一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．
1. 已知集合，，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】計(jì)算出集合后，利用交集定義即可得.
【詳解】由，故.
故答案為：.
2. 已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可得解.
【詳解】因，
所以，解得.
故答案為：.
3. 函數(shù)的定義域?yàn)開_________．
【答案】
【解析】
【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，解分式不等式求定義域即可.
【詳解】由題設(shè)，
所以此函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故答案為：
4. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的模為___________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，則，由題意建立方程解出a，b，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.
【詳解】設(shè)，則，
由，得，
則，解得，所以，
所以.
故答案為：
5. 設(shè)公比為2的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的概念計(jì)算即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，故.
故答案為：4
6. 如圖，長(zhǎng)方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是_____.
【答案】10.
【解析】
【分析】由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.
【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積為120，
所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，
由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知底面，
所以是三棱錐的底面上的高，
所以三棱錐的體積.
【點(diǎn)睛】本題蘊(yùn)含“整體和局部”的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計(jì)算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用“割”與“補(bǔ)”的方法解題.
7. 設(shè)()，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________．
【答案】
【解析】
【分析】由奇函數(shù)定義求出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即得.
【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，則恒成立，
而不恒為0，因此，，求導(dǎo)得，則，而，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
故答案為：
8. 已知雙曲線(，)，給定的四點(diǎn)、、、中恰有三個(gè)點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得，兩點(diǎn)一定在雙曲線上，然后再判斷另一個(gè)點(diǎn)，求出雙曲線方程，再根據(jù)離心率公式即可得解.
【詳解】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得，兩點(diǎn)一定在雙曲線上，
若在雙曲線上，
則，方程組無解，故不在雙曲線上，
則在雙曲線上，
則，解得，
所以雙曲線的離心率.
故答案為：.
9. 為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下圖所示列聯(lián)表：
取顯著性水平，若本次考察結(jié)果支持“藥物對(duì)疾病預(yù)防有顯著效果”，則()的最小值為___________．
(參考公式：；參考值：）
【答案】
【解析】
【分析】由題意列出不等式，結(jié)合近似計(jì)算求出m的取值范圍，即可得答案.
【詳解】由題意可知，
則，
解得或，而，
故m的最小值為44.
故答案為：44.
10. 在的展開式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，即可求解.
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，
所以，
則.
故答案為：40
11. 某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段、是救生棧道的一部分，其中，，在的北偏東方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在處載上遇險(xiǎn)游客需要盡快抵達(dá)救生棧道，則最短距離為___________m．(結(jié)果精確到1 m)
【答案】
【解析】
【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到中求解即可.
【詳解】解：作交于E，由題意可得如圖：
，
所以，
，
在中，由正弦定理可得：
，
所以，
所以，
，
在直角中，，
故答案為：475.
12. 已知平面向量、、滿足：，，則的最小值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件推理得到在方向上的投影數(shù)量等于在方向上的投影數(shù)量，且等于，，故可以作出圖形，設(shè)出，將所求轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)形式，利用基本不等式即可求得.
【詳解】因，由可得，
即在方向上的投影數(shù)量等于在方向上的投影數(shù)量，且等于，
又由可得，不妨設(shè)，
則，，于是，
因，則，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和投影向量的數(shù)量理解的相互關(guān)系,設(shè)出夾角，將所求化成關(guān)于的函數(shù)形式.
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．
13. 若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，則的值為（ ）．
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】分別求出拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)，得，即可求解.
【詳解】由題意知，（）的焦點(diǎn)為，
的右頂點(diǎn)為即為拋物線的焦點(diǎn)，
所以，解得.
故選：D
14. 下列說法不正確的是（ ）．
A. 一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22第60百分位數(shù)為14
B. 若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則
C. 若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高
D. 對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，且回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是
【答案】A
【解析】
【分析】利用百分位數(shù)定義即可判斷選項(xiàng)A，利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B，根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)C，利用線性回歸方程中的基本量即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)A：因?yàn)椋缘诎俜治粩?shù)為,A錯(cuò)誤；
對(duì)B：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，
則，
則，B正確；
對(duì)C：若線性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C正確；
對(duì)于D，樣本點(diǎn)的中心為，所以，，
因?yàn)闈M足線性回歸方程，所以，所以，D正確.
故選：A
15. 如圖，點(diǎn)為正方形的中心，△為正三角形，平面⊥平面，是線段的中點(diǎn)，則以下命題中正確的是（ ）．
A. B.
C. A、、三點(diǎn)共線D. 直線與相交
【答案】D
【解析】
【分析】分別求得的長(zhǎng)度判斷選項(xiàng)A；利用反證法否定選項(xiàng)B和選項(xiàng)C；求得直線與的位置關(guān)系判斷選項(xiàng)D.
【詳解】取中點(diǎn)F，連接,取中點(diǎn)H，連接.
又△為正三角形，則，，
又平面⊥平面，平面平面，
則平面，平面，
又平面，平面，
則，，
設(shè)，則,
則，
則.故選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；
假設(shè)，
又，，平面，
則平面，又平面，則，
這與矛盾，故假設(shè)不成立，不互相垂直
故選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；
由平面，可得直線平面，
假設(shè)A、、三點(diǎn)共線，則，則平面，
這與平面矛盾，故假設(shè)不成立.
故選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；
由，可得，，
則四邊形為梯形，則直線與相交. 故選項(xiàng)D判斷正確.
故選：D
16. 設(shè)，有如下兩個(gè)命題：
①函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)；
②存在唯一的正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．
則下列說法正確的是（ ）．
A. ①正確，②正確B. ①正確，②不正確
C. ①不正確，②正確D. ①不正確，②不正確
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)①：結(jié)合函數(shù)性質(zhì)與圖象判斷即可得；對(duì)②：由曲線的對(duì)稱性，可得要使得正方形存在，則為等腰直角三角形，利用極限思想可得至少存在兩個(gè)正方形.
【詳解】對(duì)①：令，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，
函數(shù)的圖象與圓的圖象如圖所示：
故函數(shù)的圖象與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，故①正確；
對(duì)②：由，
故要使得正方形存在，則為等腰直角三角形，
顯然，當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)在函數(shù)圖像外側(cè)，則，此時(shí)；
利用極限思想，時(shí)，，此時(shí)；
時(shí)，，此時(shí)，如圖所示，
故至少兩個(gè)正方形， 故②錯(cuò)誤.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)論②需注意使用極限思想，從而得到至少兩個(gè)正方形.
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．
17. 已知函數(shù)，記，，，.
（1）若函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，求和的值；
（2）若，，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)的周期公式求得，再利用三角函數(shù)的值域與周期性求得，從而得解；
（2）根據(jù)題意，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為在有解，從而利用參變分離法或二次函數(shù)根的布分即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，所以，
則當(dāng)時(shí)，，
所以，得，
因?yàn)?，所以取得?br>【小問2詳解】
解法一：
當(dāng)，時(shí)，，，
設(shè)，
由題意得，在有解，化簡(jiǎn)得，
又在上單調(diào)遞減，
所以，則.
解法二：
當(dāng)，時(shí)，，，
設(shè)，
由題意得，在有解，
記，對(duì)稱軸為，
則由根的分布可得，即，解得，
所以.
18. 如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，異面直線與所成的角是．
（1）求證：；
（2）若，，求二面角的大?。?br>【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意易得，結(jié)合，可證平面，進(jìn)而可證結(jié)論；
（2）法一：取的中點(diǎn)，連接，，，取中點(diǎn)，連接，，，可得為所求二面角的平面角，進(jìn)而求解可得二面角E?AG?C的大?。?br>法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)?、、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式可求得二面角E?AG?C的大?。?br>【小問1詳解】
因?yàn)椋允侵本€與所成角，為，
所以，得，
又因?yàn)?，且，平面，平面?br>所以平面，
由平面，得．
【小問2詳解】
解法一：取的中點(diǎn)，連接，，．
因?yàn)椋?br>所以四邊形為菱形，
所以．
取中點(diǎn)，連接，，．
則，，
所以為所求二面角的平面角．
又，所以．
在中，由于，
由余弦定理得，
所以，因此為等邊三角形，
因此二面角E?AG?C的大小為．
解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)椤?、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
由題意得，，，，
故，，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量．
由，可得，
取，可得平面的一個(gè)法向量．
設(shè)是平面的一個(gè)法向量．
由，可得，
取，可得平面的一個(gè)法向量．
所以．
因此二面角E?AG?C的大小為．
19. 有標(biāo)號(hào)依次為1，2，…，(，)的個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球．現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，…，依次進(jìn)行到從號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入號(hào)盒子為止．
（1）當(dāng)時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；
（2）設(shè)號(hào)盒子中紅球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布及，并猜想的值（無需證明此猜想）．
【答案】（1）
（2）分布列見解析，．猜想
【解析】
【分析】（1）結(jié)合排列組合與概率公式計(jì)算即可得；
（2）得出的所有取值及其概率，求得其概率分布，即可得其期望，列出號(hào)盒子與號(hào)盒子中的紅球個(gè)數(shù)的關(guān)系，即可得，
【小問1詳解】
由題可知2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率為；
【小問2詳解】
由題可知可取，
，
，
，
所以3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)的分布列為：
；
猜想，理由如下：
當(dāng)時(shí)，設(shè)號(hào)盒子里有3個(gè)紅球的概率為，有2個(gè)紅球的概率為，
則號(hào)盒子里有1個(gè)紅球的概率為，
則，
，
，
則
，
由每個(gè)盒子中原本的紅球與白球個(gè)數(shù)相等，
故號(hào)盒子中紅球個(gè)數(shù)為與白球個(gè)數(shù)為的概率相等，
即，即有，
故，
當(dāng)時(shí)，
有，，，
，
故可得.
20. 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、．
（1）證明：點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為；
（2）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為，且與平行時(shí)，求直線的方程；
（3）當(dāng)直線與軸不垂直，且△的周長(zhǎng)為時(shí)，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）直線與圓相切，證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合橢圓的方程與配方法，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得證；
（2）設(shè)直線l的方程為，將其與橢圓的方程聯(lián)立，由與平行，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，可得關(guān)于m的方程，解之即可；
（3）設(shè)直線l的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，進(jìn)行求解即可得出結(jié)果.
【小問1詳解】
由，得；
【小問2詳解】
根據(jù)題意畫出圖象，如圖，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去，得，
由，得，
從而，，
又，，
由與平行，得，解得，
故直線的方程為；
【小問3詳解】
直線與圓相切，證明過程如下：
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立 消去，得，
從而，
由，得，即，
又因?yàn)椋?br>即，
化簡(jiǎn)，整理得，
即，從而，
又圓心到直線的距離，
故直線與圓相切．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是熟練掌握向量共線的坐標(biāo)表示，弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式等.本題中需設(shè)出直線方程并與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，與其他公式結(jié)合并化簡(jiǎn)，來得到所求結(jié)果，考查邏輯推理能力和計(jì)算能力.
21. 已知函數(shù)與有相同的定義域．若存在常數(shù)()，使得對(duì)于任意的，都存在，滿足，則稱函數(shù)是函數(shù)關(guān)于的“函數(shù)”．
（1）若，，試判斷函數(shù)是否是關(guān)于的“函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)與均存在最大值與最小值，且函數(shù)是關(guān)于的“函數(shù)”，又是關(guān)于的“函數(shù)”，證明：；
（3）已知，，其定義域均為．給定正實(shí)數(shù)，若存在唯一的，使得是關(guān)于的“函數(shù)”，求的所有可能值．
【答案】（1）不是，理由見解析
（2）證明見解析 （3）的所有可能值為或
【解析】
【分析】（1）結(jié)合題目所給定義分別計(jì)算即可得；
（2）結(jié)合定義可得，，即可得解；
（3）記集合，，結(jié)合定義可得，再分、、討論即可得.
【小問1詳解】
不是關(guān)于“函數(shù)”．
解法一：當(dāng)時(shí)，，所以不存在，使得
解法二：因?yàn)楹瘮?shù)()的值域?yàn)?，比如取，則，
不存在，使得；
【小問2詳解】
設(shè)．
由題意，存在，使得．
因?yàn)楹瘮?shù)是關(guān)于的“函數(shù)”，
所以存在，滿足，
從而．
同理，由是關(guān)于的“函數(shù)”，
可得，
綜上，；
【小問3詳解】
記集合，．
由是關(guān)于的“函數(shù)”，得，
①當(dāng)時(shí)， ，，
從而，解得，
因唯一，令，解得(舍)或(舍)；
②當(dāng)時(shí)，，，
從而，解得，
因唯一，令，解得，符合題意；
③當(dāng)時(shí)，，，
從而，解得，
因唯一，令，解得，符合題意；
綜上，的所有可能值為或．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于借助集合，，得到，從而對(duì)、、討論.
藥物
疾病
合計(jì)
未患病
患病
服用
50
未服用
50
合計(jì)
80
20
100

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