新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)鞏固6.6 分布列基礎(chǔ)（精練）（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?6.6 分布列基礎(chǔ)（精練）（基礎(chǔ)版）
題組一超幾何分布

1．（2022·云南·昆明市第一中學(xué)西山學(xué)校）國(guó)家“雙減”政策落實(shí)之后，某市教育部門為了配合“雙減”工作，做好校園課后延時(shí)服務(wù)，特向本市小學(xué)生家長(zhǎng)發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷了解本市課后延時(shí)服務(wù)情況，現(xiàn)從中抽取100份問(wèn)卷，統(tǒng)計(jì)了其中學(xué)生一周課后延時(shí)服務(wù)總時(shí)間(單位：分鐘)，并將數(shù)據(jù)分成以下五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)如圖估計(jì)該市小學(xué)生一周課后延時(shí)服務(wù)時(shí)間的眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)(保留小數(shù)點(diǎn)后一位)；
(2)通過(guò)調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，若服務(wù)總時(shí)間超過(guò)160分鐘，則學(xué)生有不滿情緒，現(xiàn)利用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本問(wèn)卷中隨機(jī)抽取8份，再?gòu)某槿〉?份問(wèn)卷中抽取3份，記其中有不滿情緒的問(wèn)卷份數(shù)為，求的分布列及均值.
【答案】(1)150，151，150.9；(2)分布列見(jiàn)解析，.
【解析】(1)眾數(shù)：150；
第1到5組頻率分別為：0.05，0.15，0.55，0.2，0.05，
平均數(shù)：，
設(shè)中位數(shù)為，則中位數(shù)在第3組，則，；
(2)用分層隨機(jī)抽樣抽取8份問(wèn)卷，其中學(xué)生有不滿情緒的有8×(0.2＋0.05)＝2份，
∴的可能取值為0，1，2，
∴，，，
∴的分布列為：

0
1
2

∴.
2．（2022·北京·高三專題練習(xí)）為迎接年冬奧會(huì)，北京市組織中學(xué)生開(kāi)展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核.記表示學(xué)生的考核成績(jī)，并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的考核成績(jī)，并作成如下莖葉圖：.

(1)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核為優(yōu)秀的概率；
(2)從圖中考核成績(jī)滿足的學(xué)生中任取人，設(shè)表示這人中成績(jī)滿足的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效.請(qǐng)你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，
(3)有效，理由見(jiàn)解析
【解析】
(1)解：設(shè)該名學(xué)生的考核成績(jī)優(yōu)秀為事件，
由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，名同學(xué)中，有名同學(xué)的考核成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，故.
(2)解：由可得，
所以，考核成績(jī)滿足的學(xué)生中滿足的人數(shù)為，
故隨機(jī)變量的可能取值有、、、，
，，，，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

因此，.
(3)解：由可得，由莖葉圖可知，滿足的成績(jī)有個(gè)，
所以，因此，可認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效.
3．（2022·寧夏中衛(wèi)·三模（理））共享電動(dòng)車（sharedev）是一種新的交通工具，通過(guò)掃碼開(kāi)鎖，實(shí)現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來(lái)到中國(guó)傳媒大學(xué)探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動(dòng)車，這些電動(dòng)車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動(dòng)車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動(dòng)車中任意抽取3輛.
(1)求取出的3輛共享電動(dòng)車中恰好有一輛是橙色的概率；
(2)求取出的3輛共享電動(dòng)車中橙色的電動(dòng)車的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)；
(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.
【解析】(1)因?yàn)閺?0輛共享電動(dòng)車中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動(dòng)車有4輛，熒光綠的電動(dòng)車有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”，則.
(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.
所以，，
，.
所以分布列為

0
1
2
3

數(shù)學(xué)期望.
4．（2022·廣東·華南師大附中三模）“雙減”政策實(shí)施后，為了解某地中小學(xué)生周末體育鍛煉的時(shí)間，某研究人員隨機(jī)調(diào)查了600名學(xué)生，得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：
周末體育鍛煉時(shí)間

頻率
0.1
0.2
0.3
0.15
0.15
0.1
(1)估計(jì)這600名學(xué)生周末體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
(2)在這600人中，用分層抽樣的方法，從周末體育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取15人，再?gòu)倪@15人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中周末體育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)；(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：.
【解析】(1)估計(jì)這600名學(xué)生周末體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)
.
(2)依題意，周末體育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生抽6人，在內(nèi)的學(xué)生抽9人，
則，，，，
故X的分布列為：
X
0
1
2
3
P

則.

5．（2022·云南保山·模擬預(yù)測(cè)（理））某高中學(xué)校為了解學(xué)生的課外體育鍛煉時(shí)間情況，在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將數(shù)據(jù)分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天課外體育鍛煉時(shí)間在上的學(xué)生評(píng)價(jià)為鍛煉達(dá)標(biāo)，將平均每天課外體育鍛煉時(shí)間在上的學(xué)生評(píng)價(jià)為鍛煉不達(dá)標(biāo)

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這200名學(xué)生每天課外體育鍛煉時(shí)間的眾數(shù)、中位數(shù)；
(2)為了了解學(xué)生課外體育鍛煉時(shí)間不達(dá)標(biāo)的原因，從上述鍛煉不達(dá)標(biāo)的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人，記這三人中每天課外體育鍛煉時(shí)間在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)中位數(shù)為，眾數(shù)等于25(2)分布列見(jiàn)解析，0.9
【解析】(1)眾數(shù)就是直方圖中最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則樣本眾數(shù)等于25．
由頻率分布直方圖可得，在上的頻率為0.08，在上的頻率為0.16，在上的頻率為0.32，，則中位數(shù)在區(qū)間上．
設(shè)中位數(shù)為，則，，即樣本中位數(shù)為．
(2)根據(jù)題意，在，，，上抽取的人數(shù)分別為1，2，4，3，其中在上抽取的人數(shù)為3，則，1，2，3．，
．
從而得到隨機(jī)變量的分布列如下表：

0
1
2
3
P

隨機(jī)變量的期望
6．（2022·北京市朝陽(yáng)區(qū)人大附中朝陽(yáng)分校模擬預(yù)測(cè)）自“新型冠狀肺炎”疫情爆發(fā)以來(lái)，科研團(tuán)隊(duì)一直在積極地研發(fā)“新冠疫苗”.在科研人員不懈努力下，我國(guó)公民率先在年年末開(kāi)始使用安全的新冠疫苗，使我國(guó)的“防疫”工作獲得更大的主動(dòng)權(quán).研發(fā)疫苗之初，為了測(cè)試疫苗的效果，科研人員以白兔為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，進(jìn)行了一些實(shí)驗(yàn)：
(1)實(shí)驗(yàn)一：選取只健康白兔，編號(hào)至號(hào)，注射一次新冠疫苗后，再讓它們暴露在含有新冠病毒的環(huán)境中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：除號(hào)?號(hào)?號(hào)和號(hào)四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染.現(xiàn)從這只白兔中隨機(jī)抽取只進(jìn)行研究，將仍被感染的白兔只數(shù)記作，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)實(shí)驗(yàn)二：疫苗可以再次注射第二針?加強(qiáng)針，但兩次疫苗注射時(shí)間間隔需大于三個(gè)月.科研人員對(duì)白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗對(duì)白兔是否有效互相不影響.試問(wèn)：若將實(shí)驗(yàn)一中未被感染新冠病毒的白兔的頻率當(dāng)做疫苗的有效率，那么一只白兔注射兩次疫苗后的有效率能否保證達(dá)到？如若可以，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不可以，請(qǐng)你參考上述實(shí)驗(yàn)給出注射疫苗后有效率在以上的建議.
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)期望；
(2)無(wú)法保證；建議：需要將注射一次疫苗的有效率提高到以上.
【解析】(1)由題意得：所有可能的取值為，，，，
；；
；；
的分布列為：

數(shù)學(xué)期望；
(2)由已知數(shù)據(jù)知：實(shí)驗(yàn)一中未被感染新冠病毒的白兔的頻率為，則注射一次疫苗的有效率為，
一只白兔注射兩次疫苗的有效率為：，
無(wú)法保證一只白兔注射兩次疫苗后的有效率達(dá)到；
設(shè)每支疫苗有效率至少達(dá)到才能滿足要求，
，解得：，
需要將注射一次疫苗的有效率提高到以上才能保證一只白兔注射兩次疫苗后的有效率達(dá)到.
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））高二年級(jí)某班學(xué)生在數(shù)學(xué)校本課程選課過(guò)程中，已知第一小組與第二小組各有六位同學(xué).每位同學(xué)都只選了一個(gè)科目，第一小組選《數(shù)學(xué)運(yùn)算》的有1人，選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的有5人，第二小組選《數(shù)學(xué)運(yùn)算》的有2人，選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的有4人，現(xiàn)從第一、第二兩小組各任選2人分析選課情況.
(1)求選出的4 人均選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的概率；
(2)設(shè)為選出的4個(gè)人中選《數(shù)學(xué)運(yùn)算》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，期望為
【解析】(1)解：設(shè)“從第一小組選出的2人選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》”為事件，“從第二小組選出的2人選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》”為事件,
由于事件、相互獨(dú)立，且，
所以選出的4人均選《數(shù)學(xué)解題思想與方法》的概率為.
(2)解：由題意，隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2，3，
可得，，
，，
所以隨機(jī)變量的分布列為：

0
1
2
3
P

所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 .

題組二二項(xiàng)分布

1．（2022·北京·人大附中三模）從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：
組號(hào)
分組
頻數(shù)
1

6
2

8
3

17
4

22
5

25
6

12
7

6
8

2
9

2
合計(jì)
100

每周課外閱讀時(shí)間小于小時(shí)的學(xué)生我們稱之為“閱讀小白”，大于等于小時(shí)且小于小時(shí)的學(xué)生稱之為“閱讀新手”，閱讀時(shí)間大于等于小時(shí)的學(xué)生稱之為“閱讀達(dá)人”.
(1)從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，已知這名學(xué)生的閱讀時(shí)間大于等于小時(shí)，問(wèn)這名學(xué)生是“閱讀達(dá)人”概率；
(2)從該校學(xué)生中選取人，用樣本的頻率估計(jì)概率，記這人中“閱讀新手和閱讀小白”的人數(shù)和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組.（只需寫(xiě)出結(jié)論）
【答案】(1)(2)分布列答案見(jiàn)解析，(3)第組
【解析】(1)解：從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，其中閱讀時(shí)間大于等于小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為，
“閱讀達(dá)人”的學(xué)生人數(shù)為，故所求概率為.
(2)解：從該校學(xué)生中任選一人，該學(xué)生是“閱讀小白”或“閱讀新人”的概率為，
所以，，則，，
，，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

.
(3)解：樣本中的名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)為

.因此，樣本中的名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第組.
2．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））《關(guān)于加快推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的意見(jiàn)》，正式把“堅(jiān)持綠水青山就是金山銀山”的理念寫(xiě)進(jìn)中央文件，成為指導(dǎo)中國(guó)加快推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的重要指導(dǎo)思想．為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某市2020年植樹(shù)節(jié)期間種植了一批樹(shù)苗，2022年市園林部門從這批樹(shù)苗中隨機(jī)抽取100棵進(jìn)行跟蹤檢測(cè)，得到樹(shù)高的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求樹(shù)高在225-235cm之間樹(shù)苗的棵數(shù)，并求這100棵樹(shù)苗樹(shù)高的平均值；
(2)若將樹(shù)高以等級(jí)呈現(xiàn)，規(guī)定：樹(shù)高在185-205cm為合格，在205-235為良好，在235-265cm為優(yōu)秀．視該樣本的頻率分布為總體的頻率分布，若從這批樹(shù)苗中機(jī)抽取3棵，求樹(shù)高等級(jí)為優(yōu)秀的棵數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析；期望為
【解析】(1)樹(shù)高在225-235cm之間的棵數(shù)為：．
樹(shù)高的平均值為：
(2)由（1）可知，樹(shù)高為優(yōu)秀的概率為：，
由題意可知，則的所有可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列為：

0
1
2
3
P
0.512
0.384
0.096
0.008
因?yàn)椋?br /> 3．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））第屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于年月日至月日在北京和張家口聯(lián)合舉辦.這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，它掀起了中國(guó)人民參與冬季運(yùn)動(dòng)的大熱潮.某市舉辦了中學(xué)生滑雪比賽，從中抽取40名學(xué)生的測(cè)試分?jǐn)?shù)繪制成莖葉圖和頻率分布直方圖如下，后來(lái)莖葉圖受到了污損，可見(jiàn)部分信息如圖.
???????
(1)求頻率分布直方圖中的值，并根據(jù)直方圖估計(jì)該市全體中學(xué)生的測(cè)試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，結(jié)果保留一位小數(shù)）；
(2)將頻率作為概率，若從該市全體中學(xué)生中抽取4人，記這4人中測(cè)試分?jǐn)?shù)不低于90分的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)，中位數(shù)為，平均數(shù)為74.5；(2)分布列見(jiàn)解析，.
【解析】(1)由頻率分布直方圖和莖葉圖知，測(cè)試分?jǐn)?shù)在的頻率依次為：，
因此，測(cè)試分?jǐn)?shù)位于的頻率為，則，
顯然測(cè)試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)t在區(qū)間內(nèi)，則有：，解得：，
測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為：.
(2)測(cè)試分?jǐn)?shù)不低于90分的頻率為，的所有可能值是：0，1，2，3，4，
顯然，，
所以X的分布列為：
X
0
1
2
3
4
P

數(shù)學(xué)期望.
4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了中國(guó)經(jīng)濟(jì)的持續(xù)發(fā)展制定了從2021年2025年發(fā)展綱要，簡(jiǎn)稱“十四五”規(guī)劃，為了普及“十四五”的知識(shí)，某黨政機(jī)關(guān)舉行“十四五”的知識(shí)問(wèn)答考試，從參加考試的機(jī)關(guān)人員中，隨機(jī)抽取100名人員的考試成績(jī)的部分頻率分布直方圖，其中考試成績(jī)?cè)谏系娜藬?shù)沒(méi)有統(tǒng)計(jì)出來(lái)．

(1)估算這次考試成績(jī)的平均分?jǐn)?shù)；
(2)把上述的頻率看作概率，把考試成績(jī)的分?jǐn)?shù)在的學(xué)員選為“十四五”優(yōu)秀宣傳員，若從黨政機(jī)關(guān)所有工作人員中，任選3名工作人員，其中可以作為優(yōu)秀宣傳員的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為
【解析】(1)設(shè)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖得，
，解得，
可知分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為0.25，則考試成績(jī)的平均分?jǐn)?shù)為
．
(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知考試成績(jī)?cè)诘念l率為，則．
，
，，
故隨機(jī)變量的分布列為

0
1
2
3
P

因?yàn)樵摲植紴槎?xiàng)分布，所以該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．
5．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在數(shù)軸上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)位置的數(shù)字記為．

(1)若該質(zhì)點(diǎn)共移動(dòng)2次，位于原點(diǎn)的概率；
(2)若該質(zhì)點(diǎn)共移動(dòng)6次，求該質(zhì)點(diǎn)到達(dá)數(shù)字的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1);(2)分布列見(jiàn)解析，.
【解析】(1)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次，可能結(jié)果共有種，
若質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)需要向左、右各移動(dòng)一次，共有種，故質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)的概率.
(2)質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)向左或向右，設(shè)事件A為“向右”，則為“向左”，故,
設(shè)Y表示6次移動(dòng)中向左移動(dòng)的次數(shù)，則，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的數(shù)字,
所以,
，，
，，
，，
所以的分布列為：

2
4
6

.
6．（2022·北京通州·模擬預(yù)測(cè)）第屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，于年月在北京市和張家口市聯(lián)合舉行．某校寒假期間組織部分滑雪愛(ài)好者參加冬令營(yíng)集訓(xùn)．訓(xùn)練期間，冬令營(yíng)的同學(xué)們都參加了“單板滑雪”這個(gè)項(xiàng)目相同次數(shù)的訓(xùn)練測(cè)試，成績(jī)分別為、、、、五個(gè)等級(jí)，分別對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)為、、、、．甲、乙兩位同學(xué)在這個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示．

(1)根據(jù)上圖判斷，甲、乙兩位同學(xué)哪位同學(xué)的單板滑雪成績(jī)更穩(wěn)定？（結(jié)論不需要證明）
(2)求甲單板滑雪項(xiàng)目各次測(cè)試分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和平均數(shù)；
(3)若甲、乙再同時(shí)參加兩次測(cè)試，設(shè)甲的成績(jī)?yōu)榉植⑶乙业某煽?jī)?yōu)榉只蚍值拇螖?shù)為，求的分布列（頻率當(dāng)作概率使用）．
【答案】(1)乙比甲的單板滑雪成績(jī)更穩(wěn)定
(2)眾數(shù)為分，平均數(shù)為分
(3)分布列答案見(jiàn)解析
【解析】(1)解：由圖可知，乙比甲的單板滑雪成績(jī)更穩(wěn)定.
(2)解：因?yàn)榧讍伟寤╉?xiàng)目測(cè)試中分和分成績(jī)的頻率之和為，
分成績(jī)的頻率為，所以，甲單板滑雪項(xiàng)目各次測(cè)試分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為分，
測(cè)試成績(jī)分的頻率為，
所以，甲單板滑雪項(xiàng)目各次測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為.
(3)解：由題意可知，在每次測(cè)試中，甲的成績(jī)?yōu)榉郑⑶乙业某煽?jī)?yōu)榉只蚍值母怕蕿椋?br /> 依題意，，所以，，
，，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

題組三獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)

1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國(guó)舉行的第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目之一．冰壺比賽的場(chǎng)地如圖所示，其中左端（投擲線的左側(cè)）有一個(gè)發(fā)球區(qū)，運(yùn)動(dòng)員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線將冰壺?cái)S出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營(yíng)壘，以場(chǎng)上冰壺最終靜止時(shí)距離營(yíng)壘區(qū)圓心的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)，甲、乙兩人進(jìn)行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)中，得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．

(1)求甲所得分?jǐn)?shù)大于乙所得分?jǐn)?shù)的概率；
(2)設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值為，求的分布列和期望．
【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，期望為：
【解析】(1)由題意知甲得0分的概率為，乙得0分的概率為，
甲所得分?jǐn)?shù)大于乙所得分?jǐn)?shù)分為：甲得3分乙得2或1或0分，甲得2分乙得1或0分，甲得1分乙得0分所以所求概率為．
(2)可能取值為0，1，2，3，

所以，隨機(jī)變量的分布列為：
X
0
1
2
3
P

所以
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某校開(kāi)展了“冬奧”相關(guān)知識(shí)趣味競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)有甲?乙兩名同學(xué)進(jìn)行比賽，共有兩道題目，一次回答一道題目.規(guī)則如下：①拋一次質(zhì)地均勻的硬幣，若正面向上，則由甲回答一個(gè)問(wèn)題，若反面向上，則由乙回答一個(gè)問(wèn)題.②回答正確者得10分，另一人得0分；回答錯(cuò)誤者得0分，另一人得5分.③若兩道題目全部回答完，則比賽結(jié)束，計(jì)算兩人的最終得分.已知甲答對(duì)每道題目的概率為，乙答對(duì)每道題目的概率為，且兩人每道題目是否回答正確相互獨(dú)立.
(1)求乙同學(xué)最終得10分的概率；
(2)記X為甲同學(xué)的最終得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，X的數(shù)學(xué)期望為
【解析】(1)記“乙同學(xué)最終得10分”為事件A，
則可能情況為甲回答兩題且錯(cuò)兩題；甲?乙各答一題且各對(duì)一題；乙回答兩題且對(duì)一題錯(cuò)一題，
則，所以乙同學(xué)得10分的概率是.
(2)甲同學(xué)的最終得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20.
，
，
，
，
.
X的分布列為
X
0
5
10
15
20
P

，所以X的數(shù)學(xué)期望為.
3．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））“民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興”，為了加強(qiáng)鄉(xiāng)村振興宣傳工作，讓更多的人關(guān)注鄉(xiāng)村發(fā)展，某校舉辦了有關(guān)城鄉(xiāng)融合發(fā)展、人與自然和諧共生的知識(shí)競(jìng)賽.比賽分為初賽和復(fù)賽兩部分，初賽采用選手從備選題中選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止比賽，答對(duì)3題者直接進(jìn)入復(fù)賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰.已知選手甲答對(duì)每個(gè)題的概率均為，且相互間沒(méi)有影響.
(1)求選手甲被淘汰的概率；
(2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為X，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，
【解析】(1)設(shè)“選手甲被淘汰”為事件A，
因?yàn)榧状饘?duì)每個(gè)題的概率均為，所以甲答錯(cuò)每個(gè)題的概率均為.
則甲答了3題都錯(cuò)，被淘汰的概率為；
甲答了4個(gè)題，前3個(gè)1對(duì)2錯(cuò)，被淘汰的概率為；
甲答了5個(gè)題，前4個(gè)2對(duì)2錯(cuò)，被淘汰的概率為.
所以選手甲被海的概率.
(2)易知X的可能取值為3，4，5，對(duì)應(yīng)甲被淘汰或進(jìn)入復(fù)賽的答題個(gè)數(shù)，
則，
，
.
X的分布列為
X
3
4
5
P(X)

則.
4．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中模擬預(yù)測(cè)）某靶場(chǎng)有，兩種型號(hào)的步槍可供選用，其中甲使用兩種型號(hào)的步槍的命中率分別為,；，
(1)若出現(xiàn)連續(xù)兩次子彈脫靶或者子彈打光耗盡的現(xiàn)象便立刻停止射擊，若擊中標(biāo)靶至少3次，則可以獲得一份精美禮品，若甲使用型號(hào)的步槍，并裝填5發(fā)子彈，求甲獲得精美禮品的概率；
(2)現(xiàn)在兩把步槍中各裝填3發(fā)子彈，甲打算輪流使用兩種步槍進(jìn)行射擊，若擊中標(biāo)靶，則繼續(xù)使用該步槍，若未擊中標(biāo)靶，則改用另一把步槍，甲首先使用種型號(hào)的步槍，若出現(xiàn)連續(xù)兩次子彈脫靶或者其中某一把步槍的子彈打光耗盡的現(xiàn)象便立刻停止射擊，記為射擊的次數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析；的數(shù)學(xué)期望為.
【解析】(1)甲擊中5次的概率為，甲擊中4次的概率為，
甲擊中3次的概率為，
所以甲獲得精美禮品的概率為.
(2)的所有可能取值為2,3,4,5,
，
，
，
，
所以的分布列為：

2
3
4
5

所以.
5．（2022·全國(guó)·二模（理））“百年征程波瀾壯闊，百年初心歷久彌堅(jiān)”．為慶祝中國(guó)建黨一百周年，哈市某高中舉辦了“學(xué)黨史、知黨情、跟黨走”的黨史知識(shí)競(jìng)賽．比賽分為初賽和決賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，通過(guò)初賽選出兩名同學(xué)進(jìn)行最終決賽．若該高中A，B兩名學(xué)生通過(guò)激烈的競(jìng)爭(zhēng)，取得了初賽的前兩名，現(xiàn)進(jìn)行決賽．規(guī)則如下：設(shè)置5輪搶答，每輪搶到答題權(quán)并答對(duì)則該學(xué)生得1分，答錯(cuò)則對(duì)方得1分．當(dāng)分差達(dá)到2分或答滿5輪時(shí)，比賽結(jié)束，得分高者獲勝．已知A，B每輪均搶答且搶到答題權(quán)的概率分別為，，A，B每一輪答對(duì)的概率都為，且兩人每輪是否回答正確均相互獨(dú)立．
(1)求經(jīng)過(guò)2輪搶答A贏得比賽的概率；：
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)搶答了X輪后決賽結(jié)束，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析；期望為
【解析】(1)記事件C為“經(jīng)過(guò)2輪搶答A贏得比賽”
A學(xué)生每輪得一分的概率，
B學(xué)生每輪得一分的概率，
，所以經(jīng)過(guò)2輪搶答A贏得比賽的概率為．
(2)X的可能取值為2，4，5．
2輪比賽甲贏或乙贏的概率為，
4輪比賽甲贏或乙贏的概率為，
5輪比賽甲贏或乙贏的概率為．
X的分布列為：
X
2
4
5
P

，數(shù)學(xué)期望為．
6．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)二模）沙灘排球是一項(xiàng)每隊(duì)由兩人組成的兩隊(duì)在由球網(wǎng)分開(kāi)的沙地上進(jìn)行比賽的運(yùn)動(dòng)．它有多種不同的比賽形式以適應(yīng)不同人、不同環(huán)境下的比賽需求．國(guó)家沙灘排球隊(duì)為備戰(zhàn)每年一次的世界沙灘排球巡回賽，在文昌高隆沙灣國(guó)家沙灘排球訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式訓(xùn)練．在某次訓(xùn)練中，甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行對(duì)抗賽，每局依次輪流發(fā)球（每隊(duì)不能連續(xù)發(fā)球），連續(xù)贏得個(gè)球的隊(duì)獲勝并結(jié)束該局比賽，并且每局不得超過(guò)個(gè)球．通過(guò)對(duì)甲、乙兩隊(duì)過(guò)去對(duì)抗賽記錄的數(shù)據(jù)分析，甲隊(duì)發(fā)球甲隊(duì)贏的概率為，乙隊(duì)發(fā)球甲隊(duì)贏的概率為，每一個(gè)球的輸贏結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．
(1)求該局第二個(gè)球結(jié)束比賽的概率；
(2)若每贏個(gè)球記分，每輸一個(gè)球記分，記該局甲隊(duì)累計(jì)得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，
【解析】(1)記：“甲隊(duì)發(fā)球甲隊(duì)贏”為事件，“乙隊(duì)發(fā)球甲隊(duì)贏”為事件，“第二個(gè)球結(jié)束比賽”為事件，則，，，，
因?yàn)槭录c互斥，所以
，
所以該局第二個(gè)球結(jié)束比賽的概率為.
(2)依題意知隨機(jī)變量的所有可能取值為
；

；

；

.
所以的分布列為

0
2
4
6

故數(shù)學(xué)期望.
題組四正態(tài)分布

1．（2022·江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）2012年國(guó)家開(kāi)始實(shí)施法定節(jié)假日高速公路免費(fèi)通行政策，某收費(fèi)站統(tǒng)計(jì)了2021年中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天車輛通行數(shù)量，若，則當(dāng)時(shí)下列說(shuō)法正確的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因，且，則有，即，
不等式為：，則，，
所以，，A，B，D均不正確，C正確.故選：C
2．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量，已知其概率分布密度函數(shù)在處取得最大值為，則（???????）
附：．
A．0.6827 B．0.84135 C．0.97725 D．0.9545
【答案】B
【解析】由題意，，，所以，
，所以，
．故選：B．
3．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））某房產(chǎn)銷售公司有800名銷售人員，為了了解銷售人員上一個(gè)季度的房屋銷量，公司隨機(jī)選取了部分銷售人員對(duì)其房屋銷量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到上一季度銷售人員的房屋銷量，則全公司上一季度至少完成22套房屋銷售的人員大概有（???????）
附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．
A．254人 B．127人 C．18人 D．36人
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，，所以所以全公司上一季度至少完?2套房屋銷售的人員大概有（人）；故選：B
4．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）（多選）已知某校高三年級(jí)有1000人參加一次數(shù)學(xué)模擬考試，現(xiàn)把這次考試的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分，標(biāo)準(zhǔn)分的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若使標(biāo)準(zhǔn)分服從正態(tài)分布N，，，，則（???????）
A．這次考試標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的約有450人
B．這次考試標(biāo)準(zhǔn)分在內(nèi)的人數(shù)約為997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的概率為
D．
【答案】BC
【解析】依題意得，，，因?yàn)椋?br /> 所以這次考試標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的約有人，故A不正確；
，
所以這次考試標(biāo)準(zhǔn)分在內(nèi)的人數(shù)約為人，故B正確；
依題意可知，每個(gè)人的標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的概率為，
所以甲、乙、丙三人恰有2人的標(biāo)準(zhǔn)分超過(guò)180分的概率為，故C正確；

，故D不正確.故選：BC
5．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）（多選）老楊每天17：00下班回家，通常步行5分鐘后乘坐公交車再步行到家，公交車有兩條線路可以選擇．乘坐線路所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下車后步行到家要5分鐘；乘坐線路所需時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下車后步行到家要12分鐘．下列說(shuō)法從統(tǒng)計(jì)角度認(rèn)為合理的是（???????）
已知時(shí)，有，，．
A．若乘坐線路，18：00前一定能到家
B．乘坐線路和乘坐線路在17：58前到家的可能性一樣
C．乘坐線路比乘坐線路在17：54前到家的可能性更大
D．若乘坐線路，則在17：48前到家的可能性超過(guò)1%
【答案】BC
【解析】若乘坐線路，18：02前能到家的可能性為
∴乘坐線路，18：00前不可能一定能到家，A錯(cuò)誤；
乘坐線路在17：58前到家的可能性
乘坐線路在17：58前到家的可能性
∴乘坐線路和乘坐線路在17：58前到家的可能性一樣，B正確；
乘坐線路在17：54前到家的概率
乘坐線路在17：54前到家的可能性
∴乘坐線路比乘坐線路在17：54前到家的可能性更大，C正確；
乘坐線路，則在17：48前到家的可能性，D錯(cuò)誤；故選：BC．
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，，，______.
【答案】
【解析】已知隨機(jī)變量，知，
因?yàn)?所以.故答案為：.
7．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量，則隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約___________袋（質(zhì)量單位：）.（附：，則，，）.
【答案】8186
【解析】由題意得：，
，
則，
故，
則袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有袋.
故答案為：8186
8．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））某市高一招生，對(duì)初中畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測(cè)試，是激發(fā)學(xué)生、家長(zhǎng)和學(xué)校積極開(kāi)展體育活動(dòng)，保證學(xué)生健康成長(zhǎng)的有效措施．該市2022年初中畢業(yè)升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩等三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)考試總分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分．該市一初中學(xué)校為了在初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到每段人數(shù)的頻率分布直方圖（如圖），且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如表：

每分鐘跳繩個(gè)數(shù)

得分
17
18
19
20
若該初中學(xué)校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)X服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）．根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該初中學(xué)校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步，假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：
(1)預(yù)估全年級(jí)恰好有2000名學(xué)生時(shí)，正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）
(2)若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．
【答案】(1)1683(2)分布列見(jiàn)解析，1.5
【解析】(1)
又所以正式測(cè)試時(shí)，．
（人）
(2)由正態(tài)分布模型，全年級(jí)所有學(xué)生中任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為0.5，
即，
的分布列為．

0
1
2
3

0.125
0.375
0.375
0.125
所以，
9．（2022·海南?？凇ざ＃槁鋵?shí)體育總局和教育部發(fā)布的《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見(jiàn)》，某校組織學(xué)生加強(qiáng)100米短跑訓(xùn)練．在某次短跑測(cè)試中，抽取100名男生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們的成績(jī)（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)）．

(1)若規(guī)定男生短跑成績(jī)小于13.5秒為優(yōu)秀，求樣本中男生短跑成績(jī)優(yōu)秀的概率．
(2)估計(jì)樣本中男生短跑成績(jī)的平均數(shù)．（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）
(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，該校男生的短跑成績(jī)X服從正態(tài)分布，以（2）中所求的樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值．若從該校男生中隨機(jī)抽取10人，記其中短跑成績(jī)?cè)谝酝獾娜藬?shù)為Y，求．
附：若，則．．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)由頻率分布直方圖可得，解得，
所以樣本中男生短跑成績(jī)優(yōu)秀的概率為．
(2)估計(jì)樣本中男生短跑成績(jī)的平均數(shù)為
．
(3)由（2）知，所以，
所以該校男生短跑成績(jī)?cè)谝酝獾母怕蕿?br />
根據(jù)題意，
所以．
10．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）每年4月15口為全民國(guó)家安全教育日，某地教育部門組織大學(xué)生“國(guó)家安全”知識(shí)競(jìng)賽．已知當(dāng)?shù)刂挥屑住⒁覂伤髮W(xué)，且兩校學(xué)生人數(shù)相等，甲大學(xué)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)服從正態(tài)分布，乙大學(xué)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)服從正態(tài)分布．
(1)從甲大學(xué)中隨機(jī)抽取5名學(xué)生，每名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)相互獨(dú)立，設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；
(2)從兩所大學(xué)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率；
(3)記這次競(jìng)賽所有大學(xué)生的成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量，并用正態(tài)分布來(lái)近似描述的分布，根據(jù)（2）中的結(jié)果，求參數(shù)和的值．（的值精確到0.1）
附：若隨機(jī)變量，則，．
【答案】(1)(2)(3)，．
【解析】(1)，根據(jù)題意，
故．
(2)因?yàn)閮伤髮W(xué)的學(xué)生人數(shù)相等，所以隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生來(lái)自兩所大學(xué)的概率均為．設(shè)該學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?yōu)椋畡t．
(3)由于兩所大學(xué)的學(xué)生人數(shù)相等，、的方差也相等．根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，可知．
由（2）可知．又根據(jù)參考數(shù)據(jù)，
所以，得．
11．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測(cè)）教育部門最近出臺(tái)了“雙減”政策，即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過(guò)重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)）．“雙減”政策的出臺(tái)對(duì)校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響．某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對(duì)2021年前200名報(bào)名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，其中數(shù)據(jù)如表．
消費(fèi)金額（千元）

人數(shù)
30
50
60
20
30
10

以頻率估計(jì)概率，假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員的消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布，，分別為報(bào)名前200名學(xué)員消費(fèi)的平均數(shù)以及方差（同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）．
(1)求和的值；
(2)試估計(jì)該機(jī)構(gòu)學(xué)員2021年消費(fèi)金額為的概率（保留一位小數(shù)）；
(3)若從該機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人，記消費(fèi)金額為的人數(shù)為，求的期望和方差．
參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，．
【答案】(1)8；8(2)0.8(3)
【解析】(1)由題意得，
；
(2)由（1）得，所以．
(3)由題意及（2）得，，，所以，
．

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