新高考數(shù)學(xué)一輪專項(xiàng)（三角函數(shù)）訓(xùn)練專題六三角恒等變換題型篇（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．求值：三角函數(shù)的求值有三種類型
(1)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；
(2)給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；
(3)給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角．
2．化簡：化簡目標(biāo)：項(xiàng)數(shù)盡量少、次數(shù)盡量低、盡量不含分母和根號．對能求出具體數(shù)值的，要求出值．
3．證明：三角函數(shù)的求值有兩種類型
(1)無條件三角恒等式的證明：證明方法有：化繁為簡法、左右歸一法、變更論題法；
(2)有條件三角恒等式的證明：
可分為四類：①已知角度關(guān)系，證明函數(shù)關(guān)系；②已知函數(shù)關(guān)系證明角度關(guān)系；③已知函數(shù)關(guān)系證明函數(shù)關(guān)系；④三角形內(nèi)的邊角恒等式的證明．
證明方法除了注意到無條件三角恒等式的證明方法外，還用到直推法與代入法兩種方法．
4．三種題型的相互關(guān)系：
考點(diǎn)一給角求值
【方法總結(jié)】
解給角求值問題的解題策略
解決給角求值問題的關(guān)鍵是兩種變換：一是角的變換，注意各角之間是否具有和差關(guān)系、互補(bǔ)(余)關(guān)系、倍半關(guān)系，從而選擇相應(yīng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)；二是結(jié)構(gòu)變換，在熟悉各種公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、符號特征的基礎(chǔ)上，結(jié)合所求式子的特點(diǎn)合理地進(jìn)行變形．
【例題選講】
[例1] (1) (2015·全國Ⅰ)sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
答案 D 解析 sin20°cs10°－cs160°sin10°＝sin20°cs10°＋cs20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq \f(1,2)，故選D．
(2) eq \f(cs 10°(1＋\r(3)tan 10°),cs 50°)的值是________．
答案 2 解析原式＝eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 50°)＝eq \f(2sin(10°＋30°),cs 50°)＝eq \f(2sin 40°,sin 40°)＝2．
(3)計算：eq \f(cs 10°－\r(3)cs(－100°),\r(1－sin 10°))＝________．
答案 eq \r(2) 解析 eq \f(cs 10°－\r(3)cs(－100°),\r(1－sin 10°))＝eq \f(cs 10°＋\r(3)cs 80°,\r(1－cs 80°))＝eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,\r(2)·sin 40°)＝eq \f(2sin(10°＋30°),\r(2)·sin 40°)＝eq \r(2).
(4) sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝________．
答案 1 解析 sin50°(1＋eq \r(3)tan10°)＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·eq \f(cs 60°cs 10°＋sin 60°sin 10°,cs 60°cs 10°)＝sin 50°·eq \f(cs?60°－10°?,cs 60°cs 10°)＝eq \f(2sin 50°cs 50°,cs 10°)＝eq \f(sin 100°,cs 10°)＝eq \f(cs 10°,cs 10°)＝1．
(5) 計算：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 5°)－tan 5°))＝________．
答案 eq \f(\r(3),2) 解析原式＝eq \f(2cs210°,4sin 10°cs 10°)－sin10°·eq \f(cs25°－sin25°,sin 5°cs 5°)＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－eq \f(sin 20°,sin 10°)＝eq \f(cs 10°－2sin 20°,2sin 10°)＝eq \f(cs 10°－2sin(30°－10°),2sin 10°)＝eq \f(cs 10°－2sin 30°cs 10°＋2cs 30°sin 10°,2sin 10°)＝eq \f(\r(3),2).
【對點(diǎn)訓(xùn)練】
1．的值等于( )
A． B．－ C． D．3
1．答案 D 解析將35°拆成30°＋5°，25°拆成30°－5°展開化簡．原式＝＝
＝－＝－．
2．計算eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)的值為( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
2．答案 B 解析 eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)＝eq \f(sin 70°sin 20°,cs 310°)＝eq \f(cs 20°sin 20°,cs 50°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°)＝eq \f(1,2)．
3．計算：eq \f(1－cs210°,cs 80°\r(1－cs 20°))＝( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(2),2)
3．答案 A 解析 eq \f(1－cs210°,cs 80°\r(1－cs 20°))＝eq \f(sin210°,sin 10°\r(1－(1－2sin210°)))＝eq \f(sin210°,\r(2)sin210°)＝eq \f(\r(2),2)．
4．求值：eq \f(cs 20°,cs 35°\r(1－sin 20°))＝( )
A．1 B．2 C．eq \r(2) D．eq \r(3)
4．答案 C 解析原式＝eq \f(cs 20°,cs 35°|sin 10°－cs 10°|)＝eq \f(cs210°－sin210°,cs 35°(cs 10°－sin 10°))＝eq \f(cs 10°＋sin 10°,cs 35°)
＝eq \f(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs 10°＋\f(\r(2),2)sin 10°)),cs 35°)＝eq \f(\r(2)cs(45°－10°),cs 35°)＝eq \f(\r(2)cs 35°,cs 35°)＝eq \r(2)．
5．eq \f(2cs 10°－sin 20°,sin 70°)的值是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．eq \r(3) D．eq \r(2)
5．答案 C 解析原式＝eq \f(2cs(30°－20°)－sin20°,sin70°)＝eq \f(2(cs 30°·cs 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°,sin 70°)＝
eq \f(\r(3)cs 20°,cs 20°)＝eq \r(3)．
6．eq \f(cs 85°＋sin 25°cs 30°,cs 25°)等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(1,2) D．1
6．答案 C 解析原式＝eq \f(sin 5°＋\f(\r(3),2)sin 25°,cs 25°)＝eq \f(sin(30°－25°)＋\f(\r(3),2)sin 25°,cs 25°)＝eq \f(\f(1,2)cs 25°,cs 25°)＝eq \f(1,2)．
7．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( )
A．eq \r(3) B．1＋eq \r(2) C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)
7．答案 C 解析原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan
27°)＝2，故選C．
8．4sin 80°－eq \f(cs 10°,sin 10°)＝( )
A．eq \r(3) B．－eq \r(3) C．eq \r(2) D．2eq \r(2)－3
8．答案 B 解析 4sin80°－eq \f(cs10°,sin10°)＝eq \f(4sin80°sin10°－cs10°,sin10°)＝eq \f(2sin 20°－cs 10°,sin 10°)＝eq \f(2sin(30°－10°)－cs 10°,sin 10°)
＝－eq \r(3)．故選B．
9．4cs 50°－tan 40°等于( )
A．eq \r(2) B．eq \f(\r(2)＋\r(3),2) C．eq \r(3) D．2eq \r(2)－1
9．答案 C 解析 4sin40°－eq \f(sin40°,cs40°)＝eq \f(4cs40°sin40°－sin40°,cs40°)＝eq \f(2sin 80°－sin 40°,cs 40°)＝eq \f(2sin(120°－40°)－sin 40°,cs 40°)
＝eq \f(\r(3)cs 40°＋sin 40°－sin 40°,cs 40°)＝eq \f(\r(3)cs 40°,cs 40°)＝eq \r(3)．
10．計算：eq \f(\r(3),cs 10°)－eq \f(1,sin 170°)＝．
10．答案－4 解析原式＝eq \f(\r(3)sin 170°－cs 10°,cs 10°sin 170°)＝eq \f(\r(3)sin 10°－cs 10°,cs 10°sin 10°)＝eq \f(2sin(10°－30°),\f(1,2)sin 20°)＝－4．
11．[2sin 50°＋sin 10°(1＋eq \r(3)tan 10°)]·eq \r(2sin280°)＝．
11．答案 eq \r(6) 解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin50°＋sin10°\f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°)))eq \r(2)sin80°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin50°＋2sin10°\f(\f(1,2)cs10°＋\f(\r(3),2)sin10°,cs10°)))·
eq \r(2)cs 10°＝2eq \r(2)[sin 50°·cs 10°＋sin 10°·cs(60°－10°)]＝2eq \r(2)sin(50°＋10°)＝2eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(6)．
12．求值：(3＋tan30°tan40°＋tan40°tan50°＋tan50°tan60°)·tan10°．
12．解：原式＝(1＋tan30°tan40°＋1＋tan40°tan50°＋1＋tan50°tan60°)·tan10°，因?yàn)閠an10°＝tan(40°－30°)
＝，所以1＋tan40°tan30°＝．同理，1＋tan40°tan50°＝，
1＋tan50°tan60°＝．所以原式＝(＋＋)
·tan10°＝tan40°－tan30°＋tan50°－tan40°＋tan60°－tan50°＝－tan30°＋tan60°＝．
考點(diǎn)二給值求值
【方法總結(jié)】
解給值求值問題的一般步驟
(1)先化簡條件式子或待求式子；
(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)的名及角入手)；
(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值．
【例題選講】
[例2] (1) 已知α為第二象限角，且sin2α＝－eq \f(24,25)，則cs α－sin α的值為( )
A．eq \f(7,5) B．－eq \f(7,5) C．eq \f(1,5) D．－eq \f(1,5)
答案 B 解析因?yàn)閟in 2α＝2sin αcs α＝－eq \f(24,25)，即1－2sin αcs α＝eq \f(49,25)，所以(sin α－cs α)2＝eq \f(49,25)，又α為第二象限角，所以cs α

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