：AC．
11．（2022·湖南·長沙一中模擬預(yù)測）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（ ）
A．球與圓柱的表面積之比為
B．平面DEF截得球的截面面積最小值為
C．四面體CDEF的體積的取值范圍為
D．若為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點，則的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用球的表面積公式及圓柱的表面積公式可判斷A，由題可得到平面DEF的距離為，進而可得平面DEF截得球的截面面積最小值可判斷B，由題可得四面體CDEF的體積等于可判斷C，設(shè)在底面的射影為，設(shè)，，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍可判斷D.
【詳解】
由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，則球表面積
為，圓柱的表面積，
所以球與圓柱的表面積之比為，故A錯誤；
過作于，則由題可得，
設(shè)到平面DEF的距離為，平面DEF截得球的截面圓的半徑為，
則，，
所以平面DEF截得球的截面面積最小值為，故B正確；
由題可知四面體CDEF的體積等于，點到平面的距離，
又，所以，故C正確；
由題可知點在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)在底面的射影為，
則，
設(shè)，則，，
所以
，
所以，故D正確.
故選：BCD.
12．（2022·全國·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
直接由體積公式計算，連接交于點，連接，由計算出，依次判斷選項即可.
【詳解】
設(shè)，因為平面，，則，
，連接交于點，連接，易得，
又平面，平面，則，又，平面，則平面，
又，過作于，易得四邊形為矩形，則，
則，，
，則，，，
則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.
故選：CD.
三、填空題
13．（2021·全國·高考真題（文））已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.
【詳解】
∵
∴
∴
∴.
故答案為：.
14．（2020·江蘇·高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是 ____ cm3.
【答案】
【解析】
【分析】
先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結(jié)果.
【詳解】
正六棱柱體積為
圓柱體積為
所求幾何體體積為
故答案為：
15．（2019·天津·高考真題（文））已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點，確定所求的圓柱的高和底面半徑．
【詳解】
由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，圓柱的底面半徑為，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，故圓柱的體積為．
16．（2022·吉林·長春市第二實驗中學(xué)高三階段練習(xí)）在三棱錐中，點在底面的射影是的外心，，則該三棱錐外接球的體積為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由正弦定理得，外接圓的半徑，再由勾股定理，即可求出半徑,從而可得外接球體積.
【詳解】
解：設(shè)的外心為,連接,則球心在
上，連接,
則為外接圓的半徑r,
連接,設(shè)外接球的半徑為R,
則,
在中，由正弦定理得
解得,即,
在中，
在,中,即
,解得：,
所以外接球的體積為：，
故答案為：
四、解答題
17．（2022·安徽蕪湖·高一期末）如圖①，有一個圓柱形狀的玻璃水杯，底面圓的直徑為20cm，高為30cm，杯內(nèi)有20cm深的溶液.如圖②，現(xiàn)將水杯傾斜，且傾斜時點B始終不離開桌面，設(shè)直徑AB所在直線與桌面所成的角為α.要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會溢出，求α的最大值.
【答案】
【解析】
【分析】
當水杯傾斜過程中，溶液恰好不溢出時，此時α最大；在這個臨界條件下，結(jié)合溶液的體積不變，可以得到關(guān)于α的一個不等式，即可求出α的取值范圍，得到最大值.
【詳解】
如圖所示，在Rt△CDE中，
解得，即α的最大值.
18．（2022·全國·南寧二中高三期末（文））圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，，將該圖形沿AB，AD折起使得AE與AF重合，連接CG，如圖2.
(1)證明：圖2中的C，D，E，G四點共面；
(2)求圖2中三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）依題意可得，，即可得到，從而得到，即可得證；
（2）依題意可得、，即可得到平面從而得到平面，再根據(jù)計算可得；
(1)
證明：在矩形和菱形中，，，
所以，
所以，
所以、、、四點共面；
(2)
解：在中，矩形中，
，平面，所以平面，
又，所以平面，
又，
所以
19．（2022·山西呂梁·高一期末）如圖是某種水箱用的“浮球”，它是由兩個半球和一個圓柱筒組成．已知球的半徑是，圓柱筒的高是．
(1)求這種“浮球”的體積；
(2)要在100個這種“浮球”的表面涂一層防水漆，每平方厘米需要防水漆，共需多少防水漆？
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由球的體積公式和圓柱的體積公式求解即可；
（2）由球的表面積公式和圓柱的側(cè)面積公式求解即可.
(1)
因為該“浮球”的圓柱筒底面半徑和半球的半徑，圓柱筒的高為2cm，所以兩個半球的體積之和為，
圓柱的體積，∴該“浮球”的體積是；
(2)
根據(jù)題意，上下兩個半球的表面積是，而“浮球”的圓柱筒側(cè)面積為，
∴“浮球”的表面積為；所以給100個這種浮球的表面涂一層防水漆需要.
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在直角梯形ABCD中，，∠BAD=90°，，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到圖2中的位置，使平面平面BCDE，得到四棱錐．當四棱錐的體積為，求a的值．
【答案】.
【解析】
【分析】
在直角梯形ABCD中，證明，在四棱錐中，由面面垂直的性質(zhì)證得平面BCDE，再利用錐體體積公式計算作答.
【詳解】
如圖，在直角梯形中，連接，因E是AD的中點，，有，
則四邊形是平行四邊形，又，于是得是正方形，，
在四棱錐中，，因平面平面，且平面平面，
平面，因此平面，即是四棱錐的高，
顯然，平行四邊形的面積，
因此，四棱錐的體積為，解得，
所以a的值是6.
21．（2022·北京·高一期末）《九章算術(shù)》中對一些特殊的幾何體有特定的稱謂，例如：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點與相對的棱刨開，得到一個陽馬(底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個鱉臑 (四個面均為直角三角形的四面體)．在如圖所示的塹堵中，已知，，．當陽馬體積等于時， 求：
(1)塹堵的側(cè)棱長；
(2)鱉臑的體積；
(3)陽馬的表面積．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)塹堵的側(cè)棱長為，根據(jù)陽馬體積等于求解即可；
（2）根據(jù)棱錐的體積計算即可；
（3）分別計算的側(cè)面積與底面積即可
(1)
因為，，，
所以．
所以△為直角三角形．
設(shè)塹堵的側(cè)棱長為，則
，則，
所以，所以塹堵的側(cè)棱長為．
(2)
因為，
所以．
所以鱉臑的體積為．
(3)
因為，，
，，
，所以陽馬的表面積的表面積為．
22．（2022·重慶市巫山大昌中學(xué)校高一期末）如圖，AB是圓柱的一條母線，BC過底面圓心O，D是圓O上一點．已知，

(1)求該圓柱的表面積；
(2)將四面體ABCD繞母線AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求的三邊在旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的幾何體的體積．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題意求出柱的底面圓的半徑即可求解；
（2）繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積為兩個圓錐的體積之差，結(jié)合圓錐體積公式求解即可
(1)
由題意知AB是圓柱的一條母線，BC過底面圓心O，且，
可得圓柱的底面圓的半徑為，
則圓柱的底面積為，
圓柱的側(cè)面積為
所以圓柱的表面積為．
(2)
由線段AC繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以BC為底面半徑，以AB為高的圓錐，
線段AD繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為BD為底面半徑，以AB為高的圓錐，
所以以繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積為：
．
等級
24h降用量（mm）
小雨
（0，10）
中雨
[10，25）
大雨
[25，50）
暴雨
[50，100）
大暴雨
[100，250）
特大暴雨
[250，+∞）

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