1．（2022·重慶市模擬）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國(guó)民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8日起實(shí)施航班熔斷機(jī)制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測(cè)結(jié)果為陽性的旅客人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的民航局對(duì)其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運(yùn)行（達(dá)到5個(gè)暫停運(yùn)行1周，達(dá)到10個(gè)暫停運(yùn)行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期”結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計(jì)劃.已知某國(guó)際航空公司A航線計(jì)劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是 SKIPIF 1 < 0 .一條航線處于“熔斷期”的原計(jì)劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明： SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項(xiàng)和 SKIPIF 1 < 0 ，并說明 SKIPIF 1 < 0 的實(shí)際意義.
【答案】見解析
【解析】（1）解： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明：由題得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)、 SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列；
（3）解：由（2）知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
從而 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 可以理解為第 SKIPIF 1 < 0 次航班平均被熔斷的次數(shù)，
∴ SKIPIF 1 < 0 表示前 SKIPIF 1 < 0 次航班一共被熔斷的次數(shù).
2．（2021·高州模擬）為落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育“健康知識(shí)＋基本運(yùn)動(dòng)技能＋專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競(jìng)賽－校級(jí)聯(lián)賽－選拔性競(jìng)賽－國(guó)際交流比賽”為一體的競(jìng)賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國(guó)家五級(jí)學(xué)校體育競(jìng)賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動(dòng)，其中傳統(tǒng)項(xiàng)目“定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得 SKIPIF 1 < 0 分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，乙每次踢球命中的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，且各次踢球互不影響．
（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望；
（2）若經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 輪踢球，用 SKIPIF 1 < 0 表示經(jīng)過第 SKIPIF 1 < 0 輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
②規(guī)定 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)根據(jù)①中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，并求出數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式．
【答案】見解析
【解析】（1）記一輪踢球，甲命中為事件 SKIPIF 1 < 0 ，乙命中為事件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立．
由題意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，甲的得分 SKIPIF 1 < 0 的可能取值為 SKIPIF 1 < 0 ，0，1．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
∴X的分布列為：
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①由（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得-1分．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
②∵規(guī)定 SKIPIF 1 < 0 ，且有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列，
公比為 SKIPIF 1 < 0 ，首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
3．（2022·廊坊模擬）有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到 SKIPIF 1 < 0 ），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到 SKIPIF 1 < 0 ），直到棋子跳到第99站（勝利大本營(yíng)）或跳到第100站（失敗集中營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站概率為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求證： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】見解析
【解析】（1）解：棋子開始在第0站為必然事件，∴ SKIPIF 1 < 0 .
第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：
①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）證明：棋子跳到第n（ SKIPIF 1 < 0 ）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：
①棋子先到第 SKIPIF 1 < 0 站，又?jǐn)S出反面，其概率為 SKIPIF 1 < 0 ；
②棋子先到第 SKIPIF 1 < 0 站，又?jǐn)S出正面，其概率為 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（3）解：由（2）知，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為 SKIPIF 1 < 0 的等比數(shù)列.
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 .
以上各式相加，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
4．（2022·太原二模）足球運(yùn)動(dòng)是深受人們喜愛的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，其中守門員撲點(diǎn)球和傳球是足球訓(xùn)練中的兩個(gè)重要訓(xùn)練項(xiàng)目．
（1）假設(shè)發(fā)點(diǎn)球時(shí)，球員等可能地選擇左、中、右三個(gè)方向射門，守門員等可能地選擇左、中、右三個(gè)方向撲點(diǎn)球，且守門員方向判斷正確時(shí)有 SKIPIF 1 < 0 的可能將球撲出球門外．在一次點(diǎn)球戰(zhàn)中，求守門員在前三次點(diǎn)球中，把球撲出球門外的個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）某次傳球訓(xùn)練中，教練員讓甲、乙、丙、丁4名球員進(jìn)行傳接球訓(xùn)練，從甲開始傳球，等可能地傳給另外3人中的1人，接球者再等可能地傳給另外3人中的1人，如此一直進(jìn)行．假設(shè)每個(gè)球都能被接住，記第n次傳球后球又回到甲腳下的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．求證：數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列，并求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】見解析
【解析】（1）解：每個(gè)點(diǎn)球能被守門員撲出球門外的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
由題知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
X的分布列為：
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）證明：由已知第 SKIPIF 1 < 0 次傳球后球又回到甲腳下的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ，公比為 SKIPIF 1 < 0 的等比數(shù)列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
5．（2022·湖北模擬）2022年2月 SKIPIF 1 < 0 日，中國(guó)女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國(guó)女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國(guó)女足通過點(diǎn)球大戰(zhàn) SKIPIF 1 < 0 驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇.
（1）撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來?yè)潼c(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有 SKIPIF 1 < 0 的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的分布列和期望；
（2）好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙?丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的 SKIPIF 1 < 0 人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
①試證明 SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列；
②設(shè)第 SKIPIF 1 < 0 次傳球之前球在乙腳下的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，比較 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的大小.
【答案】見解析
【解析】（1）解：依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 可能的取值為0，1，2，3
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
期望 SKIPIF 1 < 0 .
另解：依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 可能的取值為 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
期望 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：①第 SKIPIF 1 < 0 次傳球之前球在甲腳下的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，第 SKIPIF 1 < 0 次傳球之前球在甲腳下的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，第 SKIPIF 1 < 0 次傳球之前球不在甲腳下的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項(xiàng)，公比為 SKIPIF 1 < 0 的等比數(shù)列.
②由①可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
題組二 與函數(shù)綜合
1．（2022北京）2022年冬奧會(huì)在北京舉行，冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評(píng)不斷，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀(jì)念品在專賣店進(jìn)行售賣.已知這款紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為80元/件，為了確定其銷售價(jià)格，調(diào)查了對(duì)這款紀(jì)念品有購(gòu)買意向的消費(fèi)者（以下把對(duì)該紀(jì)念品有購(gòu)買意向的消費(fèi)者簡(jiǎn)稱為消費(fèi)者）的心理價(jià)位，并將收集的100名消費(fèi)者的心理價(jià)位整理如下：
假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這款紀(jì)念品的銷售價(jià)格小于或等于某位消費(fèi)者的心理價(jià)位時(shí)，該消費(fèi)者就會(huì)購(gòu)買該紀(jì)念品.公司為了滿足更多消費(fèi)者的需求，規(guī)定每位消費(fèi)者最多只能購(gòu)買一件該紀(jì)念品.設(shè)這款紀(jì)念品的銷售價(jià)格為x（單位：元/件）， SKIPIF 1 < 0 ，且每位消費(fèi)者是否購(gòu)買該紀(jì)念品相互獨(dú)立.用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，頻率視為概率.
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，試估計(jì)消費(fèi)者購(gòu)買該紀(jì)念品的概率；已知某時(shí)段有4名消費(fèi)者進(jìn)店，X為這一時(shí)段該紀(jì)念品的購(gòu)買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）假設(shè)共有M名消費(fèi)者，設(shè)該公司售賣這款紀(jì)念品所得總利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價(jià)格x定為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 達(dá)到最大值？
【答案】見解析
【解析】（1）解： SKIPIF 1 < 0 時(shí)，消費(fèi)者購(gòu)買該紀(jì)念品的概率 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立），
SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立），
SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立），
SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 最大，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ．
所以當(dāng)該紀(jì)念品的銷售價(jià)格定為110元多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 達(dá)到最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022高三上·濰坊期中）2020年10月16日，是第40個(gè)世界糧食日.中國(guó)工程院院士袁隆平海水稻團(tuán)隊(duì)迎來了海水稻的測(cè)產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地YC-801測(cè)產(chǎn)，畝產(chǎn)超過648.5公斤，通過推廣種植海水稻，實(shí)現(xiàn)億畝荒灘變糧倉(cāng)，大大提高了當(dāng)?shù)鼐用袷杖?某企業(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進(jìn)行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為 SKIPIF 1 < 0 ，其質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)劃分如下表：
為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時(shí)調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn).現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：
（1）若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件 SKIPIF 1 < 0 ，求事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率；
（2）若從質(zhì)量指標(biāo)值 SKIPIF 1 < 0 的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求質(zhì)量指標(biāo)值 SKIPIF 1 < 0 的件數(shù) SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值 SKIPIF 1 < 0 與利潤(rùn) SKIPIF 1 < 0 （單位：元）的關(guān)系如下表 SKIPIF 1 < 0 ：
試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請(qǐng)說明理由；若能，試確定 SKIPIF 1 < 0 為何值時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)達(dá)到最大（參考數(shù)值： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）.
【答案】見解析
【解析】（1）解：設(shè)事件 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，則由頻率分布直方圖可得，
1件產(chǎn)品為廢品的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于85的產(chǎn)品中，
SKIPIF 1 < 0 的頻率為 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的頻率為 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 的頻率為 SKIPIF 1 < 0 .
故利用分層抽樣抽取的7件產(chǎn)品中， SKIPIF 1 < 0 的有4件， SKIPIF 1 < 0 的有2件， SKIPIF 1 < 0 的有1件.
從這 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品中任取 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品，質(zhì)量指標(biāo)值 SKIPIF 1 < 0 的件數(shù) SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3）解：由頻率分布直方圖可得該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值 SKIPIF 1 < 0 與利潤(rùn) SKIPIF 1 < 0 （元）的關(guān)系如下表所示（ SKIPIF 1 < 0 ）：
故每件產(chǎn)品的利潤(rùn) SKIPIF 1 < 0 .
則 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減.
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，為 SKIPIF 1 < 0 .
所以生產(chǎn)該產(chǎn)品能夠盈利，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)取得最大值 SKIPIF 1 < 0 元.
3．（2021高三上·通州期中）某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)銷售某種蔬菜（兩個(gè)市場(chǎng)的銷售互不影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價(jià)處理，每噸虧損100元．現(xiàn)分別統(tǒng)計(jì)該蔬菜在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)以往100個(gè)周期的市場(chǎng)需求量，制成頻數(shù)分布條形圖如下：
以市場(chǎng)需求量的頻率代替需求量的概率．設(shè)批發(fā)商在下個(gè)銷售周期購(gòu)進(jìn) SKIPIF 1 < 0 噸該蔬菜，在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)同時(shí)銷售，以 SKIPIF 1 < 0 （單位：噸）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場(chǎng)的總需求量， SKIPIF 1 < 0 （單位：元） 表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場(chǎng)的銷售總利潤(rùn)．
（1）求變量 SKIPIF 1 < 0 概率分布列；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)解析式，并估計(jì)銷售利潤(rùn)不少于8900元的概率；
（3）以銷售利潤(rùn)的期望作為決策的依據(jù)，判斷 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 應(yīng)選用哪一個(gè)．
【答案】見解析
【解析】（1）解：設(shè)甲市場(chǎng)需求量為 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，乙市場(chǎng)需求量為 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，則由題意得
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)兩個(gè)市場(chǎng)總需求量為 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，則由題意得
SKIPIF 1 < 0 所有可能的取值為16，17，18，19，20，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列如下表．
（2）解：由題意得，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
設(shè) SKIPIF 1 < 0 “銷售利潤(rùn)不少于8900元”，則
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）中 SKIPIF 1 < 0 的分布列可知， SKIPIF 1 < 0
（3）解：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的分布列為：
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)? SKIPIF 1 < 0 ，所以應(yīng)選 SKIPIF 1 < 0 .
題組三 與導(dǎo)數(shù)綜合
1．（2022·湖南模擬）中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù) SKIPIF 1 < 0 為49.8%，反映出中國(guó)制造業(yè)擴(kuò)張步伐有所加快.以新能源汽車?機(jī)器人?增材制造?醫(yī)療設(shè)備?高鐵?電力裝備?船舶?無人機(jī)等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，則進(jìn)一步體現(xiàn)了中國(guó)制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，并把質(zhì)量差在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
（1）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù) SKIPIF 1 < 0 作為 SKIPIF 1 < 0 的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 SKIPIF 1 < 0 作為 SKIPIF 1 < 0 的估計(jì)值，記質(zhì)量差 SKIPIF 1 < 0 ，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)
（2）假如企業(yè)包裝時(shí)要求把2件優(yōu)等品和 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 )件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同則該箱產(chǎn)品記為 SKIPIF 1 < 0 ，否則該箱產(chǎn)品記為B.
①試用含 SKIPIF 1 < 0 的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為 SKIPIF 1 < 0 的概率 SKIPIF 1 < 0 ；
②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，求當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為何值時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，并求出最大值.
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，則： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】見解析
【解析】（1）解：由題意，估計(jì)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件的平均數(shù)為：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
樣本方差 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則優(yōu)等品為質(zhì)量差在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，即 SKIPIF 1 < 0 ，
一等品為質(zhì)量差在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以正品為質(zhì)量差在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：①?gòu)?SKIPIF 1 < 0 件正品中任選兩個(gè)，有 SKIPIF 1 < 0 種選法，其中等級(jí)相同有 SKIPIF 1 < 0 種選法，
∴某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為： SKIPIF 1 < 0 .
②由題意，一箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，則5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 時(shí)，5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率最大，最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
2（2022·齊齊哈爾二模）為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以 SKIPIF 1 < 0 取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？
（2）第10輪比賽中，記張三 SKIPIF 1 < 0 取勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
①求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
②若以 SKIPIF 1 < 0 作為 SKIPIF 1 < 0 的值，這輪比賽張三所得積分為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及期望.
【答案】見解析
【解析】（1）解：比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：①由題可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 的可能取值為0，1，2，3.
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
SKIPIF 1 < 0 的期望為 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·葫蘆島模擬）葫蘆島市礦產(chǎn)資源豐富，擁有煤、鉬、鋅、鉛等51種礦種，采礦業(yè)歷史悠久，是葫蘆島市重要產(chǎn)業(yè)之一．某選礦場(chǎng)要對(duì)即將交付客戶的一批200袋鉬礦進(jìn)行品位（即純度）檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出品位不達(dá)標(biāo)，則更換為達(dá)標(biāo)產(chǎn)品，檢驗(yàn)時(shí)；先從這批產(chǎn)品中抽20袋做檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有鉬礦做檢驗(yàn)，設(shè)每袋鉬礦品位不達(dá)標(biāo)的概率都為 SKIPIF 1 < 0 ，且每袋鉬礦品位是否達(dá)標(biāo)相互獨(dú)立．
（1）若20袋鉬礦中恰有2袋不達(dá)標(biāo)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
（2）已知每袋鉬礦的檢驗(yàn)成本為10元，若品位不達(dá)標(biāo)鉬礦不慎出場(chǎng)，對(duì)于每袋不達(dá)標(biāo)鉬礦要賠付客戶110元．現(xiàn)對(duì)這批鉬礦檢驗(yàn)了20袋，結(jié)果恰有兩袋品位不達(dá)標(biāo)．
①若剩余鉬礦不再做檢驗(yàn)，以（1）中確定的 SKIPIF 1 < 0 作為p的值．這批鉬礦的檢驗(yàn)成本與賠償費(fèi)用的和記作 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
②以①中檢驗(yàn)成本與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)余下的所有鉬礦進(jìn)行檢驗(yàn)？
【答案】見解析
【解析】（1）解：20袋鉬礦中恰有2件不達(dá)標(biāo)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
因此 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ；得 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ．
①令 SKIPIF 1 < 0 表示余下的180袋鉬礦中不達(dá)標(biāo)的袋數(shù)，依據(jù)題意可知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
②若對(duì)余下的鉬礦進(jìn)行檢驗(yàn)，則所有檢驗(yàn)成本為2000元．由于 SKIPIF 1 < 0 ．應(yīng)該對(duì)余下的鉬礦都進(jìn)行檢驗(yàn)．
4．（2022·河南月考）隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，市場(chǎng)石料需求急增．西部某縣有豐富的優(yōu)質(zhì)石料，當(dāng)?shù)卣疀Q定有序開發(fā)本縣石料資源．因建立石料廠會(huì)破壞生態(tài)，該縣決定石料開發(fā)走“開發(fā)治理結(jié)合，人類生態(tài)友好”的路線.當(dāng)?shù)卣?qǐng)國(guó)家環(huán)保機(jī)構(gòu)每年對(duì)該縣與石料開發(fā)相關(guān)的生態(tài)（以下簡(jiǎn)稱生態(tài)）進(jìn)行評(píng)估．若生態(tài)開始變差，則下一年石料廠將停產(chǎn)（本問題中，時(shí)間以整數(shù)年為單位），生態(tài)友好后復(fù)產(chǎn)．該縣在建石料廠之初投入巨資進(jìn)行與之有關(guān)的生態(tài)建設(shè)，考慮到可持續(xù)發(fā)展，這種生態(tài)投入（以下簡(jiǎn)稱生態(tài)投入）將逐年減少 SKIPIF 1 < 0 （a是常數(shù)， SKIPIF 1 < 0 ）億元．該縣從2021年起，若某年生態(tài)友好，則下一年生態(tài)變差的概率是 SKIPIF 1 < 0 ；若某年生態(tài)變差，則下一年生態(tài)友好的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．模型顯示，生態(tài)變差的概率不大于0.16683時(shí)，該縣生態(tài)將不再變差，生態(tài)投入結(jié)束．
（1）若2021年該縣生態(tài)變差的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，求該縣2022年生態(tài)友好的概率；
（2）若2021年該縣生態(tài)變差概率為 SKIPIF 1 < 0 ，生態(tài)投入是40億元，a為何值時(shí)，從2021年開始到生態(tài)投入結(jié)束，對(duì)該縣總生態(tài)投入額最小？并求出其最小值．
【答案】見解析
【解析】（1）解：設(shè) SKIPIF 1 < 0 “該縣2021年生態(tài)友好”， SKIPIF 1 < 0 “該縣2022年生態(tài)友好”，
∵該縣2021年生態(tài)變差的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴如果該縣2021年生態(tài)友好，那么它2022年生態(tài)友好的概率為
SKIPIF 1 < 0 ，
該縣2021年變差，那么它2022年友好的概率為
SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)椤霸摽h2021年生態(tài)友好，那么它2022年生態(tài)友好”與“該縣 SKIPIF 1 < 0 年生態(tài)變差，而 SKIPIF 1 < 0 年生態(tài)友好”是互斥事件，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，該縣2022年生態(tài)友好的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：設(shè)該縣2021年生態(tài)變差的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
同（1）可得，該縣 SKIPIF 1 < 0 年生態(tài)友好的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴該縣 SKIPIF 1 < 0 年生態(tài)變差的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴該縣 SKIPIF 1 < 0 年生態(tài)變差的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
該縣從 SKIPIF 1 < 0 年開始的第 SKIPIF 1 < 0 年生態(tài)變差的概率為
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴若從 SKIPIF 1 < 0 年開始到生態(tài)投入結(jié)束共有 SKIPIF 1 < 0 年，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì)該縣總生態(tài)投入額
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減；若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，
由于 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最小，且最小值是 SKIPIF 1 < 0 億元，
也就是說，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，對(duì)該縣總生態(tài)投入額最小，最小值為 SKIPIF 1 < 0 億元．
5．（2022·濰坊模擬）某學(xué)校組織數(shù)學(xué)，物理學(xué)科答題競(jìng)賽活動(dòng)，該學(xué)校準(zhǔn)備了100個(gè)相同的箱子，其中第 SKIPIF 1 < 0 個(gè)箱子中有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)數(shù)學(xué)題， SKIPIF 1 < 0 個(gè)物理題．每一輪競(jìng)賽活動(dòng)規(guī)則如下：任選一個(gè)箱子，依次抽取三個(gè)題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動(dòng)結(jié)束；若此輪活動(dòng)中，三個(gè)題目全部答對(duì)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品．
（1）已知學(xué)生甲在每一輪活動(dòng)中，都抽中了2個(gè)數(shù)學(xué)題，1個(gè)物理題，且甲答對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)題的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，答對(duì)每一個(gè)物理題的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
①求學(xué)生甲第一輪活動(dòng)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品的概率；
②已知 SKIPIF 1 < 0 ，學(xué)生甲理論上至少要進(jìn)行多少輪活動(dòng)才能獲得四個(gè)獎(jiǎng)品？并求此時(shí) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值．
（2）若學(xué)生乙只參加一輪活動(dòng)，求乙第三次抽到物理題的概率．
【答案】見解析
【解析】（1）解：①記“學(xué)生甲第一輪活動(dòng)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品”為事件 SKIPIF 1 < 0 ．則 SKIPIF 1 < 0 ；
②學(xué)生甲在每一輪活動(dòng)中獲得一個(gè)獎(jiǎng)品的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減， SKIPIF 1 < 0 ，
即當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．
學(xué)生甲在 SKIPIF 1 < 0 輪活動(dòng)中獲得獎(jiǎng)品的個(gè)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ．
故理論上至少要進(jìn)行27輪游戲，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：設(shè)選出的是第 SKIPIF 1 < 0 個(gè)箱子，連續(xù)三次取出題目的方法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)數(shù)學(xué)題為 SKIPIF 1 < 0 ，物理題為 SKIPIF 1 < 0 ，第三次取出的是物理題 SKIPIF 1 < 0 有如下四種情形：
SKIPIF 1 < 0 取法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 取法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 取法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 取法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
從而，第三次取出的是物理題的種數(shù)為
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
則在第 SKIPIF 1 < 0 個(gè)箱子中第三次取出的是物理題的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
而選到第 SKIPIF 1 < 0 個(gè)箱子的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
題組四 與其他知識(shí)綜合
1．（2021高三上·濰坊期中）2021年7月18日第 SKIPIF 1 < 0 屆全國(guó)中學(xué)生生物學(xué)競(jìng)賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行．為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分成 SKIPIF 1 < 0 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中 SKIPIF 1 < 0 的值，并估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；
（2）在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)冢? SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的三組中抽取了11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人，記 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績(jī)?cè)? SKIPIF 1 < 0 的為A等級(jí)，成績(jī)?cè)? SKIPIF 1 < 0 的為 SKIPIF 1 < 0 等級(jí)，其它為 SKIPIF 1 < 0 等級(jí)．以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，從所有參加生物競(jìng)賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取100人，其中獲得 SKIPIF 1 < 0 等級(jí)的人數(shù)設(shè)為 SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 等級(jí)的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，寫出 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式，并求出當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為何值時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最大？
【答案】見解析
【解析】（1）解：由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)? SKIPIF 1 < 0 ，
所以中位數(shù)在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以這50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為68.
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三組數(shù)據(jù)頻率比為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以從 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三組中分別抽取7人，3人，1人，
則 SKIPIF 1 < 0 可取0，1，2，3，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 的分布列
期望 SKIPIF 1 < 0
（3）解：B等級(jí)的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，則B等級(jí)有40人，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng)k=40時(shí)， SKIPIF 1 < 0 有最大值.
2．（2022·福州模擬）某種疾病可分為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩種類型，為了解該疾病的類型與患者性別是否相關(guān)，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了若干名該疾病的患者進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性患者人數(shù)是男性患者的2倍，男性患 SKIPIF 1 < 0 型疾病的人數(shù)占男性患者的 SKIPIF 1 < 0 ，女性患 SKIPIF 1 < 0 型疾病的人數(shù)占女性患者的 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
（1）若本次調(diào)查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為‘所患疾病的類型’與‘性別’有關(guān)”的結(jié)論，求被調(diào)查的男性患者至少有多少人？
（2）某團(tuán)隊(duì)進(jìn)行預(yù)防 SKIPIF 1 < 0 型疾病的疫苗的研發(fā)試驗(yàn)，試驗(yàn)期間至多安排2個(gè)周期接種疫苗，每人每個(gè)周期接種3次，每次接種費(fèi)用為 SKIPIF 1 < 0 元.該團(tuán)隊(duì)研發(fā)的疫苗每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，如果一個(gè)周期內(nèi)至少2次出現(xiàn)抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，否則進(jìn)人第二個(gè)周期.若 SKIPIF 1 < 0 ，試驗(yàn)人數(shù)為1000人，試估計(jì)該試驗(yàn)用于接種疫苗的總費(fèi)用.
【答案】見解析
【解析】（1）解：設(shè)男性患者有 SKIPIF 1 < 0 人，則女性患者有 SKIPIF 1 < 0 人， SKIPIF 1 < 0 列聯(lián)表如下：
假設(shè) SKIPIF 1 < 0 ：患者所患疾病類型與性別之間無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到 SKIPIF 1 < 0 ，
要使在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小整數(shù)值為12，
因此，男性患者至少有12人.
（2）解：設(shè)該試驗(yàn)每人的接種費(fèi)用為 SKIPIF 1 < 0 元，則 SKIPIF 1 < 0 的可能取值為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，試驗(yàn)人數(shù)為1000人，
所以該試驗(yàn)用于接種疫苗的總費(fèi)用為 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 元.
3．（2022·潮州二模）我國(guó)在芯片領(lǐng)域的短板有光刻機(jī)和光刻膠，某風(fēng)險(xiǎn)投資公司準(zhǔn)備投資芯片領(lǐng)域，若投資光刻機(jī)項(xiàng)目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30％的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，收益率為-10％的概率為 SKIPIF 1 < 0 ；若投資光刻膠項(xiàng)目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30％的概率為0.4，收益率為-20％的概率為0.1，收益率為零的概率為0.5．
附：收益＝投入的資金×獲利的期望；線性回歸 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）已知投資以上兩個(gè)項(xiàng)目，獲利的期望是一樣的，請(qǐng)你從風(fēng)險(xiǎn)角度考慮為該公司選擇一個(gè)較穩(wěn)妥的項(xiàng)目；
（2）若該風(fēng)險(xiǎn)投資公司準(zhǔn)備對(duì)以上你認(rèn)為較穩(wěn)妥的項(xiàng)目進(jìn)行投資，4年累計(jì)投資數(shù)據(jù)如下表：
請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的線性回歸方程 SKIPIF 1 < 0 ，并預(yù)測(cè)到哪一年年末，該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益預(yù)期能達(dá)到0.75億元．
【答案】見解析
【解析】（1）解：若投資光刻機(jī)項(xiàng)目，設(shè)收益率為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
若投資光刻膠項(xiàng)目，設(shè)收益率為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)橥顿Y以上兩個(gè)項(xiàng)目，獲利的期望是一樣的，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
這說明光刻機(jī)項(xiàng)目和光刻膠項(xiàng)目獲利相等，但光刻膠項(xiàng)目更穩(wěn)妥．
綜上所述，建議該風(fēng)投公司投資光刻膠項(xiàng)目．
（2）解：， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則，
，故線性回歸方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè)該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益為Y，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故在2022年年末該投資公司在芯片領(lǐng)域的投資收益可以超過0.75億元．X
-1
0
1
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
X
0
1
2
3
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
心理價(jià)位（元/件）
90
100
110
120
人數(shù)
10
20
50
20
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
4
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
質(zhì)量指標(biāo)值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
質(zhì)量指標(biāo)等級(jí)
良好
優(yōu)秀
良好
合格
廢品
質(zhì)量指標(biāo)值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
利潤(rùn) SKIPIF 1 < 0 （元）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
質(zhì)量指標(biāo)值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
利潤(rùn) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
SKIPIF 1 < 0
16
17
18
19
20
SKIPIF 1 < 0
0.06
0.23
0.35
0.27
0.09
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0.06
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0.06
SKIPIF 1 < 0
0.71
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
3
P
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
SKIPIF 1 < 0 型病
SKIPIF 1 < 0 型病
合計(jì)
男
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
女
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
合計(jì)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
年份x
2018
2019
2020
2021
SKIPIF 1 < 0
1
2
3
4
累計(jì)投資金額y（單位：億元）
2
3
5
6
SKIPIF 1 < 0
0.3
-0.1
P
p
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0.3
-0.2
0
P
0.4
0.1
0.5

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