TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14279" 1、直線與平面所成角問題 PAGEREF _Tc14279 \h 1
\l "_Tc4090" ①求直線與平面所成角定值問題 PAGEREF _Tc4090 \h 1
\l "_Tc907" ②求直線與平面所成角最值或范圍問題 PAGEREF _Tc907 \h 4
\l "_Tc13581" ③直線與平面所成角中探索性問題 PAGEREF _Tc13581 \h 6
\l "_Tc14804" 2、平面與平面所成角問題 PAGEREF _Tc14804 \h 9
\l "_Tc26058" ①求平面與平面所成角定值問題 PAGEREF _Tc26058 \h 9
\l "_Tc24691" ②求平面與平面所成角最值或范圍問題 PAGEREF _Tc24691 \h 12
\l "_Tc11403" ③平面與平面所成角中探索性問題 PAGEREF _Tc11403 \h 14
\l "_Tc11518" 3、體積（距離）問題 PAGEREF _Tc11518 \h 17
\l "_Tc29345" 4、折疊問題 PAGEREF _Tc29345 \h 19
1、直線與平面所成角問題
①求直線與平面所成角定值問題
1．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預測）如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.
(1)證明：平面平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
2．（2023·寧夏銀川·?？寄M預測）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，且平面，，，分別是，的中點，是上一點，且.

(1)求證：平面；
(2)若，求直線與平面所成角的余弦值.
3．（2023·江蘇揚州·統考模擬預測）如圖，平行六面體的體積為6，截面的面積為6．

(1)求點到平面的距離；
(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值．
4．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學校考模擬預測）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點為，在平面內過點作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）如圖，在底面為正方形的四棱臺中，已知，，，A到平面的距離為.

(1)求到平面的距離；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
②求直線與平面所成角最值或范圍問題
1．（2023春·黑龍江·高二校聯考開學考試）如圖，在梯形ABCD中，，點M在邊AD上，，，以CM為折痕將翻折到的位置，使得點S在平面ABCD內的射影恰為線段CD的中點．

(1)求四棱錐體積：
(2)若點P為線段SB上的動點，求直線CP與平面MBS所成角的正弦值的最大值．
2．（2023春·福建福州·高二校聯考期末）如圖，三棱臺中，，D是AC的中點，E是棱BC上的動點．

(1)若平面，確定的位置.
(2)已知平面ABC，且．設直線與平面所成的角為，試在（1）的條件下，求的最大值．
3．（2023·海南海口·統考模擬預測）如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；
(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.
4．（2023春·江蘇常州·高二江蘇省溧陽中學?？茧A段練習）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，點在棱上，且，點是棱上的動點（不含端點）.
(1)若是棱的中點，求的余弦值；
(2)求與平面所成角的正弦值的最大值.
5．（2023·全國·學軍中學校聯考模擬預測）已知體積為1的四面體，其四個面均為全等的等腰三角形.
(1)求四面體的外接球表面積的最小值；
(2)若，的面積為，設點為線段（含端點）上一動點，求直線與面所成角的正弦值的取值范圍.
③直線與平面所成角中探索性問題
1．（2023春·福建漳州·高二?？计谥校┮阎苯侨切蜛BC中，D、E分別是AC、BC邊中點，將△CDE和△BAE分別沿著DE，AE翻折，形成三棱錐，M是AD中點．

(1)證明：PM⊥平面ADE；
(2)若直線PM上存在一點Q，使得QE與平面PAE所成角的正弦值為，求QM的值．
2．（2023春·云南楚雄·高二?？计谀┤鐖D，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對角線交于點，為的中 點，，.

(1)求證：平面.
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值；
(3)在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出 的長：若不存在，說明理由．
3．（2023春·江西新余·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點，為線段上的動點.

(1)證明：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.
4．（2023·四川宜賓·統考三模）如圖（1），在正三角形中，分別為中點，將沿折起，使二面角為直二面角，如圖（2），連接，過點E作平面與平面平行，分別交于.
(1)證明：平面；
(2)點H在線段上運動，當與平面所成角的正弦值為時，求的值.
5．（2023·吉林·統考三模）如圖，在多面體中，四邊形和四邊形均是等腰梯形，底面為矩形，與的交點為，平面，且與底面的距離為，
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為．若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．
6．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，四棱錐的底面為菱形，，，底面ABCD，E，F分別是線段PB，PD的中點，G是線段PC上的一點．
(1)若，證明直線AG在平面AEF內；
(2)若直線AG與平面AEF所成角的正弦值為，試確定的值．
2、平面與平面所成角問題
①求平面與平面所成角定值問題
1．（2023·山西運城·山西省運城中學校?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，側面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
2．（2023·寧夏石嘴山·統考一模）如圖，在四棱錐中，側面底面，底面為菱形，．

(1)若四棱錐的體積為1，求的長；
(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．
3．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預測）如圖，在三棱柱中，，．

(1)證明：；
(2)若，，，求二面角的余弦值．
4．（2023·福建三明·統考三模）如圖，平面五邊形由等邊三角形與直角梯形組成，其中，，，，將沿折起，使點到達點的位置，且.

(1)當時，證明并求四棱錐的體積；
(2)已知點為棱上靠近點的三等分點，當時，求平面與平面夾角的余弦值.
5．（2023·全國·模擬預測）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，且有，，，平面，．

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
②求平面與平面所成角最值或范圍問題
1．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，分別在棱，上．

(1)當為棱中點時，求證：；
(2)當為棱中點時，求平面與平面所成的二面角余弦值的最大值．
2．（2023春·江蘇徐州·高二徐州高級中學?？计谥校┤鐖D1，在等邊中，點，分別為邊，上的動點，且滿足，記.將沿翻折到位置，使得平面平面，連接，得到圖2，點為的中點.

(1)當平面時，求的值；
(2)試探究：隨著值的變化，二面角的大小是否為定值？如果是，請求出二面角的正弦值；如果不是，請求出二面角的余弦值的取值范圍.
3．（2023秋·云南昆明·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，，，點E是線段AD的中點，點F在線段AP上且滿足，面ABCD.
(1)當時，證明：//平面；
(2)當為何值時，平面BFE與平面PBD所成的二面角的正弦值最小？
4．（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學校聯考階段練習）如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．
(1)求四棱錐的體積的最大值；
(2)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．
5．（2023春·江蘇常州·高二校聯考階段練習）某人設計了一個工作臺，如圖所示，工作臺的下半部分是個正四棱柱，其底面邊長為4，高為1，工作臺的上半部分是一個底面半徑為的圓柱體的四分之一，點為圓弧（包括端點）上的動點．
(1)若平面時，求點與的最短距離．
(2)若，當點在圓弧（包括端點）上移動時，求平面與平面所成的銳二面角的正切值的取值范圍．
③平面與平面所成角中探索性問題
1．（2023·西藏日喀則·統考一模）如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點.
(1)平面⊥平面ABF
(2)若平面⊥平面，設平面與平面所成角為，是否存在點G，使得，若存在確定G點位置；若不存在，請說明理由.
2．（2023·上海長寧·上海市延安中學校考三模）已知和所在的平面互相垂直，，，，，是線段的中點，.
(1)求證：；
(2)設，在線段上是否存在點（異于點），使得二面角的大小為.

3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預測）在長方體中，，點P為棱上任意一點.

(1)求證：平面⊥平面；
(2)若點E為棱上靠近點C的三等分點，求點P在棱上什么位置時，平面與平面夾角的余弦值為.
4．（2023·福建寧德·?？寄M預測）如圖，已知多面體EACBD中，EB⊥底面ACBD，EB=1，AB=2，其中底面由以AB為直徑的半圓ACB及正三角形ABD組成

(1)若BC=1，求證:BC∥平面ADE.
(2)半圓AB上是否存在點M，使得二面角是直二面角?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
5．（2023·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預測）如圖（1），平面四邊形由正三角形和等腰直角三角形組成，其中，．現將三角形繞著所在直線翻折到三角形位置（如圖（2）），且滿足平面平面．

(1)證明：平面；
(2)若點滿足，當平面與平面夾角的余弦值為時，求的值．
3、體積（距離）問題
1．（2023·江蘇徐州·校考模擬預測）在三棱臺中，為中點，，，．

(1)求證：平面；
(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積．
2．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點，為底面的圓心，其母線長為6，邊長為的等邊內接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；
(2)若為中點，射線與底面圓周交于點，當二面角的余弦值為時，求點到平面的距離.
3．（2023·重慶·統考模擬預測）在多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點，求證：直線平面；
(2)若點在棱上且，求點C到平面的距離．
4．（2023·北京通州·統考三模）如圖，在三棱錐中，平面平面BCD，，O為BD的中點.

(1)證明：.
(2)若是等腰直角三角形，，，點E在棱AD上（與A，D不重合），若二面角的大小為，求點D到面BCE的距離.
5．（2023·廣東廣州·廣州六中校考三模）四棱錐中，，，，，，點是棱上靠近點的三等分點．
(1)證明：平面；
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求四棱錐的體積．
4、折疊問題
1．（2023·全國·高二課堂例題）如圖（1），在等腰梯形ABCD中，M，N分別是AD，AE的中點，，，將沿著DE折起，使得點A到達點P的位置，平面PDE⊥平面BCDE，如圖（2）．

(1)若平面MNF，求的值；
(2)若，平面DEQ⊥平面MNF，求的值；
(3)若平面MNF與平面BCDE所成角的余弦值為，求的值；
(4)若點C到平面MNF的距離為，求的值．
2．（2023·全國·高三專題練習）圖①是直角梯形，，，四邊形是邊長為的菱形，并且，以為折痕將折起，使點到達的位置，且.

(1)求證：平面平面；
(2)在棱上是否存在點，使得點到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值；若不存在，請說明理由.
3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在中，，，，E為AB中點，過點E作ED垂直AC于D，將沿ED翻折，使得面面，點M是棱AC上一點，且面．

(1)求的值；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2023春·廣西南寧·高二賓陽中學校聯考期末）圖1是由矩形、和菱形組成的一個平面圖形，其中，，.將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.

(1)證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面；
(2)求圖2中與平面所成角的正弦值.
5．（2023春·重慶北碚·高一西南大學附中?？计谀┤鐖D1，在四邊形中，，為上一點，，，，將四邊形沿折起，使得二面角的大小為，連接，，得到如圖2．

(1)證明：平面平面；
(2)點是線段上一點，設，且二面角為，求的值．

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