【基本知識(shí)】
正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
【常用結(jié)論】
1．三角函數(shù)的周期性
(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)．應(yīng)特別注意函數(shù)y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期為T＝eq \f(π,|ω|)，函數(shù)y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)．
(2)函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)．應(yīng)特別注意函數(shù)y＝|Acs(ωx＋φ)|的周期為T＝eq \f(π,|ω|)．函數(shù)y＝|Acs(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期均為T＝eq \f(2π,|ω|)．
(3)函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)．應(yīng)特別注意函數(shù)y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期為T＝eq \f(π,|ω|)，函數(shù)y＝|Atan(ωx＋φ)＋b|(b≠0) 的最小正周期均為T＝eq \f(π,|ω|)．
2．三角函數(shù)的奇偶性
(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)，是偶函數(shù)?φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(2)函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)是奇函數(shù)?φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，是偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)；
(3)函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)．
3．三角函數(shù)的對(duì)稱性
(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的對(duì)稱軸由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)解得，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得；
(2)函數(shù)y＝Acs(ωx＋φ)的圖象的對(duì)稱軸由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)解得；
(3)函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的圖象的對(duì)稱中心由ωx＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)解得．
【方法總結(jié)】
三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性的處理方法
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，同時(shí)當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)，且當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0．
(2)求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過恒等變形化為y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再分別應(yīng)用公式T＝eq \f(2π,|ω|)，T＝eq \f(2π,|ω|)，T＝eq \f(π,|ω|)求解．
(3)對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x＝x0或點(diǎn)(x0，0)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷．
【例題選講】
[例1] (1) 下列函數(shù)中，周期為π，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增的奇函數(shù)是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))) C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))
答案 C 解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))＝－cs 2x為偶函數(shù)，排除A；y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝sin 2x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上為減函數(shù)，排除B；y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－sin 2x為奇函數(shù)，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，且周期為π，符合題意；y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cs x為偶函數(shù)，排除D．故選C．
(2) 已知函數(shù)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)的最小正周期為4π，則該函數(shù)的圖象( )
A．關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，0))對(duì)稱
C．關(guān)于直線x＝eq \f(π,3)對(duì)稱 D．關(guān)于直線x＝eq \f(5π,3)對(duì)稱
答案 B 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)的最小正周期是4π，而T＝eq \f(2π,ω)＝4π，所以ω＝eq \f(1,2)，即f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))．令eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，解得x＝eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的對(duì)稱軸為x＝eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，令eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)＝kπ(k∈Z)，解得x＝－eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)．故f(x)的對(duì)稱中心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋2kπ，0))(k∈Z)，對(duì)比選項(xiàng)可知B正確．
(3) 已知函數(shù)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＋1(x∈R)的圖象的一條對(duì)稱軸為x＝π，其中ω為常數(shù)，且ω∈(1，2)，則函數(shù)f(x)的最小正周期為 ．
答案 eq \f(6π,5) 解析 由函數(shù)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＋1(x∈R)的圖象的一條對(duì)稱軸為x＝π，可得ωπ－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，∴ω＝k＋eq \f(2,3)，又ω∈(1，2)，∴ω＝eq \f(5,3)，∴得函數(shù)f(x)的最小正周期為eq \f(2π,\f(5,3))＝eq \f(6π,5)．
(4) 函數(shù)f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋φ))，φ∈(0，π)滿足f(|x|)＝f(x)，則φ的值為( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(5π,6) D．eq \f(2π,3)
答案 C 解析 因?yàn)閒(|x|)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋φ))是偶函數(shù)，所以－eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以φ＝kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，又因?yàn)棣铡?0，π)，所以φ＝eq \f(5π,6)．
(5) 同時(shí)具有以下性質(zhì)：“①最小正周期是π；②圖象關(guān)于直線x＝eq \f(π,3)對(duì)稱；③在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上是增函數(shù)；④圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))”的一個(gè)函數(shù)是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
答案 C 解析 因?yàn)樽钚≌芷谑铅?，所以ω?，排除A選項(xiàng)；當(dāng)x＝eq \f(π,3)時(shí)，對(duì)于B，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)＋\f(π,3)))＝0，對(duì)于D，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)，因?yàn)閳D象關(guān)于直線x＝eq \f(π,3)對(duì)稱，所以排除B、D選項(xiàng)，對(duì)于C，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)－\f(π,6)))＝1，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)－\f(π,6)))＝0，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上是增函數(shù)，故C滿足條件．
(6) 設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，則f(x)的最小正周期為 ．
答案 π 解析 記f(x)的最小正周期為T．由題意知eq \f(T,2)≥eq \f(π,2)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，且eq \f(2π,3)－eq \f(π,2)＝eq \f(π,6)，
可作出示意圖如圖所示(一種情況)：
∴x1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,6)))×eq \f(1,2)＝eq \f(π,3)，x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(2π,3)))×eq \f(1,2)＝eq \f(7π,12)，∴eq \f(T,4)＝x2－x1＝eq \f(7π,12)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,4)，∴T＝π．
(7) 已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))))，則下列說法正確的是 ．(填序號(hào))
①f(x)的周期是eq \f(π,2)；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直線x＝eq \f(5π,3)是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸；
④f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z．
答案 ④ 解析 函數(shù)f(x)的周期為2π，①錯(cuò)；f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)，②錯(cuò)；當(dāng)x＝eq \f(5π,3)時(shí)，eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)≠eq \f(kπ,2)，k∈Z，∴x＝eq \f(5π,3)不是f(x)的對(duì)稱軸，③錯(cuò)；令kπ－eq \f(π,2)

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