第I卷（選擇題，共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 下列關系中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
2. 集合，則（ ）
A. B. RC. 0,2D.
3. 已知命題，則為（ ）
A. ，B. ，
C. ， D. ，
4. 下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（ ）
A. 與B. 與
C. 與D. 與
5. 若，則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
6. 已知，則最小值為（ ）
A. B. C. 4D.
7. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知為正實數(shù)，，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
10. 已知為正實數(shù)，，則下列選項正確的是（ ）
A. ab的最小值為2B. 的最小值為
C. 的最小值為8D. 的最小值為2
11. 已知有限集，如果A中的元素滿足，就稱A為“W集”則下列選項正確的是（ ）
A. 集合是“W集”
B. 若是“W集”，則至少有一個大于2
C. 二元“W集”有有限個
D. 若為正整數(shù)，則“W集”A有且只有一個，且
第II卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應的位置上.
12. 函數(shù)的定義域為_____________.
13. 已知，則的取值范圍是_____________.
14. 關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是_____________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 比較下列各組M，N大小.
（1）；
（2）
16. 已知集合.
（1）求；
（2）若滿足，求實數(shù)取值范圍.
17. 哈爾濱市第三中學校計劃在符保盧田徑場建造一間地面為矩形、背面靠墻的器材室，占地面積為，器材室正面每平方米的造價為元，側面每平方米的造價為元，屋頂?shù)脑靸r為元.墻高為，且不計器材室背面和地面的費用.
（1）列出總造價與器材室正面長度的關系式；
（2）器材室正面長度多少時能使總造價最低？并求出最低總造價.
18 已知函數(shù).
（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；
（2）解關于的不等式.
19. 設，記不大于的最大整數(shù)為，如：，.
（1）若，求；
（2）已知，試求；
（3）已知且，記，求證.
2024-2025學年黑龍江省鶴崗市高一上學期10月月考數(shù)學檢測試題
考試說明：本試卷分和兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.
第I卷（選擇題，共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 下列關系中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)元素與常用數(shù)集關系一一判定選項即可.
【詳解】易知，即A錯誤；
，即B正確；
，即C錯誤；
，即D錯誤.
故選：B
2. 集合，則（ ）
A. B. RC. 0,2D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域計算B，結合交集的概念計算即可.
【詳解】由題意知，即，又，所以.
故選：C
3. 已知命題，則為（ ）
A. ，B. ，
C. ， D. ，
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意，結合全稱量詞命題與存在性量詞命題的關系，準確改寫，即可求解.
【詳解】根據(jù)全稱量詞命題與存在性量詞命題的關系，可得：
命題的否定是．
故選：D
4. 下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（ ）
A. 與B. 與
C. 與D. 與
【正確答案】A
【分析】根據(jù)定義域與對應關系判定同一函數(shù)即可.
【詳解】對于A，易知兩函數(shù)定義域均為R，且，
故A正確；
對于B，的定義域為，
而的定義域為，兩函數(shù)定義域不同，故B錯誤；
對于C，的定義域為R，的定義域為，
兩函數(shù)定義域不同，故C錯誤；
對于D，易知兩函數(shù)定義域均為R，但，
故D錯誤.
故選：A
5. 若，則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】C
【分析】
根據(jù)不等式的性質，由充分條件與必要條件的概念，即可得出結果.
【詳解】因為，若，則，即；所以是的充分條件；
若，則，因此，即；所以是的必要條件；
綜上，是的充要條件.
故選：C.
6. 已知，則的最小值為（ ）
A. B. C. 4D.
【正確答案】B
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【詳解】時，，
則，
當且僅當，即時等號成立，
故的最小值為.
故選：B.
7. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】將變形為，變形為，分析結構可知，從而得到結果.
【詳解】，
，
表示等奇數(shù)，
表示等奇數(shù)，
.
故選：C.
8. 已知為正實數(shù)，，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由，結合一元二次不等式利用基本不等式求得范圍，即可求解.
【詳解】由，可得：
又，當且僅當時取等號，
所以，
令可得：，即，
所以，所以，所以.
故選：A
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ABC
【分析】根據(jù)不等式的性質進行判斷可得結論.
【詳解】因為，，根據(jù)不等式的性質，則，故A正確；
同理：，故BC正確.
如，，但不成立，故D錯誤.
故選：ABC
10. 已知為正實數(shù)，，則下列選項正確的是（ ）
A. ab的最小值為2B. 的最小值為
C. 最小值為8D. 的最小值為2
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)基本不等式結合消元轉化一一判定選項即可.
【詳解】由為正實數(shù)，
對于A，，解之得，
所以，當且僅當時取得最小值，故A錯誤；
對于B，由，
所以，
當且僅當，即時取得最小值，故B正確；
對于C，，由A知，
結合二次函數(shù)的性質知，當且僅當時取得最小值，故C正確；
對于D，，
而，即，解之得，
當且僅當時取得最小值，故D正確.
故選：BCD
11. 已知有限集，如果A中的元素滿足，就稱A為“W集”則下列選項正確的是（ ）
A. 集合是“W集”
B. 若是“W集”，則至少有一個大于2
C. 二元“W集”有有限個
D. 若為正整數(shù)，則“W集”A有且只有一個，且
【正確答案】AD
【分析】根據(jù)定義可判定A，舉反例可判定B，利用等量關系化為函數(shù)關系可判定C，設A中，得到，分和，兩種情況分類討論，可判定D.
【詳解】對于A，，所以A正確；
對于B，如顯然是“W集”，但不滿足兩個元素至少一個大于2，故B錯誤；
對于C，若是“W集”，即，
顯然，顯然隨變化而變化，這樣二元“W集”有無限個，
所以C錯誤；
對于D，不妨設A中，
由，得，
當時，即有，所以，于是，無解，
即不存在滿足條件的“W集”；
當時，，故只能，，求得，
于是“W集”A只有一個，為．
當時，由，即有，
事實上，，
矛盾，
所以當時不存在W集A，所以D正確.
故選：AD.
方法點睛：新定義有關的問題的求解策略：
①通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的；
②遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決.
第II卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應的位置上.
12. 函數(shù)的定義域為_____________.
【正確答案】
【分析】利用二次根式與零指數(shù)冪的意義計算即可.
【詳解】由題意可知函數(shù)解析式有意義需，解之得.
故
13. 已知，則的取值范圍是_____________.
【正確答案】
【分析】利用不等式的性質結合待定系數(shù)法計算即可.
【詳解】設，即，
解之得，
由，
則.
故
14. 關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是_____________.
【正確答案】
【分析】分離參數(shù)，利用對勾函數(shù)的性質計算即可.
【詳解】不等式在上有解，等價于在上能成立，
根據(jù)對勾函數(shù)的性質知在上單調遞減，
所以，則.
故
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 比較下列各組M，N的大小.
（1）；
（2）
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用作差法結合因式分解比大小即可；
（2）利用取倒數(shù)法結合根式的大小比較即可.
【小問1詳解】
由題意知
，
而，所以，則
【小問2詳解】
易知，且，
又，所以，則.
16. 已知集合.
（1）求；
（2）若滿足，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）；
（2）
【分析】（1）解不等式求A，M，利用補集與并集的概念計算即可；
（2）分類討論B是否為空集，結合集合的基本關系計算即可.
【小問1詳解】
由，解得，即，
由，
解得，即，則，
則；
【小問2詳解】
由可知，
若，即時，符合題意；
若，則要滿足題意需，解之得；
綜上所述實數(shù)的取值范圍為.
17. 哈爾濱市第三中學校計劃在符保盧田徑場建造一間地面為矩形、背面靠墻的器材室，占地面積為，器材室正面每平方米的造價為元，側面每平方米的造價為元，屋頂?shù)脑靸r為元.墻高為，且不計器材室背面和地面的費用.
（1）列出總造價與器材室正面長度的關系式；
（2）器材室正面長度為多少時能使總造價最低？并求出最低總造價.
【正確答案】（1）
（2）器材室正面長度時能使總造價最低，最低總造價為元.
【分析】（1）由題意設出長方體長和寬，直接建立函數(shù)關系即可；
（2）利用基本不等式，可得答案.
【小問1詳解】
由題意可知正面長度為，由占地面積為，則側面長度為，
可得
【小問2詳解】
令，根據(jù)基本不等式可得，
當且僅當時，等號成立，即，
.
所以器材室正面長度時能使總造價最低，最低總造價為元.
18. 已知函數(shù).
（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；
（2）解關于的不等式.
【正確答案】（1）；
（2）答案見解析
【分析】（1）分類討論結合三個二次關系計算即可；
（2）含參分類討論解不等式即可.
【小問1詳解】
若，則，顯然不符合題意；
所以，要滿足題意需，
整理得，解之得，
即的取值范圍為；
【小問2詳解】
原不等式等價于，
若時，解不等式得，
若，解不等式得或，
若，解不等式得，
若，解不等式得，
若，解不等式得，
綜上所述：時，不等式解集為；
時，不等式解集為；時，不等式解集為；
時，不等式解集為；時，不等式解集為.
19. 設，記不大于的最大整數(shù)為，如：，.
（1）若，求；
（2）已知，試求；
（3）已知且，記，求證.
【正確答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）直接證明即可得到；
（2）利用函數(shù)的單調性證明方程存在唯一零點，且該零點屬于，即可得到，進一步即知；
（3）先證明不等式，然后由此證明，即可得到原命題.
【小問1詳解】
此時，.
故，從而.
【小問2詳解】
設，若，下面證明.
若，則有
，
所以，這就得到
.
故；
若，則由，知.
從而有，.
這就得到，且根據(jù)上面的證明過程，兩個不等號取等的充要條件分別是和，而由，知兩個等號不能同時取到，故.
綜上，有，所以單調遞增.
而我們有
，
.
所以是方程的唯一的實數(shù)根，且.
從而，得.
【小問3詳解】
先證明一個引理：對任意的，有.
證明：我們有
；
以及
.
引理證畢.
回到原題，設，，，則，，.
所以；
及
.
故，從而.
關鍵點點睛：本題的關鍵點在于對取整函數(shù)定義的理解，以及取整函數(shù)常見性質的運用.

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